Techn. Univ., Diss.--Braunschweig, 2007.

University, Diss., 2004--München.

München, Univ., Diss., 2004

Würzburg, Universiẗat, Diss., 2008.

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Tunneling in 1D describes the effect that quantum particles can penetrate a classically insurmountable potential energy barrier. The extension to classically forbidden transitions in phase space generalizes the tunneling concept. A typical 1D Hamiltonian system has a mixed phase space. It contains regions of regular and chaotic dynamics, the so-called regular islands and the chaotic sea. These different phase space components are classically separated by dynamically generated barriers. Quantum mechanically they are, however, connected by dynamical tunneling. We perform a semiclassical quantization of almost resonance-free regular islands and transporting island chains of quantum maps. This yields so-called quasimodes, which are used for the investigation of direct dynamical tunneling from an almost resonance-free regular island to the chaotic sea. We derive a formula which allows for the determination of dynamical tunneling rates. Good agreement between this analytical prediction and numerical results is found over several orders of magnitude for two example systems. / Der 1D Tunneleffekt bezeichnet das Durchdringen einer klassisch nicht überwindbaren potentiellen Energiebarriere durch Quantenteilchen. Eine Verallgemeinerung des Tunnelbegriffs ist die Erweiterung auf jegliche Art von klassisch verbotenen Übergangsprozessen im Phasenraum. Der Phasenraum eines typischen 1D Hamiltonschen Systems ist gemischt. Er besteht aus Bereichen regulärer und chaotischer Dynamik, den sogenannten regulären Inseln und der chaotischen See. Während diese verschiedenen Phasenraumbereiche klassisch durch dynamisch generierte Barrieren voneinander getrennt sind, existiert quantenmechanisch jedoch eine Verknüpfung durch den dynamischen Tunnelprozess. In dieser Arbeit wird eine semiklassische Quantisierung von praktisch resonanz-freien regulären Inseln und transportierenden Inselketten von Quantenabbildungen durchgeführt. Die daraus folgenden sogenannten Quasimoden werden für die Untersuchung des direkten dynamischen Tunnelns aus einer praktisch resonanz-freien regulären Insel in die chaotische See verwendet, was auf eine Tunnelraten vorhersagende Formel führt. Ihre anschlie?ßende Anwendung auf zwei Modellsysteme zeigt eine gute Übereinstimmung zwischen Numerik und analytischer Vorhersage über viele Größenordnungen.

We investigate systems with a mixed phase space, where regular and chaotic dynamics coexist. Classically, regions with regular motion, the regular islands, are dynamically not connected to regions with chaotic motion, the chaotic sea. Typically, this is also reflected in the quantum properties, where eigenstates either concentrate on the regular or the chaotic regions. However, it was shown that quantum mechanically, due to the tunneling process, a coupling is induced and flooding of regular islands may occur. This happens when the Heisenberg time, the time needed to resolve the discrete spectrum, is larger than the tunneling time from the regular region to the chaotic sea. In this case the regular eigenstates disappear. We study this effect by the time evolution of wave packets initially started in the chaotic sea and find increasing probability in the regular island. Using random matrix models a quantitative prediction is derived. We find excellent agreement with numerical data obtained for quantum maps and billiards systems. For open systems we investigate the phenomenon of flooding and disappearance of regular states, where the escape time occurs as an additional time scale. We discuss the reappearance of regular states in the case of strongly opened systems. This is demonstrated numerically for quantum maps and experimentally for a mushroom shaped microwave resonator. The reappearance of regular states is explained qualitatively by a matrix model. / Untersucht werden Systeme mit gemischtem Phasenraum, in denen sowohl reguläre als auch chaotische Dynamik auftritt. In der klassischen Mechanik sind Gebiete regulärer Bewegung, die sogenannten regulären Inseln, dynamisch nicht mit den Gebieten chaotischer Bewegung, der chaotischen See, verbunden. Dieses Verhalten spiegelt sich typischerweise auch in den quantenmechanischen Eigenschaften wider, so dass Eigenfunktionen entweder auf chaotischen oder regulären Gebieten konzentriert sind. Es wurde jedoch gezeigt, dass aufgrund des Tunneleffektes eine Kopplung auftritt und reguläre Inseln geflutet werden können. Dies geschieht wenn die Heisenbergzeit, das heißt die Zeit die das System benötigt, um das diskrete Spektrum aufzulösen, größer als die Tunnelzeit vom Regulären ins Chaotische ist, wobei reguläre Eigenzustände verschwinden. Dieser Effekt wird über eine Zeitentwicklung von Wellenpaketen, die in der chaotischen See gestartet werden, untersucht. Es kommt zu einer ansteigenden Wahrscheinlichkeit in der regulären Insel. Mithilfe von Zufallsmatrixmodellen wird eine quantitative Vorhersage abgeleitet, welche die numerischen Daten von Quantenabbildungen und Billardsystemen hervorragend beschreibt. Der Effekt des Flutens und das Verschwinden regulärer Zustände wird ebenfalls mit offenen Systemen untersucht. Hier tritt die Fluchtzeit als zusätzliche Zeitskala auf. Das Wiederkehren regulärer Zustände im Falle stark geöffneter Systeme wird qualitativ mithilfe eines Matrixmodells erklärt und numerisch für Quantenabbildungen sowie experimentell für einen pilzförmigen Mikrowellenresonator belegt.

