We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms. Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the "price of connectivity of VC", defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system. / Nous présentons un ensemble de résultats d'approximation pour plusieurs problèmes de couverture dans les graphes denses. Ces résultats montrent que pour plusieurs problèmes, des algorithmes classiques à facteur d'approximation constant peuvent être analysés de manière plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densité. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problèmes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inférieur à 2 quand la proportion d'arêtes présentes dans le graphe (densité faible) est supérieure à 3/4 ou quand le degré minimum normalisé (densité forte) est supérieur à 1/2. Nous montrons également que ce résultat peut être amélioré par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inférieur à 2 pour des densités faibles supérieures à 1/2. Nous donnons également des familles de graphes extrémaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite intéressés à plusieurs algorithmes de la littérature pour les problèmes VC et SET COVER (SC). Nous avons présenté une approche unifiée et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schéma général dans lequel s'intègrent ces algorithmes. Nous nous sommes finalement intéressés au problème CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons proposé de nouveaux résultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces résultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les mêmes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC à l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons également des familles de graphes extrémaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons également étudié un nouvel invariant, le coût de connectivité de VC, défini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montré une borne supérieure sur sa valeur en fonction de la densité faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et présente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au développement du logiciel.

Cette thèse se déroule au sein du projet ToDo (Time versus Optimality in discrete Optimization ANR 09-EMER-010) financé par l'Agence Nationale de la Recherche. Nous nous intéressons à la résolution exacte et approchée de deux problèmes de graphes. Dans un souci de compromis entre la durée d'exécution et la qualité des solutions, nous proposons une nouvelle approche par partition en cliques qui a pour but (1) de résoudre de manière rapide des problèmes exacts et (2) de garantir la qualité des résultats trouvés par des algorithmes d'approximation. Nous avons combiné notre approche avec des techniques de filtrage et une heuristique de liste. Afin de compléter ces travaux théoriques, nous avons implémenté et comparé nos algorithmes avec ceux existant dans la littérature. Dans un premier temps, nous avons traité le problème de l'indépendant dominant de taille minimum. Nous résolvons de manière exacte ce problème et démontrons qu'il existe des graphes particuliers dans lesquels le problème est 2-approximable. Dans un second temps nous résolvons par un algorithme exact et un algorithme d'approximation le problème du vertex cover et du vertex cover connexe. Puis à la fin de cette thèse, nous avons étendu nos travaux aux problèmes proches, dans des graphes comprenant des conflits entre les sommets. / This thesis takes place in the project ToDo 2 funded by the french National Research Agency. We deal with the resolution of two graph problems, by exact and approximation methods. For the sake of compromise between runtime and quality of the solutions, we propose a new approach by partitioning the vertices of the graph into cliques, which aims (1) to solve problems quickly with exact algortihms and (2) to ensure the quality if results with approximation algorithms. We combine our approach with filtering techniques and heuristic list. To complete this theoretical work, we implement our algorithms and compared with those existing in the literature. At the first step, we discuss the problem of independent dominating of minimum size. We solve this problem accurately and prove that there are special graphs where the problem is 2-approximable. In the second step, we solve by an exact algorithm and an approximation algorithm, the vertex cover problem and the connected vertex cover problem. Then at the end of this thesis, we extend our work to the problems in graphs including conflicts between vertices.

