On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariement. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable). / We consider organisms that mix sexual and asexual reproduction, in a situation where sexual reproduction involves both spatial dispersion and mate finding limitation. We propose a model that involves two coupled equations, the first one being an ordinary differential equation of logistic type, the second one being a reaction diffusion equation. According to realistic values of the various coefficients, the second equation turns out to involve a fast time scale, while the first one involves a separated slow time scale. First we show existence and uniqueness of solutions to the original system. Second, in the limit where the fast time scale is considered infinitely fast, we show the convergence towards a reduced quasi steady state dynamics, whose correctors can be computed at any order. Third, using monotonicity properties of our cooperative system, we show the existence of traveling wave solutions in a particular region of the parameter space (monostable case).

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude. / The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves.

Cette thèse est consacrée à l'étude de solutions globales et régulières de certaines EDP hamiltoniennes, du point de vue de la croissance de leurs normes de Sobolev. Un tel phénomène traduit une modification de la répartition de l'énergie dans l'espace des fréquences, appelée parfois "turbulence faible". On étudie d'abord une équation d'évolution non-linéaire où intervient un laplacien fractionnaire, et l'on prouve des estimées a priori sur la vitesse de croissance des normes de Sobolev. On introduit ensuite une équation où de telles estimées sont optimales : une équation de Szegő, intégrable, avec une non-linéarité quadratique, et où certaines solutions régulières croissent à vitesse exponentielle tout en restant bornées dans l'espace d'énergie. On classifie les ondes progressives de cette équation de Szegő quadratique, et l'on met en évidence l'instabilité d'une partie d'entre elles. Enfin, on exhibe pour cette équation une hiérarchie de lois de conservation, qui permet d'étudier plus précisément les solutions rationnelles turbulentes. / In this thesis we study global smooth solutions of certain Hamiltonian PDEs, in order to capture the possible growth of their Sobolev norms. Such a phenomenon is typical for what is sometimes called "weak turbulence" : a change in the distribution of energy between Fourier modes. We first study a nonlinear evolution equation involving a fractional Laplacian, and we prove a priori estimates on the growth of Sobolev norms. We then introduce an equation where these estimates turn out to be optimal : an integrable Szegő equation with a quadratic nonlinearity, which admits exponentially growing smooth solutions that remain bounded in the energy space. We classify the traveling wave solutions of this quadratic Szegő equation, and show that some of them are unstable. Eventually we find a hierarchy of conservation laws for this equation, which leads us into a deeper study of rational turbulent solutions.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de l'étude de la dynamique de populations. Elle porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de l'hématopoïèse, le processus de production et de régulation des cellules sanguines. La population de cellules est perçue comme un milieu continu avec une structuration en âge et en espace. Nous avons commencé par analyser des modèles d'équations différentielles et aux différences à retard discret et distribué. Ces modèles à retard permettent de mettre en évidence des comportements particuliers tels que l'existence de solutions périodiques. Ensuite, nous avons pris en compte l'aspect spatial et la diffusion des cellules dans ces modèles, tout en sachant que la structuration en espace, dans le cas de l'hématopoïèse, a été très peu abordée par le passé. Un nouveau modèle a été obtenu du point de vue mathématique. Une étude d'existence d'ondes progressives est effectuée lorsque le domaine est non borné et lorsque le domaine est borné une étude de stabilité des états stationnaires ainsi que de l'existence d'une bifurcation de Hopf est réalisée / This thesis focuses on the study of population dynamics. It is devoted to the mathematical analysis and modeling of hematopoiesis, which is the process leading to the production and regulation of blood cells. The cell's population is seen as a continuous medium structured in age and space. We analyzed models of differential-difference system with discrete- and distributed -delay. These models can exhibit specific behaviors such as the existence of periodic solutions. Then we consider a space structuration and the diffusion of cells in such models, knowing that the space structure has not been widely studied in the case of hematopoiesis. A new model is obtained from the mathematical point of view. We studied the existence of traveling waves when the domain is unbounded. When the domain is bounded, the stability of stationary solutions and the existence of a Hopf bifurcation are obtained

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique de l'hématopoïèse et des maladies sanguines. Plusieurs modèles traitant d'aspects différents et complémentaires de l'hématopoïèse y sont étudiés.Tout d'abord, un modèle multi-échelle de l'érythropoïèse est analysé, dans lequel sont décrits à la fois le réseau intracellulaire, qui détermine le comportement individuel des cellules, et la dynamique des populations de cellules. En utilisant des données expérimentales sur les souris, nous évaluons les rôles des divers mécanismes de retro-contrôle en réponse aux situations de stress.Ensuite, nous tenons compte de la distribution spatiale des cellules dans la moelle osseuse, question qui n'avait pas été étudiée auparavant. Nous décrivons l'hématopoïèse normale à l'aide d'un système d'équations de réaction-diffusion-convection et nous démontrons l'existence d'une distribution stationnaire des cellules. Puis, nous introduisons dans le modèle les cellules malignes. Pour certaines valeurs des paramètres, la solution "disease-free" devient instable et une autre solution, qui correspond à la leucémie, apparaît. Cela mène à la formation d'une tumeur qui se propage dans la moelle osseuse comme une onde progressive. La vitesse de cette propagation est étudiée analytiquement et numériquement. Les cellules de la moelle osseuse échangent des signaux qui régulent le comportement cellulaire. Nous étudions ensuite une équation integro-différentielle qui décrit la communication cellulaire et nous prouvons l'existence d'une solution du type onde progressive en utilisant la théorie du degré topologique et la méthode de Leray et Schauder. L'approche multi-agent est utilisée afin d'étudier la distribution des différents types de cellules dans la moelle osseuse.Finalement, nous étudions un modèle de type "Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamics" du traitement de la leucémie par l'AraC. L'AraC agit comme chimiothérapie et induit l'apoptose de toutes les cellules proliférantes, saines et malignes. La pharmacocinétique donne accès à la concentration intracellulaire d'AraC. Cette dernière, à son tour, détermine la dynamique des populations cellulaires et, par conséquent, l'efficacité de différents protocoles de traitement. / This PhD thesis is devoted to mathematical modelling of haematopoiesis and blood diseases. We investigate several models, which deal with different and complementary aspects of haematopoiesis.The first part of the thesis concerns a multi-scale model of erythropoiesis where intracellular regulatory networks, which determine cell choice between self-renewal, differentiation and apoptosis, are coupled with dynamics of cell populations. Using experimental data on anemia in mice, we evaluate the roles of different feedback mechanisms in response to stress situations. At the next stage of modelling, spatial cell distribution in the bone marrow is taken into account, the question which has not been studied before. We describe normal haematopoiesis with a system of reaction-diffusion-convection equations and prove existence of a stationary cell distribution. We then introduce malignant cells into the model. For some parameter values the disease free solution becomes unstable and another one, which corresponds to leukaemia, appears. This leads to the formation of tumour which spreads in the bone marrow as a travelling wave. The speed of its propagation is studied analytically and numerically. Bone marrow cells exchange different signals that regulate cell behaviour. We study, next, an integro-differential equation which describes cell communication and prove the existence of travelling wave solutions using topological degree and the Leray-Schauder method. Individual based approach is used to study distribution of different cell types in the bone marrow. Finally, we investigate a Physiologically Based Pharmacokinetics-Pharmacodynamics model of leukaemia treatment with AraC drug. AraC acts as chemotherapy, inducing apoptosis of all proliferating cells, normal and malignant. Pharmacokinetics provides the evolution of intracellular AraC. This, in turn, determines cell population dynamics and, consequently, efficacy of treatment with different protocols.

Une écoulement de cavité ouverte tridimensionnel saturé non-linéairement est étudié par une approche spatio-temporelle utilisant des données expérimentales résolues à la fois en temps et en espace. Ces données ont été acquises dans deux plans longitudinaux, respectivement perpendiculaire et parallèle au fond de la cavité, dans le régime incompressible, en air ou en eau. À l'aide de multiples méthodes de décompositions globales en temps et en espace, les ondes et les structures cohérentes constituant la dynamique dans le régime permanent et pouvant être produites par des mécanismes d'instabilités différents sont identifiées et caractérisées.Tout d'abord, on approfondit la compréhension de l'effet des non-linéarités sur les oscillations auto-entretenues de la couche cisaillée impactante et leurs interactions avec l'écoulement intra-cavitaire. En particulier, l'analyse spectrale d'une portion de l'espace des paramètres permet de mettre en évidence un lien entre l'accrochage des modes d'oscillations auto-entretenues, la modulation d'amplitude au niveau du coin impactant et l'intermittence de ces modes. De plus, l'observation des basses fréquences intéragissant fortement avec les oscillations de la couche de mélange démontre l'existence d'une dynamique tridimensionnelle intrinsèque à l'intérieur de la cavité malgré les perturbations causées par la couche cisaillée instable.Les analyses de stabilité linéaire ont montré que des instabilités centrifuges peuvent résulter de la courbure induite par la recirculation. L'étude de la dynamique après saturation révèle de nombreuses structures cohérentes dont les propriétés sont quantifiées et classées en s'appuyant sur la forme des instabilités sous-jacentes: des ondes transverses progressives ou stationnaires. Enfin, certains comportements des structures saturées suggèrent que les mécanismes non-linéaires gouvernant le développement de l'écoulement une fois sorti du régime linéaire pourraient être étudiés dans le cadre des équations d'amplitude.

Une écoulement de cavité ouverte tridimensionnel saturé non-linéairement est étudié par une approche spatio-temporelle utilisant des données expérimentales résolues à la fois en temps et en espace. Ces données ont été acquises dans deux plans longitudinaux, respectivement perpendiculaire et parallèle au fond de la cavité, dans le régime incompressible, en air ou en eau. À l'aide de multiples méthodes de décompositions globales en temps et en espace, les ondes et les structures cohérentes constituant la dynamique dans le régime permanent et pouvant être produites par des mécanismes d'instabilités différents sont identifiées et caractérisées.Tout d'abord, on approfondit la compréhension de l'effet des non-linéarités sur les oscillations auto-entretenues de la couche cisaillée impactante et leurs interactions avec l'écoulement intra-cavitaire. En particulier, l'analyse spectrale d'une portion de l'espace des paramètres permet de mettre en évidence un lien entre l'accrochage des modes d'oscillations auto-entretenues, la modulation d'amplitude au niveau du coin impactant et l'intermittence de ces modes. De plus, l'observation des basses fréquences intéragissant fortement avec les oscillations de la couche de mélange démontre l'existence d'une dynamique tridimensionnelle intrinsèque à l'intérieur de la cavité malgré les perturbations causées par la couche cisaillée instable.Les analyses de stabilité linéaire ont montré que des instabilités centrifuges peuvent résulter de la courbure induite par la recirculation. L'étude de la dynamique après saturation révèle de nombreuses structures cohérentes dont les propriétés sont quantifiées et classées en s'appuyant sur la forme des instabilités sous-jacentes: des ondes transverses progressives ou stationnaires. Enfin, certains comportements des structures saturées suggèrent que les mécanismes non-linéaires gouvernant le développement de l'écoulement une fois sorti du régime linéaire pourraient être étudiés dans le cadre des équations d'amplitude. / A space-time study of a three-dimensional nonlinearly saturated open cavity flow is undertaken using time-resolved space-extended experimental data, acquired in both cross-stream and spanwise planes, in incompressible air and water flows. Through use of multiple modal decompositions in time and space, the waves and coherent structures composing the dynamics in the permanent regime are identified and characterised with respect to the instabilities arising in the flow.Effects of nonlinearities are thoroughly investigated in the impinging shear layer, regarding the self-sustained oscillations and their interactions with the inner-flow. In particular, the analysis conducted throughout the parameter space enlightens a global connection between the selection of locked-on modes and the amplitude modulation at the impingement and the mode switching phenomenon. Furthermore, observations of low frequencies interacting drastically with the shear layer flapping motion underline the existence of intrinsic coherent three-dimensional dynamics inside the cavity in spite of the shear layer disturbances.Linear stability analyses have demonstrated that centrifugal instabilities are at play along the main recirculation. The present investigation of the dynamics after onset of the saturation reveals numerous space-time coherent structures, whose properties are quantified and classified with respect to the underlying instabilities: travelling or standing spanwise waves. Finally, some patterns exhibited by the saturated structures suggest that the nonlinear mechanisms governing the mutations of the flow after the linear regime could gain more insight in the frame of amplitude equations.