Tunneling in 1D describes the effect that quantum particles can penetrate a classically insurmountable potential energy barrier. The extension to classically forbidden transitions in phase space generalizes the tunneling concept. A typical 1D Hamiltonian system has a mixed phase space. It contains regions of regular and chaotic dynamics, the so-called regular islands and the chaotic sea. These different phase space components are classically separated by dynamically generated barriers. Quantum mechanically they are, however, connected by dynamical tunneling. We perform a semiclassical quantization of almost resonance-free regular islands and transporting island chains of quantum maps. This yields so-called quasimodes, which are used for the investigation of direct dynamical tunneling from an almost resonance-free regular island to the chaotic sea. We derive a formula which allows for the determination of dynamical tunneling rates. Good agreement between this analytical prediction and numerical results is found over several orders of magnitude for two example systems. / Der 1D Tunneleffekt bezeichnet das Durchdringen einer klassisch nicht überwindbaren potentiellen Energiebarriere durch Quantenteilchen. Eine Verallgemeinerung des Tunnelbegriffs ist die Erweiterung auf jegliche Art von klassisch verbotenen Übergangsprozessen im Phasenraum. Der Phasenraum eines typischen 1D Hamiltonschen Systems ist gemischt. Er besteht aus Bereichen regulärer und chaotischer Dynamik, den sogenannten regulären Inseln und der chaotischen See. Während diese verschiedenen Phasenraumbereiche klassisch durch dynamisch generierte Barrieren voneinander getrennt sind, existiert quantenmechanisch jedoch eine Verknüpfung durch den dynamischen Tunnelprozess. In dieser Arbeit wird eine semiklassische Quantisierung von praktisch resonanz-freien regulären Inseln und transportierenden Inselketten von Quantenabbildungen durchgeführt. Die daraus folgenden sogenannten Quasimoden werden für die Untersuchung des direkten dynamischen Tunnelns aus einer praktisch resonanz-freien regulären Insel in die chaotische See verwendet, was auf eine Tunnelraten vorhersagende Formel führt. Ihre anschlie?ßende Anwendung auf zwei Modellsysteme zeigt eine gute Übereinstimmung zwischen Numerik und analytischer Vorhersage über viele Größenordnungen.

Seit Beginn der Pandemie Anfang des Jahres 2020 werden statistische Daten erhoben mit dem Ziel, die Ausbreitung von COVID-19 zu charakterisieren. Grundlage der statistischen Analysen bilden die Zeitreihen der täglich erfassten Anzahl von Neuinfektionen. Die Dynamik der Pandemie lässt sich als Trajektorie in einem Phasenraum visualisieren. Dieser Zugang und ein Vergleich mit dem mathematischen Modell des logistischen Wachstums ermöglicht eine Analyse der Wirksamkeit von Maßnahmen und liefert Hinweise für eine Optimierung von Strategien zur Eindämmung der Virusausbreitung.:1. Einleitung 2. Zeitliche Entwicklung der Infektionszahlen und logistisches Wachstum 3. Pandemie im Phasenraum und log-log-Darstellung 3.1 Dynamik der Pandemie bis 02.03.2020 bis 27.06.2021 3.2 Dynamik der Pandemie von 28.06.2021 bis 02.06.2023 4. Diskussion 4.1 Datenerhebung und statistische Auswertung 4.2 Zeitliche, räumliche und sachliche Analyse der Daten 4.3 Schlussfolgerungen und Ausblick 5. Anhang 6. Literatur / Since the start of the pandemic at the beginning of 2020, statistical data have been collected with the aim of characterizing the spread of COVID-19. The basis of the statistical analyzes is the time series of the number of new infections recorded daily. The dynamics of the pandemic can be visualized as a trajectory in a phase space. This approach and a comparison with the mathematical model of logistic growth enables us an analysis of the effectiveness of measures and provides evidence for optimizing strategies for containment of the virus.:1. Einleitung 2. Zeitliche Entwicklung der Infektionszahlen und logistisches Wachstum 3. Pandemie im Phasenraum und log-log-Darstellung 3.1 Dynamik der Pandemie bis 02.03.2020 bis 27.06.2021 3.2 Dynamik der Pandemie von 28.06.2021 bis 02.06.2023 4. Diskussion 4.1 Datenerhebung und statistische Auswertung 4.2 Zeitliche, räumliche und sachliche Analyse der Daten 4.3 Schlussfolgerungen und Ausblick 5. Anhang 6. Literatur

Higher-dimensional Hamiltonian systems usually exhibit a mixed phase space in which regular and chaotic motion coexist. While regular trajectories are confined to regular tori, chaotic trajectories can be transported through a web of so called resonance channels which disrupt the regular structures. The focus of this thesis are time-discrete 4D symplectic maps which represent the lowest dimensional system for which the chaotic transport can circumvent regular tori. While the dynamics of 2D maps are well established, many fundamental questions are open for maps of dimension four and higher due to this property. In particular, the mechanism of the power-law trapping is unknown for these maps. In this thesis, the organization and hierarchy of the regular structures of 4D maps is uncovered and the slow chaotic transport close to these structures is examined. Specifically, this transport is shown to be organized by a set of overlapping resonance channels. The transport across these channels is found to be governed by partial transport barriers. For the transport along a channel a stochastic process including a drift is conjectured. Based on each of these two types of chaotic transport a possible mechanism for the power-law trapping in higher-dimensional systems is proposed.