Les problèmes de domination (dominant, dominant indépendant, ...) et de couverture (vertex-cover, arbre de Steiner, ...) sont NP-complets. Pour autant, pour la plupart de ces problèmes, il existe toujours une solution constructible en temps polynomial (potentiellement de valeur objective très mauvaise), ou au moins, il est possible de déterminer facilement (en temps polynomial) l'existence ou non d'une solution. Ces problèmes, initialement issus de situations réelles, sont des modélisations simplistes de ces situations. Nous ajoutons donc des contraintes additionnelles modélisant des contraintes pratiques plausibles : les conflits, des paires d'éléments ne pouvant faire simultanément partie d'une solution (modélisant des incompatibilités diverses), la connexité dans un second graphe (les éléments doivent pouvoir communiquer, et le graphe correspondant à ces liens de communication n'est pas forcément le même) et les obligations, des sous-ensembles d'éléments interdépendants devant être ajoutés simultanément à une solution. Notre but ici n'est pas de modéliser un problème réel précis, mais d'étudier la manière dont ces contraintes modifient la complexité des problèmes étudiés. Nous verrons que dans un grand nombre de cas, déterminer l'existence même d'une solution devient difficile, même sans se préoccuper de leur optimisation. Le problème du firefighter modélise des pompiers tentant de contenir un feu se propageant au tour par tour dans un graphe (potentiellement infini). Nous avons étudié ce problème en ajoutant des contraintes sur le déplacement des pompiers (une vitesse de déplacement limitée entre deux tours). Nous verrons que ces contraintes augmentent en général le nombre de pompiers nécessaires mais ne provoquent pas de changements aussi importants que dans les problèmes précédents. / Domination problems (dominating set, independant dominating set, ...) as well as covering problems (vertex-cover, Steiner tree, ...) are NP-complete. However, for most of these problems, it is always possible to construct a (eventually bad) solution in polynomial time, or at least it is possible to determine whether a solution exists. Those problems originally came from industry, but are simplified modelizations of the real life problems. We add additional constraints modeling plausible practical constraints : conflicts which are pairs of elements that cannot apear simultaneously in a solution (to modelize various incompatibilities), connexity in a second graph (elements of the solution must be able to communicate, and the communication links are a second graph), and obligations which are subsets of interdependant vertices which must be added simultaneously in a solution.We don't aim to model a specific real-world problem, but to study how these plausible constraints affect the complexity of the studied problems. We will see that, in many cases, even determining the existence of a solution (regardless of its size) become hard. The firefighter problem models firefighters aiming to contain a fire spreading turn by turn in a (eventually infinite) graph. We studied this problem with the addition of deplacement constraints for the firefighters (a limited moving speed between turns). We will see that, most of the time, this constraint increase the number of firefighters necessary to contain the fire, but does not trigger such major change as constraints studied in the others problems.

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We present a set of approximation results for several covering problems in dense graphs. These results show that for several problems, classical algorithms with constant approximation ratios can be analyzed in a finer way, and provide better constant approximation ratios under some density constraints. In particular, we show that the maximal matching heuristic approximates VERTEX COVER (VC) and MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) with a constant ratio strictly smaller than 2 when the proportion of edges present in the graph (weak density) is at least 3/4, or when the normalized minimum degree (strong density) is at least 1/2. We also show that this result can be improved by a greedy algorithm which provides a constant ratio smaller than 2 when the weak density is at least 1/2. We also provide tight families of graphs for all these approximation ratios. We then looked at several algorithms from the literature for VC and SET COVER (SC). We present a unified and critical approach to the Karpinski/Zelikovsky, Imamura/Iwama and Bar-Yehuda/Kehat algorithms, identifying the general the general scheme underlying these algorithms.<p>Finally, we look at the CONNECTED VERTEX COVER (CVC) problem,for which we proposed new approximation results in dense graphs. We first analyze Carla Savage's algorithm, then a new variant of the Karpinski-Zelikovsky algorithm. Our results show that these algorithms provide the same approximation ratios for CVC as the maximal matching heuristic and the Karpinski-Zelikovsky algorithm did for VC. We provide tight examples for the ratios guaranteed by both algorithms. We also introduce a new invariant, the "price of connectivity of VC", defined as the ratio between the optimal solutions of CVC and VC, and showed a nearly tight upper bound on its value as a function of the weak density. Our last chapter discusses software aspects, and presents the use of the GRAPHEDRON software in the framework of approximation algorithms, as well as our contributions to the development of this system.<p><p>/<p><p>Nous présentons un ensemble de résultats d'approximation pour plusieurs problèmes de couverture dans les graphes denses. Ces résultats montrent que pour plusieurs problèmes, des algorithmes classiques à facteur d'approximation constant peuvent être analysés de manière plus fine, et garantissent de meilleurs facteurs d'aproximation constants sous certaines contraintes de densité. Nous montrons en particulier que l'heuristique du matching maximal approxime les problèmes VERTEX COVER (VC) et MINIMUM MAXIMAL MATCHING (MMM) avec un facteur constant inférieur à 2 quand la proportion d'arêtes présentes dans le graphe (densité faible) est supérieure à 3/4 ou quand le degré minimum normalisé (densité forte) est supérieur à 1/2. Nous montrons également que ce résultat peut être amélioré par un algorithme de type GREEDY, qui fournit un facteur constant inférieur à 2 pour des densités faibles supérieures à 1/2. Nous donnons également des familles de graphes extrémaux pour nos facteurs d'approximation. Nous nous somme ensuite intéressés à plusieurs algorithmes de la littérature pour les problèmes VC et SET COVER (SC). Nous avons présenté une approche unifiée et critique des algorithmes de Karpinski-Zelikovsky, Imamura-Iwama, et Bar-Yehuda-Kehat, identifiant un schéma général dans lequel s'intègrent ces algorithmes.<p>Nous nous sommes finalement intéressés au problème CONNECTED VERTEX COVER (CVC), pour lequel nous avons proposé de nouveaux résultats d'approximation dans les graphes denses, au travers de l'algorithme de Carla Savage d'une part, et d'une nouvelle variante de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky d'autre part. Ces résultats montrent que nous pouvons obtenir pour CVC les mêmes facteurs d'approximation que ceux obtenus pour VC à l'aide de l'heuristique du matching maximal et de l'algorithme de Karpinski-Zelikovsky. Nous montrons également des familles de graphes extrémaux pour les ratios garantis par ces deux algorithmes. Nous avons également étudié un nouvel invariant, le coût de connectivité de VC, défini comme le rapport entre les solutions optimales de CVC et de VC, et montré une borne supérieure sur sa valeur en fonction de la densité faible. Notre dernier chapitre discute d'aspects logiciels, et présente l'utilisation du logiciel GRAPHEDRON dans le cadre des algorithmes d'approximation, ainsi que nos contributions au développement du logiciel. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

We consider a variety of types of vertex sequences, which are defined in terms of a requirement that the next vertex in the sequence must meet. For example, let S = (v1, v2, …, vk ) be a sequence of distinct vertices in a graph G such that every vertex vi in S dominates at least one vertex in V that is not dominated by any of the vertices preceding it in the sequence S. Such a sequence of maximal length is called a dominating sequence since the set {v1, v2, …, vk } must be a dominating set of G. In this paper we survey the literature on dominating and other related sequences, and propose for future study several new types of vertex sequences, which suggest the beginning of a theory of vertex sequences in graphs.

La théorie de la complexité distingue les problèmes que l'on sait résoudre en un temps polynomial en la taille des données (que l'on peut qualifier de raisonnable), des problèmes NP-complets, qui nécessitent (en l'état actuel des connaissances) un temps de résolution exponentiel en la taille des données (que l'on peut qualifier de déraisonnable). C'est pour cette raison que la communauté scientifique s'est tournée vers les algorithmes (polynomiaux) d'approximation dont la mesure de qualité se fait le plus souvent grâce au rapport d'approximation en pire cas (pour un problème de minimisation de taille, un algorithme a un rapport d'approximation de k si la taille de toute solution pouvant être retournée par l'algorithme est inférieure ou égale à k fois la taille de la solution optimale). Dans la littérature, on en vient à considérer qu'un algorithme est plus performant qu'un autre lorsqu'il possède un plus petit rapport d'approximation en pire cas. Cependant, il faut être conscient que cette mesure, désormais "classique", ne prend pas en compte la réalité de toutes les exécutions possibles d'un algorithme (elle ne considère que les exécutions menant à la plus mauvaise solution). Mes travaux de thèse ont pour objet de mieux "capturer" le comportement des algorithmes d'approximation en allant plus loin que le simple rapport d'approximation en pire cas, et ce sur deux problèmes distincts : I. Le problème du Vertex Cover En montrant que les performances moyennes d'un algorithme peuvent être décorélées des performances en pire cas. Par exemple, nous avons montré que dans la classe des graphes spécialement conçus pour le piéger en pire cas, l'algorithme glouton "Maximum Degree Greedy" retourne, en moyenne, des solutions dont la taille tend vers l'optimum lorsque n tend vers l'infini. En évaluant les performances moyennes d'un algorithme. Nous avons prouvé que l'algorithme online présenté par Demange et Paschos en 2005 (dont le rapport d'approximation en pire cas est égal au degré maximum du graphe) est au plus 2-approché en moyenne dans n'importe quel graphe. Ce résultat, combiné à d'autres, montre que cet algorithme est "en pratique" meilleur que la plupart des algorithmes 2-approchés connus, malgré un mauvais rapport d'approximation en pire cas . En comparant les performances de différents algorithmes (analytiquement et expérimentalement). Nous avons proposé un algorithme de liste et nous avons prouvé analytiquement qu'il retourne toujours une meilleure solution que celle construite par un autre algorithme de liste récent [ORL 2006] quand ils traitent la même liste de sommets (dans certains graphes particuliers, la différence de taille peut être arbitrairement grande). Nous avons également comparé analytiquement (en utilisant des outils comme les séries génératrices) les performances moyennes de six algorithmes sur les chemins. Nous les avons ensuite expérimentées sur un grand nombre de graphes de diverses familles bien choisies. On constate dans ces études que les algorithmes 2-approchés étudiés sont ceux qui obtiennent les plus mauvaises performances en moyenne et que ceux qui ont les meilleurs comportements moyens ont de mauvais rapports d'approximation (fonction du degré max. du graphe). Tous ces résultats montrent que le rapport d'approximation en pire cas n'est pas toujours suffisant pour caractériser l'intégralité de la qualité d'un algorithme et que d'autres analyses (en moyenne notamment) doivent être effectuées pour en faire le tour. II. Le problème de la connexion de groupes dynamiques dans les réseaux Nous avons analysé un processus de mise-à-jour d'un arbre connectant dans un réseau un groupe que les membres peuvent rejoindre ou quitter à tout moment. Notre processus possède de bonnes propriétés : il est simple à implémenter et il garantit, après chaque opération d'ajout ou de retrait, que le diamètre de l'arbre est au plus 2 fois l'optimal. Cependant, pour obtenir cette garantie, nous devons autoriser la reconstruction totale de l'arbre lorsque le membre identifié comme sa racine quitte le groupe. Ces étapes de reconstruction sont très coûteuses et nous cherchons donc à en évaluer le nombre. Des travaux précédents montraient que dans le pire cas, il faut reconstruire (quasiment) à chaque étape pour conserver la garantie sur le diamètre. Nous montrons dans cette thèse (en utilisant les marches aléatoires, etc.) que, en fonction de certains paramètres du problèmes (comme les probabilités associées aux opérations d'ajout et de retrait), l'espérance du nombre de reconstructions est soit logarithmique en le nombre d'évènements (ajout ou retrait), soit constant. Ce résultat montre que le comportement moyen est très bon (malgré un pire cas très défavorable) et que notre processus de mise-à-jour peut être une solution viable en pratique.

Cette thèse se déroule au sein du projet ToDo (Time versus Optimality in discrete Optimization ANR 09-EMER-010) financé par l'Agence Nationale de la Recherche. Nous nous intéressons à la résolution exacte et approchée de deux problèmes de graphes. Dans un souci de compromis entre la durée d'exécution et la qualité des solutions, nous proposons une nouvelle approche par partition en cliques qui a pour but (1) de résoudre de manière rapide des problèmes exacts et (2) de garantir la qualité des résultats trouvés par des algorithmes d'approximation. Nous avons combiné notre approche avec des techniques de filtrage et une heuristique de liste. Afin de compléter ces travaux théoriques, nous avons implémenté et comparé nos algorithmes avec ceux existant dans la littérature. Dans un premier temps, nous avons traité le problème de l'indépendant dominant de taille minimum. Nous résolvons de manière exacte ce problème et démontrons qu'il existe des graphes particuliers dans lesquels le problème est 2-approximable. Dans un second temps nous résolvons par un algorithme exact et un algorithme d'approximation le problème du vertex cover et du vertex cover connexe. Puis à la fin de cette thèse, nous avons étendu nos travaux aux problèmes proches, dans des graphes comprenant des conflits entre les sommets.

Dans cette thèse, nous étudions les aspects structurels et algorithmiques de différents problèmes de théorie des graphes. Rappelons qu’un graphe est un ensemble de sommets éventuellement reliés par des arêtes. Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.<p>Tout d’abord, nous considérons les deux problèmes suivants :le problème de vertex cover et celui de dominating set, deux cas particuliers du problème de hitting set. Un vertex cover est un ensemble de sommets qui rencontrent toutes les arêtes alors qu’un dominating set est un ensemble X de sommets tel que chaque sommet n’appartenant pas à X est adjacent à un sommet de X. La version connexe de ces problèmes demande que les sommets choisis forment un sous-graphe connexe. Pour les deux problèmes précédents, nous examinons le prix de la connexité, défini comme étant le rapport entre la taille minimum d’un ensemble répondant à la version connexe du problème et celle d’un ensemble du problème originel. Nous prouvons la difficulté du calcul du prix de la connexité d’un graphe. Cependant, lorsqu’on exige que le prix de la connexité d’un graphe ainsi que de tous ses sous-graphes induits soit borné par une constante fixée, la situation change complètement. En effet, pour les problèmes de vertex cover et de dominating set, nous avons pu caractériser ces classes de graphes pour de petites constantes.<p>Ensuite, nous caractérisons en termes de dominating sets connexes les graphes Pk- free, graphes n’ayant pas de sous-graphes induits isomorphes à un chemin sur k sommets. Beaucoup de problèmes sur les graphes sont étudiés lorsqu’ils sont restreints à cette classe de graphes. De plus, nous appliquons cette caractérisation à la 2-coloration dans les hypergraphes. Pour certains hypergraphes, nous prouvons que ce problème peut être résolu en temps polynomial.<p>Finalement, nous travaillons sur le problème de Pk-hitting set. Un Pk-hitting set est un ensemble de sommets qui rencontrent tous les chemins sur k sommets. Nous développons un algorithme d’approximation avec un facteur de performance de 3. Notre algorithme, basé sur la méthode primal-dual, fournit un Pk-hitting set dont la taille est au plus 3 fois la taille minimum d’un Pk-hitting set. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished