Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, on étudie la contrôlabilité et la stabilisation de certaines équations aux dérivées partielles dispersives. On s'intéresse d'abord au problème du contrôle interne. Grâce à des méthodes d'analyse microlocale et à l'utilisation des espaces de Bourgain, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps de l'équation de Schrödinger non linéaire, d'abord sur un intervalle, puis sur des variétés de dimension 3. Dans le cas d'un intervalle, on raisonne à la régularité L^2, permettant ainsi de traiter une non-linéarité focalisante ou défocalisante. On obtient aussi des résultats de régularité supplémentaire pour le contrôle. De plus, on prouve la contrôlabilité aux trajectoires, dont on déduit une deuxième preuve de la contrôlabilité globale. On applique ensuite ces méthodes à l'équation de Korteweg-de Vries en données périodiques. Pour cette équation, on donne aussi un terme d'amortissement dépendant du temps permettant d'avoir un taux de décroissance exponentielle arbitraire. On étudie aussi l'équation de Klein-Gordon sur des variétés compactes avec une nonlinéarité critique. Sous des hypothèses légèrement plus fortes que la condition de contrôle géométrique, on prouve la stabilisation et la contrôlabilité en grand temps pour des données haute fréquence. La preuve nécessite la mise en oeuvre d'une décomposition en prols sur des variétés pour laquelle des effets géométriques doivent être analysés. Dans une dernière partie, on étudie le contrôle bilinéaire. Grâce à un effet régularisant, on établit la contrôlabilité locale de l'équation de Schrödinger sur un intervalle avec une preuve plus simple que dans la littérature existante, permettant ainsi d'atteindre les espaces optimaux et en temps arbitraire. La méthode est assez robuste pour être étendue à d'autres situations : les données radiales sur la boule, l'équation de Schrödinger non linéaire et des ondes non linéaire sur un intervalle.

Dans cette thèse on étudie la contrôlabilité globale de quelques équations non linéaires issues de la mécanique des fluides, précisément des équations de type Burgers, une équation de Korteweg-de Vries, et un système de Navier-Stokes 2-D. La stratégie employée consiste, d'une part, à appliquer la méthode du retour de J.-M. Coron, et d'autre part, à jouer sur la non linéarité de l'équation considérée. <br />De cette manière, on montre dans la première partie la contrôlabilité globale exacte pour tout temps d'équations de type Burgers non visqueuses puis on utilise ensuite ce résultat pour obtenir un résultat de contrôlabilité globale approchée pour l'équation de Burgers visqueuse. Cette propriété, combinée avec un résultat de contrôlabilité locale, entraîne ainsi la contrôlabilité globale aux trajectoires de l'équation de Burgers visqueuse, pour tout temps. <br />Dans la deuxième partie, on procède d'une manière similaire pour obtenir la contrôlabilité globale exacte d'une équation de Korteweg-de Vries non linéaire, pour tout temps. <br />Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à un système de Navier-Stokes 2-D avec conditions aux bords de type Navier. On obtient, en utilisant cette fois des résultats sur l'équation d'Euler des fluides incompressibles, la contrôlabilité globale à zéro, pour tout temps.

Dans cette thèse, nous étudions quelques propriétés dynamiques des solutions de type soliton de quelques équations dispersives nonlinéaires généralisées. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de l'existence, de l'unicité et du comportement global de solitons pour des équations de KdV généralisées, à variation lente. On donnera une description détaillée de la dynamique pour tout temps et on montrera la non-existence de solitons purs, ce qui est une très grande différence avec l'équation gKdV standard. Dans une deuxième partie, on étudiera le cas de l'équation de Schrödinger nonlinéaire. Pour cette équation, nous allons améliorer tous les résultats précédents en donnant une description précise pour tout temps de la dynamique du soliton dans le régime à variation lente. En plus, sous des hypothèses générales, on montrera ce résultat dans le cas 2-D. Finalement, on considère le problème de collision de deux solitons pour l'équation de KdV généralisée. Complétant les résultats récents de Martel et Merle, concernant le cas quartique, nous montrons que la seule possibilité d'avoir une collision de type élastique est donnée par les cas intégrables. La preuve de tous ces résultats sont des développements et des améliorations de la théorie de Martel et Merle pour la collision de deux solitons des équations gKdV sous différents régimes asymptotiques.

Le sujet principal de cette thèse est l'étude de la contrôlabilité exacte de deux équations dispersives, l'équation de Korteweg-de Vries et la "bonne" équation de Boussinesq. En ce qui concerne l'équation de Korteweg-de Vrie, on étend un résultat de Rosier en montrant la contrôlabilité exacte en tout temps de l'équation non linéaire autour d'une solution stationnaire proche de zéro mais non nulle, ce pour des longueurs de domaine spatial critiques. Cette démonstration utilise en particulier la méthode d'unicité hilbertienne couplée avec la méthode des multiplicateurs et un théorème de point fixe. Ensuite, nous étudions le problème de la contrôlabilité exacte de l'équation de Boussinesq pour deux contrôles différents. On utilise également la méthode d'unicité hilbertienne pour ces problèmes en appliquant une inégalité de Ingham. On obtient ainsi un résultat de contrôlabilité exacte pour des temps arbitrairement petits. Nous implémentons ensuite cette méthode de facon numérique pour l'équation de Boussinesq avec un contrôle portant sur la dérivée seconde a droite, tant sur le problème linéaire que non linéaire.

Cette thèse est consacrée la contrôlabilité lagrangienne, l'étude du champ de vitesse de l'Équation de Korteweg-de Vries, le problème de stabilisation rapide d'une équation aux dérivées partielles linéaires et aux méthodes numériques permettant d'obtenir la convergence des contrôles numériques vers les contrôles optimaux. Dans la première partie, on montre, l'aide de la solution de N-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries, qu'il est possible de faire sortir des particules du fluide l’extérieur d'un domaine déterminé en temps arbitrairement petit. Une meilleure approximation du champ de vitesse associée la solution de N-solitons est également présentée, permettant de retrouver en particulier une propriété typique des trajectoires des particules soumises des ondes solitaires : les particules situées plus haut dans le fluide ont un plus grand déplacement. Dans la deuxième partie, la stabilisation rapide d'une équation de Schrödinger est obtenue grâce une méthode inspirée du backstepping en dimension infinie. Une équation de Schrödinger stable est considérée comme l'image d'une transformation ayant comme domaine de définition les solutions de l'équation de Schrödinger stabilisé. La stabilisation de l'équation de Schrödinger est obtenue en montrant l'inversibilité de la transformation. La nouveauté du travail présentée est l'introduction d'une condition d’unicité sur la transformation. Finalement, un filtre spectral, une formulation mixte et une formulation de Nitsche sont proposées comme technique afin d'obtenir numériquement l’observabilité uniforme de l'équation des ondes semi-discrétisée avec une méthode spectrale de Legendre-Galerkin. Une étude numérique de la convergence des contrôles numériques sans l’admissibilité uniforme de l’opérateur de contrôle est également présentée. / This thesis is devoted to the Lagrangian controllability and the analysis of the particle trajectories for the Korteweg-de Vries equation, to the rapid stabilization problem of the bilinear Schrödinger equation and to the convergence of the numerical controls of the wave equation. In the first part, we prove that the N-solitons solution of the Korteweg-de Vries equation allows one to move the particles outside an arbitrarily long domain in an arbitrarily small time. A higher approximation of the velocity field associated to the N-soliton is also presented, allowing to recover a typical property of solitary waves: the higher the particle is located in the fluid, the greater its displacement. These results are of a nonlinear nature since there exists no linear approximation of solitons. In the second part, inspired by the backstepping method, the rapid stabilization of a linearized Schrödinger equation is obtained. The proof consists to prove the invertibility of a transformation mapping the equation to stabilize to a stable linearized Schrödinger equation. The key ingredient of this proof is the introduction of a uniqueness condition. In the last part, a spectral filter, a mixed method and the Nitsche's method are proposed as a remedy to the lack of uniformness of the discrete observability constant for the Legendre-Galerkin semi-discretization of the wave equation. A numerical study of the convergence of the numerical controls is also presented.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats concernant le contrôle et la stabilisation d'équations dispersives étudiées sur un intervalle borné. Pour commencer, nous étudions la stabilisation interne du système de Gear-Grimshaw, qui est un système de deux équations de Korteweg-de-Vries (KdV) couplées. Nous obtenons une décroissance exponentielle de l'énergie totale associée au modèle en introduisant une fonction de Lyapunov convenable. Nous prouvons aussi des résultats de contrôlabilité à zéro et exacte pour l'équation de Korteweg-de Vries avec un contrôle distribué à support dans un sous-intervalle du domaine. Pour la contrôlabilité à zéro du système linéarisé, nous utilisons l'approche classique basée sur la dualité qui ramène le problème à l'étude d'une inégalité d'observabilité qui, dans ce travail, est établie à l'aide d'une inégalité de Carleman. Ensuite, utilisant des fonctions plateau, nous prouvons un résultat de contrôlabilité exacte. Dans les deux cas, le résultat concernant le système non linéaire est obtenu à l'aide d'un argument de point fixe. Enfin, dans la lignée du résultat de contrôlabilité au bord obtenu par L. Rosier pour KdV, nous prouvons que le système linéaire de Boussinesq de type KdV-KdV est exactement contrôlable lorsque des contrôles sont appliqués au bord. Notre méthode repose sur l'utilisation de multiplicateurs et l'approche de la dualité mentionnée ci-dessus. Lorsqu'un mécanisme d'amortissement est introduit au bord, nous montrons que le système non linéaire est aussi exactement contrôlable et que l'énergie associée au modèle décroit exponentiellement / This work is devoted to prove a series of results concerning the control and stabilization properties of dispersive models posed on a bounded interval. Initially, we study the internal stabilization of a coupled system of two Korteweg-de Vries equations (KdV), the so-called Gear-Grimshaw system. Defining a convenient Lyapunov function we obtain the exponential decay of the total energy associated to the model. We also prove results of null and exact controllability for the Korteweg-de Vries equation with a control acting internally on a subset of the domain. In the case of the null controllability for the linear model, we use a classical duality approach which reduces the problem to the study of an observability inequality that, in this work, is proved by means of a Carleman inequality. Then, making use of cut-off functions, the exact controllability is also investigated. In both cases, the result for the nonlinear system is obtained by means of fixed-point argument. Finally, in view of the result of the boundary controllability obtained by L. Rosier for the KdV equation, we prove that the linear Boussinesq system of KdV-KdV type is exactly controllable when the controls act in the boundary conditions. Our analysis is performed using multipliers and the duality approach mentioned above. Adding a damping mechanism in the boundary, it is proved that the nonlinear system is also exactly controllable and that the energy associated to the model decays exponentially

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude. / The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves.