This thesis studies orbit equivalence in the almost continuous setting. Recently A. del Junco and A. Sahin obtained an almost continuous version of Dye’s theorem. They proved that any two ergodic measure-preserving homeomorphisms of Polish spaces are almost continuously orbit equivalent. One purpose of this thesis is to extend their result to all free actions of countable amenable groups. We also show that the cocycles associated with the constructed orbit equivalence are almost continuous. In the second part of the thesis we obtain an analogue of Dye’s reconstruction theorem for etale equivalence relations in the almost continuous setting. We introduce topological full groups of etale equivalence relations and show that if the topological full groups are isomorphic, then the equivalence relations are almost continuously orbit equivalent.

This thesis studies orbit equivalence in the almost continuous setting. Recently A. del Junco and A. Sahin obtained an almost continuous version of Dye’s theorem. They proved that any two ergodic measure-preserving homeomorphisms of Polish spaces are almost continuously orbit equivalent. One purpose of this thesis is to extend their result to all free actions of countable amenable groups. We also show that the cocycles associated with the constructed orbit equivalence are almost continuous. In the second part of the thesis we obtain an analogue of Dye’s reconstruction theorem for etale equivalence relations in the almost continuous setting. We introduce topological full groups of etale equivalence relations and show that if the topological full groups are isomorphic, then the equivalence relations are almost continuously orbit equivalent.

A notion of entropy is defined for the non-singular action of finite co-ordinate changes on X - the infinite product of two- point spaces. This quantity - average co-ordinate or AC entropy - is calculated for product measures and G-measures on X, and an equivalence relation is established for which AC entropy is an invariant. The Inverse Vitali Lemma is discussed in a measure preserving context, and it is shown that for a certain class of measures on X known as odometer bounded, the result will still hold for odometer actions. The foundations for a non-singular version of Rudolph's restricted orbit equivalence are established, and a size for non-singular orbit equivalence is introduced. It is shown that provided the Inverse Vitali Lemma still holds, the non-singular orbit equivalence classes can be described using this new size.

Cette thèse porte sur deux types de problèmes de mécanique statistique : il y est question de percolation sur les groupes et de modèles dirigés. Dans le premier cas,il s’agit de réaliser un groupe comme objet géométrique (via la notion de graphe de Cayley), puis de morceler ce dernier aléatoirement. L’étude de ce processus révèle des liens étroits entre les propriétés géométriques d’un groupe et le comportement de la percolation de Bernoulli sur celui-Ci. Dans le second cas, on s’intéresse à des modèles où haut et bas jouent des rôles différents, ce qui permet de rendre un certain nombre de questions accessibles à l’étude rigoureuse.Le chapitre 1 renforce le théorème d’indistinguabilité de Lyons et Schramm en percolation, lequel stipule que les composantes connexes infinies fournies par la percolation de Bernoulli sur un graphe de Cayley ont presque sûrement toutes la même allure. La non-Trivialité de ce renforcement est illustrée par un modèle dirigé qui vérifie la propriété d’indistinguabilité mais pas la propriété renforcée.Le chapitre 2 est le fruit d’un travail réalisé en collaboration avec Vincent Tassion.On y démontre que la valeur du paramètre critique pour la percolation de Bernoulli ne dépend essentiellement que de la structure locale du graphe de Cayley abélien considéré.Dans le chapitre 3, on introduit une version dirigée du modèle DLA, pour laquelle on établit l’existence d’une dynamique en volume infini, un contrôle sur la propagation d’information et des inégalités asymptotiques sur la largeur et la hauteur de l’agrégat. / This thesis deals with two kinds of statistical mechanics problems: percolation ongroups and directed models. In the first case, we realise the group under considerationas a geometric object (via the notion of Cayley graph) before breaking it apartrandomly. The study of this process reveals deep connections between the geometricproperties of a group and the behaviour of Bernoulli percolation on it. In the secondcase, we focus on models where up and down play different roles, which makes severalquestions less hard to tackle.Chapter 1 strengthens the Indistinguishability Theorem of Lyons-Schramm, whichstates that the infinite clusters yielded by a Bernoulli percolation on a Cayley graphalmost surely all look alike. The non-Triviality of this strengthening is illustrated bya directed model that satisfies the Indistinguishability Property but not the StrongIndistinguishability Property.Chapter 2 has been obtained in collaboration with Vincent Tassion. We show thatthe value of the critical parameter for Bernoulli percolation essentially only dependson the local structure of the considered abelian Cayley graph.In Chapter 3, we introduce a directed version of the DLA model, for which weestablish the existence of an infinite volume dynamics, control the propagation ofinformation and prove asymptotic inequalities on the width and height of the cluster.

Soit (X, μ) un espace de probabilité standard et Γ un groupe dénombrable agissant sur X de manière à préserver la mesure de probabilité (p.m.p.). La partition de l’espace X en orbites induite par l’action de Γ est entièrement encodée par le groupe plein de l’action, constitué de l’ensemble des bijections boréliennes de l’espace qui agissent par permutation sur chaque orbite. Plus précisément, le théorème de reconstruction de H. Dye stipule que deux actions p.m.p. sont orbitalement équivalentes (i.e. induisent la même partition à une bijection p.m.p. près) si et seulement si leurs groupes pleins sont isomorphes.Le sujet de cette thèse est grandement motivé par ce théorème de reconstruction, puisqu’il s’agit de voir comment des invariants d’équivalence orbitale, qui portent donc sur la partition de l’espace en orbites, se traduisent en des propriétés algébriques ou topologiques du groupe plein associé.Le résultat majeur porte sur le rang topologique des groupes pleins, c’est-à-dire le nombre minimum d’éléments nécessaires pour engendrer un sous-groupe dense. Il se trouve être fortement relié a un invariant fondamental d’équivalence orbitale : le coût. Plus précisément, nous avons montré que le rang topologique était, dans le cas ergodique, égal à la partie entière du coût de l’action plus un. Le cas non ergodique a également été étudié, et on a obtenu des résultats complémentaires sur la généricité de l’ensemble des générateurs topologiques.Enfin, on a caractérisé les actions dont toutes les orbites sont infinies : ce sont exac- tement celles dont le groupe plein n’admet aucun morphisme non trivial à valeurs dans Z/2Z. / Let (X,μ) be a standard probability space and Γ a countable group acting on X in a measure preserving way. The partition of the space X into Γ-orbits is entirely encoded by the full group of the action, consisting of all the Borel bijections of X which act by permutation on every orbit. To be more precise, Dye’s reconstruction theorem states that two measure preserving actions are orbit equivalent (i.e. they induce the same partition up to a measure preserving bijection of (X, μ)) if and only if their full groups are isomorphic.The reconstruction theorem is the main motivation for this thesis, in which we try to understand how exactly orbit equivalence invariants of measure preserving actions translate into algebraic or topological properties of the associated full group.The main result deals with the topological rank of full groups, that is the minimal number of elements needed to generate a dense subgroup. It happens to be deeply linked to a fundamental invariant of orbit equivalence : the cost. To be more precise, we have shown that the topological rank is, in the ergodic case, equal to the integer part of the cost of the action plus one. The non-ergodic case was also treated, and we obtained some genericity results for the set of topological generators.We also obtained a characterization of the measure preserving actions having only infinite orbits : these are the ones whose full group has non nontrivial morphism into Z/2Z.

In this thesis we consider various questions and problems about graphs that appear in the framework of descriptive set theory. The main object of study are graphons, graphings and variations of the graph G0. We establish an approach to the compactness of the graphon space via the weak* topology and introduce the notion of a fractional isomorphism for graphons. We use a variant of the G0-dichotomy in the context of the classification problem. Finally, we show a measurable version of the Vizing's theorem for graphings. 1

Cette thèse traite de l’étude des objets reliés au codage de Bowen-Series du flot géodésiquepour des surfaces hyperboliques de volume fini. On démontre d’abord que le billard géodésiqueassocié à domaine fondamental even corners d’un groupe fuchsien cofini est conjuguéà une bijection du tore, appelée codage étendu, dont l’un des facteurs est la transformationde Bowen-Series. L’intérêt principal de cette conjugaison est qu’elle ne fait toujours intervenirqu’un nombre fini d’objets. On retrouve ensuite des résultats classiques sur le codage deBowen-Series : il est orbite-équivalent au groupe, ses points périodiques sont denses, et ses orbitespériodiques sont en bijection avec les classes d’équivalence d’hyperboliques primitifs dugroupe ; ce qui permet finalement de relier sa fonction zeta de Ruelle à la fonction zeta de Selberg.Les preuves de ces résultats s’appuient sur un lemme combinatoire qui abstrait la propriétéd’orbite-équivalence à des familles de relations qui peuvent être définies sur tout ensemble surlequel agit le groupe. Il est aussi possible de conjuguer le codage étendu à un sous-shift detype fini, sauf pour un ensemble dénombrable de points. Enfin, on prouve que les distributionspropres pour la valeur propre 1 de l’opérateur de transfert sont les distributions de Helgason defonctions propres du laplacien sur la surface, puis que l’on peut associer à toute telle distributionpropre une fonction propre non triviale de l’opérateur de transfert et que ce procédé admet uninverse dans certains cas. / This thesis focuses on the study of the objects linked to the Bowen-Series coding of the geodesicflow for hyperbolic surfaces of finite volume. It is first proved that the geodesic billiardassociated with an even corners fundamental domain for a cofinite fuchsian group is conjugatedwith a bijection of the torus, called extended coding, one factor of which is the Bowen-Seriestransform. The sharpest property of that conjugacy is that it always only involves a finite numberof objects. Some classical results about the Bowen-Series coding are then rediscovered : itis orbit-equivalent with the group, its periodic points are dense, and its periodic orbits are inbijection with conjugacy classes of primitive hyperbolic isometries ; which eventually links itsRuelle zeta function to the Selberg zeta function. The proofs of those results use a combinatoriallemma that abstracts the orbit-equivalence property to families of relations that can be definedon every set on which the group acts. The extended coding is also proved to be conjugated witha subshift of finite type, except for a countable set of points. Finally, it is shown that eigendistributionsof the transfer operator for the eigenvalue 1 are the Helgason boundary values ofeigenfunction of laplacian on the surface, plus that one can associate to each such eigendistributiona non-trivial eigenfunction of the transfer operator and that this process has a reciprocalin some cases.