No description available.

Many physical phenomena can be described by nonlinear models. The last few decades have seen an enormous growth of the applicability of nonlinear models and of the development of related nonlinear concepts. This has been driven by modern computer power as well as by the discovery of new mathematical techniques, which include two contrasting themes: (i) the theory of dynamical systems, most popularly associated with the study of chaos, and (ii) the theory of integrable systems associated, among other things, with the study of solitons. In this dissertation, we study two nonlinear models. One is the 1-dimensional vibrating string satisfying wtt − wxx = 0 with van der Pol boundary conditions. We formulate the problem into an equivalent first order hyperbolic system, and use the method of characteristics to derive a nonlinear reflection relation caused by the nonlinear boundary conditions. Thus, the problem is reduced to the discrete iteration problem of the type un+1 = F (un). Periodic solutions are investigated, an invariant interval for the Abel equation is studied, and numerical simulations and visualizations with different coefficients are illustrated. The other model is the Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB) equation. In this dissertation, we proposed two new approaches: One is what we currently call First Integral Method, which is based on the ring theory of commutative algebra. Applying the Hilbert-Nullstellensatz, we reduce the KdVB equation to a first-order integrable ordinary differential equation. The other approach is called the Coordinate Transformation Method, which involves a series of variable transformations. Some new results on the traveling wave solution are established by using these two methods, which not only are more general than the existing ones in the previous literature, but also indicate that some corresponding solutions presented in the literature contain errors. We clarify the errors and instead give a refined result.

Ce mémoire consiste en l’étude du comportement dynamique de deux oscillateurs FitzHugh-Nagumo identiques couplés. Les paramètres considérés sont l’intensité du courant injecté et la force du couplage. Juqu’à cinq solutions stationnaires, dont on analyse la stabilité asymptotique, peuvent co-exister selon les valeurs de ces paramètres. Une analyse de bifurcation, effectuée grâce à des méthodes tant analytiques que numériques, a permis de détecter différents types de bifurcations (point de selle, Hopf, doublement de période, hétéroclinique) émergeant surtout de la variation du paramètre de couplage. Une attention particulière est portée aux conséquences de la symétrie présente dans le système. / We study the dynamical behaviour of a pair of identical, coupled FitzHugh-Nagumo oscillators. We determine the parameter values leading to the existence of up to five equilibrium solutions, and analyze the asymptotic stability of each one. A combination of analytical and numerical techniques is used to analyze the numerous bifurcations (saddle-node, Hopf, period-doubling, heteroclinic) occurring as parameters, most notably the coupling strength, are varied, attention being paid to the rôle played by symmetries in the system.

Ce mémoire consiste en l’étude du comportement dynamique de deux oscillateurs FitzHugh-Nagumo identiques couplés. Les paramètres considérés sont l’intensité du courant injecté et la force du couplage. Juqu’à cinq solutions stationnaires, dont on analyse la stabilité asymptotique, peuvent co-exister selon les valeurs de ces paramètres. Une analyse de bifurcation, effectuée grâce à des méthodes tant analytiques que numériques, a permis de détecter différents types de bifurcations (point de selle, Hopf, doublement de période, hétéroclinique) émergeant surtout de la variation du paramètre de couplage. Une attention particulière est portée aux conséquences de la symétrie présente dans le système. / We study the dynamical behaviour of a pair of identical, coupled FitzHugh-Nagumo oscillators. We determine the parameter values leading to the existence of up to five equilibrium solutions, and analyze the asymptotic stability of each one. A combination of analytical and numerical techniques is used to analyze the numerous bifurcations (saddle-node, Hopf, period-doubling, heteroclinic) occurring as parameters, most notably the coupling strength, are varied, attention being paid to the rôle played by symmetries in the system.

In this thesis I hope to provide a clear and concise introduction to Feigenbaum scaling accessible to undergraduate students. This is accompanied by a description of how to obtain numerical results by various means. A more intricate approach drawing from renormalization theory as well as a short consideration of some of the topological properties will also be presented. I was furthermore trying to put great emphasis on diagrams throughout the text to make the contents more comprehensible and intuitive.

Τα κοκκώδη υλικά είναι αναπόσπαστο κομμάτι του κόσμου μέσα στον οποίο ζει ο άνθρωπος, και συνεπώς, για την καλύτερη κατανόηση του κόσμου αυτού, επιβάλλεται η μελέτη τους. Αυτός είναι και ο σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής. Επικεντρωνόμαστε σε διάδρομο μεταφοράς ο οποίος αποτελεί αντιπροσωπευτικό μοντέλο για πληθώρα εφαρμογών τόσο στην βιομηχανία όσο και στο φυσικό περιβάλλον. Αποτελεί επίσης χαρακτηριστικό παράδειγμα της οικογένειας ανοικτών πολυσωματιδιακών συστημάτων, η οποία βρίσκεται στην καρδιά της σύγχρονης επιστήμης της Πολυπλοκότητας. Αρχικά εισάγουμε το μοντέλο ροής στο οποίο το κοκκώδες υλικό αντιμετωπίζεται ως ένα ειδικό ρευστό (συνεχές μέσο) με εσωτερική απώλεια ενέργειας. Μελετάμε τη δυναμική ισορροπία που επικρατεί στο σύστημα υπό σταθερές συνθήκες, καθώς και την κατάρρευση της ομαλής ροής μέσω του σχηματισμού συσσωματώματος. Ειδική μνεία γίνεται στα πρόδρομα φαινόμενα της συσσωμάτωσης, τα οποία ερμηνεύουμε μέσω μίας αντίστροφης διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου. Διερευνώντας την εξάρτηση μεταξύ της μορφής της ροϊκής συνάρτησης και του τρόπου με τον οποίο το σύστημα μεταβαίνει σε καθεστώς συσσωμάτωσης αποκαλύπτουμε τόσο ποιοτικές όσο και ποσοτικές διαφορές σε σχέση με τον παραπάνω τύπο διακλάδωσης. Μια σημαντική παραλλαγή του συστήματος μεταφοράς προκύπτει εφαρμόζοντας ανατροφοδότηση του πρώτου δοχείου με το συνολικό υλικό που εκρέει από το τελευταίο. Η μαθηματική επεξεργασία αποδεικνύει ότι σε αυτήν την περίπτωση η δημιουργία συσσωματώματος συντελείται μέσω μιας διακλάδωσης Hopf αντί για διακλάδωσης διπλασιασμού περιόδου. Επιστρέφοντας στο αρχικό μας σύστημα, μελετάμε και το συνεχές όριο, θεωρώντας το διάδρομο μεταφοράς να έχει «άπειρο» μήκος. Η δυναμική ισορροπία, που ισοδυναμεί με το ισοζύγιο της μάζας ανάμεσα σε διαδοχικά δοχεία του διακριτού συστήματος, τώρα παίρνει τη μορφή μιας μη γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές. Η προσεκτική μελέτη της εξίσωσης και των συντελεστών της, σε συνδυασμό πάντα με τις συνοριακές συνθήκες στην είσοδο και έξοδο του διαδρόμου, μας επιτρέπει όχι μόνο να αναπαραγάγουμε τα προηγούμενα αποτελέσματα υπό το πρίσμα του συνεχούς ορίου αλλά και να τα ερμηνεύσουμε βάσει φυσικών διεργασιών όπως είναι η μεταφορά (drift) και η διάχυση (diffusion). Ειδικότερα, η συσσωμάτωση συμβαίνει σε καθεστώς αρνητικής διάχυσης (antidiffusion). Κλείνουμε την διατριβή προτείνοντας γενικεύσεις των συστημάτων που ερευνήσαμε. Επεκτείνουμε το διάδρομο μεταφοράς σε πλέγματα δύο διαστάσεων και μελετάμε άλλα μοντέλα που σχετίζονται με ροές διακριτών σωματιδίων όπως είναι η κυκλοφορία οχημάτων στους αυτοκινητοδρόμους. / Granular materials are ubiquitous in nature and in our daily lives, and understanding their behavior is therefore of crucial importance. The present thesis wants to contribute to this. We focus on a conveyor belt, which is not only a representative model for numerous applications both in industry and the natural environment, but also a prime example of an open multi-particle system prone to spontaneous pattern formation. This places our study right in the center of the modern science of complexity. Initially we introduce the flux model, in which the granular material is treated as a special fluid (a continuous medium) with internal energy losses. We examine the dynamic equilibrium that exists in the system under steady state conditions and also the breakdown of this equilibrium when the inflow rate exceeds a certain critical threshold value, resulting in the formation of a cluster and the obstruction of the conveyor belt. We focus especially on the pre-clustering phenomena and find that these can be described mathematically by a reverse period doubling bifurcation. Investigating the relation between the precise form of the flux function and the way in which the transition to the clustered state takes place, we reveal that the above scenario via a reverse period doubling bifurcation is not universal. Also other bifurcation types are possible. An important variation of our transport system is obtained by applying a feedback mechanism: All the particles that flow out from the last compartment are inserted into the first, making the system closed with respect to matter (mass conservation). The mathematical analysis proves that in this case the cluster formation occurs via a Hopf bifurcation instead of a period doubling. Returning to our original system, we study its continuum limit by considering a conveyor belt of ‘infinite’ length. The dynamics of the system is now described by a second-order nonlinear partial differential equation with non-constant coefficients. A careful analysis of this PDE and its coefficients, in combination with the special boundary conditions at the entrance and exit of the system, allows us not only to reproduce the results of the discrete system in the setting of differential equations but also to interpret these results in terms of physical processes such as drift and diffusion. In particular, the clustering occurs when the diffusion coefficient becomes negative, which gives antidiffusion. We close this thesis by discussing several generalizations of the system investigated. Among other things we expand the one-dimensional conveyor belt to a two-dimensional lattice. We further propose to use a similar flux model for the study of other, non-granular instances of discrete particle flows, such as vehicles on a highway.

Τα πρωτότυπα αποτελέσματα της διατριβής περιέχονται στα κεφ. 2, 3 και 4. Στο κεφ. 2 μελετούμε με αριθμητικές μεθόδους ένα 3-διάστατο διακριτό μοντέλο μακροοικονομίας με σταθερές ισοτιμίες. Χρησιμοποιώντας μια μέθοδο πλέγματος, βρίσκουμε την περιοχή ευστάθειας στον παραμετρικό χώρο, προσδιορίζουμε την καμπύλη διακλαδώσεων Hopf-Neimark και θεωρούμε σύντομα την εμφάνιση “γλωσσών” Arnold. Υπολογίζονται διαγράμματα διακλαδώσεων και εκθέτη Lyapunov που δίνουν πληροφορίες για τους επιχειρηματικούς κύκλους και την πολύπλοκη δυναμική του μοντέλου και. παρουσιάζουμε παραδείγματα κυκλικών και χαοτικών ελκυστών. Στο κεφ. 3 μελετούμε με τις ίδιες μεθόδους ένα διακριτό μοντέλο αλληλεπίδρασης περιοχών με σταθερές ισοτιμίες, επέκταση του προηγούμενου μοντέλου σε 5 διαστάσεις. Στόχος ήταν να δείξουμε πόσο εφικτή και αποτελεσματική είναι μία αριθμητική μελέτη για ηπίως πολυδιάστατα διακριτά δυναμικά συστήματα με πολλές παραμέτρους. Βρήκαμε ότι η κίνηση κεφαλαίων δεν αρκεί για τη δημιουργία κύκλων όταν είναι χαμηλή η εμπορική αλληλεπίδραση. Το κατώφλι εμπορίου προβλέπεται περίπου στο 15% των εμπορικών συναλλαγών. Αντίθετα, το μοντέλο δεν προβλέπει αναγκαίο ελάχιστο επίπεδο κίνησης κεφαλαίων για την εμφάνιση των κύκλων. Δίνουμε παραδείγματα διαγραμμάτων διακλάδωσης και εκθέτη Lyapunov που δείχνουν την εμφάνιση κύκλων ή ακολουθίας διπλασιασμού περιόδου, και παραδείγματα της ανάπτυξής τους. Το κεφ. 4 περιέχει σύντομη περιγραφή συμπληρωματικών αποτελεσμάτων στα παραπάνω μοντέλα, και στα αντίστοιχα μοντέλα μεταβλητής ισοτιμίας συναλλάγματος, καθώς και κατευθύνσεις μελλοντικής έρευνας. Στο κεφ. 5 περιγράφονται σύντομα οι υπολογιστικές τεχνικές που χρησιμοποιήσαμε. Η διατριβή δείχνει την αποτελεσματικότητα της αριθμητικής προσέγγισης για πολυδιάστατα διακριτά μοντέλα. / The original results of the dissertation are contained in ch. 2, 3 and 4, and concern mainly the problem of business cycles. In ch. 2 we explore numerically a 3D discrete Kaldorian macrodynamic model of open economy with fixed exchange rates. Using a grid search method we determine the stability region in parameter space, and the Hopf-Neimark bifurcation curve, and discuss briefly the occurrence of Arnold tongues. Bifurcation and Lyapunov exponent diagrams are computed providing information on the business cycles and illustrating the complex dynamics involved. Examples of cycles and chaotic attractors are presented. In ch. 3 we explore a 5D extension of the previous model using the same methods. The aim was to demonstrate the feasibility and effectiveness of the numerical approach for discrete dynamical systems of moderately high dimensionality and several parameters. We found that capital movement is not sufficient to generate interregional business cycles when trade interaction is low. The trade threshold is predicted at about 15% of trade transactions. By contrast, no minimum level of capital mobility exists as a requirement for the emergence of business cycles. Examples of bifurcation and Lyapunov exponent diagrams illustrating the occurrence of cycles or period doubling, and examples of their development, are given. Ch. 4 contains a short description of complementary results on the above models, and on two other models which extend the previous models to the case of flexible exchange rates, as well as some lines of future research. In ch. 5, the computational techniques employed in the present study are briefly described. The dissertation indicates the effectiveness of the numerical approach for high dimensional discrete models.