The present thesis reviews my scientific works on disordered systems from 1995 until today. They can be roughly categorized into three main classes: (1) non-interacting disordered systems, (2) the two-interacting particle problem, and (3) the interplay of disorder and many-particle interaction. A (4)th chapter is concerned with the implementation of the numerical algorithms. The structure of the thesis reflects this division. The reprints have been added at the end of these main divisions according to their context. For the convenience of the reader, I have ordered them in each chapter alphabetically according to the names of the authors. Furthermore, in each citation of my work, the starting page number in the thesis is given, e.g, Ref.\ \cite{EPR97} refers to a paper of Eckle, Punnoose and myself and can be found on page \pageref{EPR97}. Citations which do not refer to my work are numbered and are ordered in the bibliography according to the names of the authors.

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Die vorliegende Arbeit umfaßt drei Abhandlungen, welche allgemein mit einer stochastischen Theorie für die Lyapunov-Exponenten befaßt sind. Mit Hilfe dieser Theorie werden universelle Skalengesetze untersucht, die in gekoppelten chaotischen und ungeordneten Systemen auftreten. <br /> <br /> Zunächst werden zwei zeitkontinuierliche stochastische Modelle für schwach gekoppelte chaotische Systeme eingeführt, um die Skalierung der Lyapunov-Exponenten mit der Kopplungsstärke ('coupling sensitivity of chaos') zu untersuchen. Mit Hilfe des Fokker-Planck-Formalismus werden Skalengesetze hergeleitet, die von Ergebnissen numerischer Simulationen bestätigt werden. <br /> <br /> Anschließend wird gezeigt, daß 'coupling sensitivity' im Fall gekoppelter ungeordneter Ketten auftritt, wobei der Effekt sich durch ein singuläres Anwachsen der Lokalisierungslänge äußert. Numerische Ergebnisse für gekoppelte Anderson-Modelle werden bekräftigt durch analytische Resultate für gekoppelte raumkontinuierliche Schrödinger-Gleichungen. Das resultierende Skalengesetz für die Lokalisierungslänge ähnelt der Skalierung der Lyapunov-Exponenten gekoppelter chaotischer Systeme. <br /> <br /> Schließlich wird die Statistik der exponentiellen Wachstumsrate des linearen Oszillators mit parametrischem Rauschen studiert. Es wird gezeigt, daß die Verteilung des zeitabhängigen Lyapunov-Exponenten von der Normalverteilung abweicht. Mittels der verallgemeinerten Lyapunov-Exponenten wird der Parameterbereich bestimmt, in welchem die Abweichungen von der Normalverteilung signifikant sind und Multiskalierung wesentlich wird. / This work incorporates three treatises which are commonly concerned with a stochastic theory of the Lyapunov exponents. With the help of this theory universal scaling laws are investigated which appear in coupled chaotic and disordered systems. <br /> <br /> First, two continuous-time stochastic models for weakly coupled chaotic systems are introduced to study the scaling of the Lyapunov exponents with the coupling strength (coupling sensitivity of chaos). By means of the the Fokker-Planck formalism scaling relations are derived, which are confirmed by results of numerical simulations. <br /> <br /> Next, coupling sensitivity is shown to exist for coupled disordered chains, where it appears as a singular increase of the localization length. Numerical findings for coupled Anderson models are confirmed by analytic results for coupled continuous-space Schrödinger equations. The resulting scaling relation of the localization length resembles the scaling of the Lyapunov exponent of coupled chaotic systems. <br /> <br /> Finally, the statistics of the exponential growth rate of the linear oscillator with parametric noise are studied. It is shown that the distribution of the finite-time Lyapunov exponent deviates from a Gaussian one. By means of the generalized Lyapunov exponents the parameter range is determined where the non-Gaussian part of the distribution is significant and multiscaling becomes essential.

Aus der Berechnung der elektronischen Leitf¨ahigkeit nach ersten Prinzipien wird die Forderung nach Strukturmodellen mit geringerer Zustandsdichte an der Fermikante (Pseudogap) abgeleitet und in einer entsprechenden Molekulardynamik auf der Grundlage des Streukonzepts realisiert. Bei der Auswertung der Kubo-Greenwood Formel f¨ur fl¨ussige und amorphe ¨Ubergangsmetalle im Rahmen einer Superzellenmethode wird eine methodisch bedingte D¨ampfung eingef¨uhrt. Ein Superpositionskonzept f¨ur die methodischen und intrinsischen Widerstandsbeitr¨age erm¨oglicht eine Separation der intrinsischen Eigenschaften. Die Linear Muffin-Tin Orbital Methode wird zum Vergleich herangezogen. Es werden die Restwiderst¨ande der fl¨ussigen 3d-¨Ubergangsmetalle berechnet. Abweichungen vom Experiment deuten auf eine nicht richtig ber¨ucksichtigte strukturelle Ordnung und auf Spineffekte hin. Das Modell einer ungeordneten Spinausrichtung in fl¨ussigem Mangan und Eisen zeigt eine Korrektur in die Richtung des Experiments. Zur Ber¨ucksichtigung von Mehrk¨orperkr¨aften in ungeordneten Systemen wird ein Greensfunktionskonzept vorgestellt. Die Grundlage bildet eine Zerlegung der Bandenergie in der komplexen Energieebene in einen kurzreichweitigen Anteil und einem mittel- und langreichweitigen Gapenergiebeitrag. Die Gapenergie ist ein Integral ¨uber das Produkt zwischen Breite und Tiefe aller m¨oglichen Gaps im System. Die Minimierung der Gapenergie ist Verbunden mit der Ausbildung eines Minimums in der elektronischen Zustandsdichte bei der Fermikante. Die ¨Anderungen der Gapenergie bei Struktur¨anderung k¨onnen sehr effektiv ¨uber eine Streupfadoperatordarstellung f¨ur ausgew¨ahlte optimierte komplexe Energiepunkte berechnet werden. Der Realteil der Energiepunkte ist dabei die Fermienergie, der Imagin¨arteil korreliert mit der Breite eines effektiven, mittleren Pseudogaps im System. Bei einer zus¨atzlichen Ber¨ucksichtigung kurzreichweitiger repulsiver Terme wird eine Molekulardynamik m¨oglich. Es kann dabei der ¨Ubergang einer fl¨ussigen metallischen Phase zu einer festen, amorphen Phase mit ausgepr¨agtem Pseudogap simuliert werden.

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Aus der Berechnung der elektronischen Leitf¨ahigkeit nach ersten Prinzipien wird die Forderung nach Strukturmodellen mit geringerer Zustandsdichte an der Fermikante (Pseudogap) abgeleitet und in einer entsprechenden Molekulardynamik auf der Grundlage des Streukonzepts realisiert. Bei der Auswertung der Kubo-Greenwood Formel f¨ur fl¨ussige und amorphe ¨Ubergangsmetalle im Rahmen einer Superzellenmethode wird eine methodisch bedingte D¨ampfung eingef¨uhrt. Ein Superpositionskonzept f¨ur die methodischen und intrinsischen Widerstandsbeitr¨age erm¨oglicht eine Separation der intrinsischen Eigenschaften. Die Linear Muffin-Tin Orbital Methode wird zum Vergleich herangezogen. Es werden die Restwiderst¨ande der fl¨ussigen 3d-¨Ubergangsmetalle berechnet. Abweichungen vom Experiment deuten auf eine nicht richtig ber¨ucksichtigte strukturelle Ordnung und auf Spineffekte hin. Das Modell einer ungeordneten Spinausrichtung in fl¨ussigem Mangan und Eisen zeigt eine Korrektur in die Richtung des Experiments. Zur Ber¨ucksichtigung von Mehrk¨orperkr¨aften in ungeordneten Systemen wird ein Greensfunktionskonzept vorgestellt. Die Grundlage bildet eine Zerlegung der Bandenergie in der komplexen Energieebene in einen kurzreichweitigen Anteil und einem mittel- und langreichweitigen Gapenergiebeitrag. Die Gapenergie ist ein Integral ¨uber das Produkt zwischen Breite und Tiefe aller m¨oglichen Gaps im System. Die Minimierung der Gapenergie ist Verbunden mit der Ausbildung eines Minimums in der elektronischen Zustandsdichte bei der Fermikante. Die ¨Anderungen der Gapenergie bei Struktur¨anderung k¨onnen sehr effektiv ¨uber eine Streupfadoperatordarstellung f¨ur ausgew¨ahlte optimierte komplexe Energiepunkte berechnet werden. Der Realteil der Energiepunkte ist dabei die Fermienergie, der Imagin¨arteil korreliert mit der Breite eines effektiven, mittleren Pseudogaps im System. Bei einer zus¨atzlichen Ber¨ucksichtigung kurzreichweitiger repulsiver Terme wird eine Molekulardynamik m¨oglich. Es kann dabei der ¨Ubergang einer fl¨ussigen metallischen Phase zu einer festen, amorphen Phase mit ausgepr¨agtem Pseudogap simuliert werden.

The present thesis reviews my scientific works on disordered systems from 1995 until today. They can be roughly categorized into three main classes: (1) non-interacting disordered systems, (2) the two-interacting particle problem, and (3) the interplay of disorder and many-particle interaction. A (4)th chapter is concerned with the implementation of the numerical algorithms. The structure of the thesis reflects this division. The reprints have been added at the end of these main divisions according to their context. For the convenience of the reader, I have ordered them in each chapter alphabetically according to the names of the authors. Furthermore, in each citation of my work, the starting page number in the thesis is given, e.g, Ref.\ \cite{EPR97} refers to a paper of Eckle, Punnoose and myself and can be found on page \pageref{EPR97}. Citations which do not refer to my work are numbered and are ordered in the bibliography according to the names of the authors.

Wellenleiter Quantenelektrodynamik (Wellenleiter QED) ist ein wichtiger Baustein in vielen zukünftigen, auf Quantenmechanik basierenden Technologien wie z.B. Quantencomputer. Ein typisches Modellsystem besteht aus einem Zwei-Niveau-System (two level system, TLS), das an einen eindimensionalen Wellenleiter gekoppelt wurde. Der Wellenleiter ist dabei durch eine Dispersionsrelation charakterisiert und kann unter anderem Bandkanten enthalten. Wir haben in der Dissertation einen neuartigen Zugang zur Wellenleiter QED präsentiert. Dieser Zugang basiert auf der Quantenfeldtheorie und ermöglicht die Berechnung Greenscher Funktionen im ein- und zwei-Anregungs Unterraum. Diese Greenschen Funktionen wurden benutzt um die Streumatrix und die spektrale Dichte in beiden Unterräumen zu berechnen. Desweiteren konnten wir mit Hilfe von Feynman-Diagrammen die physikalischen Prozesse in der Störungsreihe der Greenschen Funktionen identifizieren. Dies war besonders im zwei-Anregungs-Unterraum von Nutzen. In diesem Fall verhält sich das System nichtlinear, da das TLS nur eine Anregung absorbieren kann. Dadurch werden Effekte induziert wie photon bunching und die effiziente Anregung eines gebundenen Atom-Photon Zustandes. Es war uns möglich diese Effekte in der Störungsreihe der Greenschen Funktion wieder zu finden. Desweiteren haben wir die Greenschen Funktionen im Orts-Zeit-Raum benutzt um ein- und zwei-Photon-Wellenpakete zu propagieren. Es hat sich herausgestellt dass das Verhältnis von Pulsbreite zur spontanten Emissions-zeit sowohl das Streuverhalten als auch die maximale Anregung des TLS bestimmt. Letztendlich haben wir den Einfluss von Unordnung im Wellenleiter auf das Zerfallsverhalten des TLS untersucht. Wir haben entdeckt dass der gebundene Atom-Photon Zustand instabil wird sobald die Unordnung einen kritischen Wert erreicht. Darüberhinaus haben wir eine spezielle Klasse Feynman Diagramme identifiziert, die dem Zerfall eine nichtmarkovsche Dynamik verleihen. / Waveguide quantum electrodynamics (waveguide QED) can be considered as a building block for many prospective technologies like quantum computing. A prototypical system consists of a two-level system (TLS) coupled to a one-dimensional waveguide. The waveguide is characterized by its dispersion relation and can also feature a band edge/slow-light regime. In this thesis we have presented a new theoretical framework for waveguide QED, based on quantum field theory. The framework provides the Green''s functions of the system in the single- and two-excitation sectors for an arbitrary dispersion relation. We have calculated the scattering matrix and the spectral density in both sectors. Furthermore, we have also represented the Green''s functions in the form of Feynman diagrams, from which we can identify the underlying physical processes. A special property of the system is that it behaves nonlinear in the case of two or more photons. This is rooted in the structure of the TLS, which can at most absorb one excitation. The nonlinearity leads to two effects: photon bunching and the efficient excitation of an atom-photon bound state. We have found both effects within our framework and we were able to assign them individual terms in the perturbation series of the Green''s function. Furthermore, we have used the Green''s function in space-time domain to propagate Gaussian one- and two-photon wavepackets. Here, we have identified the ratio of the pulsewidth and the spontaneous emission time as the parameter which governs both the scattering behavior of the photons and the maximal TLS excitation. Eventually, we have investigated the effects of disorder in the waveguide on the decay properties of the TLS. We have found here that the atom-photon bound state is stable for small disorder, but breaks down at sufficiently strong disorder. Furthermore, we have identified a special class of diagrams which render the system non-Markovian even for energies far away from the band edge.

Untersucht wird der Auswirkung von Anisotropie auf den unordnungsinduzierten Metall-Isolator-Übergang (MIÜ) im Rahmen des dreidimensionalen Anderson-Modells der Lokalisierung für (schwach) gekoppelte Ebenen bzw. Ketten. Mittels numerischer Verfahren (Lanczos- und Transfer-Matrix-Methode) werden Eigenwerte und -vektoren bzw. die Lokalisierungslänge berechnet. Zur Bestimmung des kritischen Exponenten dieses Phasenüberganges 2. Ordnung wird ein allgemeiner Skalenansatz verwendet, der auch den Einfluss einer irrelevanten Skalenvariablen und Nichtlinearitäten berücksichtigt. Ein Kapitel untersucht die verwendeten numerischen Verfahren, verschiedene Methoden werden verglichen und die Portierbarkeit zu Parallelrechnern diskutiert. Der MIÜ wird mit zwei unabhängigen Methoden charakterisiert: Eigenwertstatistik und Transfer-Matrix-Methode. Die Systemgrößenunabhängigkeit der betrachteten Größen am Phasenübergang wird benutzt um den MIÜ zu identifizieren. Sie resultiert aus der Multifraktalität der kritischen Eigenzustände, die für den isotropen Fall bis zu einer Systemgröße von 111^3 Gitterplätzen gezeigt wird. Es stellt sich heraus, daß der MIÜ auch bei sehr starker Anisotropie existiert und bereits bei geringerer Potentialunordnung als im isotropen Fall auftritt. Für den Fall sehr schwach gekoppelter Ebenen wird gezeigt, daß der kritische Exponent mit dem des isotropen Falles übereinstimmt und damit die übliche Einteilung in Universalitätsklassen bestätigt.

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