Cette thèse est principalement consacrée à l'association des méthodes de points intérieurs et des techniques de l'optimisation DC et DCA pour résoudre les problèmes d'optimisation non convexes de grande taille.<br />La thèse comporte trois parties : <br />la première partie est consacrée aux techniques d'optimisations locales et s'articule autour des méthodes de points intérieurs et de la programmation DC. Nous y développons deux algorithmes. Après une présentation non exhaustive de la programmation DC, des méthodes de points intérieurs et des propriétés essentielles de la classe des matrices quasi-définies au chapitre un, nous présentons au chapitre deux un nouvel algorithme basé sur une reformulation des conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker. Le troisième chapitre est consacré à l'intégration des techniques d'optimisation DC dans un schéma de points intérieurs, c'est l'algorithme IPDCA.<br />La seconde partie de la thèse est consacrée aux solutions globales de problèmes de programmation quadratique. Dans le premier chapitre de cette partie nous explorons l'intégration d'IPDCA dans un schéma B&B. Le second chapitre de la partie est consacré à la résolution de problèmes quadratiques à variables 0-1 par un schéma B\&B dans lequel nous faisons intervenir IPDCA. Le troisième chapitre est quant à lui consacré à l'optimisation monotone due au Professeur Tuy. Nous examinons plus particulièrement son intégration dans un B&B dans lequelle DCA est appelé pour améliorer la borne supérieure.<br />Le quatrième et dernier chapitre de cette partie est consacré à une procédure de redémarrage de DCA. <br />La dernière partie de la thèse est consacrée aux applications industrielles. Nous y appliquons les deux algorithmes développés dans la première partie de la thèse à un problème de mécanique de structure de grande dimension et à un problème en Data Mining.

Cette thèse s'intéresse à des méthodes de points intérieurs et de quasi-Newton en optimisation non linéaire et à leurs mises en oeuvre. On présente le code NOPTIQ utilisant les formules de BFGS à mémoire limitée pour résoudre des problèmes de grande taille. L'originalité de cette approche est l'emploi de ces formules dans le cadre des méthodes de points intérieurs. L'espace mémoire et le coût en opérations du calcul d'une itération sont alors faibles. Le code NOPTIQ est robuste et a des performances comparables avec les codes de références l-BFGS-B et LANCELOT. On présente aussi un algorithme non réalisable utilisant les méthodes précédentes pour résoudre un problème non linéaire avec contraintes d'inégalité et contraintes d'égalité linéaire. L'idée est de pénaliser le problème à l'aide de variables de décalage et d'une variante de la méthode big-M. La convergence q-superlinéaire des itérés internes et la convergence globale des itérés externes sont démontrées.

Dans cette thèse, une méthode de résolution de problèmes de commande optimale non linéaires sous contraintes d'état et de commande. Cette méthode repose sur l'adaptation des méthodes de points intérieurs, utilisées en optimisation de dimension finie, à la commande optimale. Un choix constructif de fonctions de pénalisation intérieure est fourni dans cette thèse. On montre que ce choix permet d'approcher la solution d'un problème de commande optimale sous contraintes en résolvant une suite de problèmes de commande optimale sans contraintes dont les solutions sont simplement caractérisées par les conditions de stationnarité du calcul des variations.Deux études dans le domaine de la gestion de l'énergie dans les bâtiments sont ensuite conduites. La première consiste à quantifier la durée maximale d'effacement quotidien du chauffage permettant de maintenir la température intérieure dans une certaine bande de confort, et ce pour différents types de bâtiments classés de mal à bien isolés. La seconde étude se concentre sur les bâtiments BBC et consiste à quantifier la capacité de ces bâtiments à réaliser des effacements électriques complets du chauffage de 6h00 à 22h00 tout en maintenant, là encore, la température intérieure dans une bande de confort. Cette étude est réalisée sur l'ensemble de la saison de chauffe.

La première partie de cette thèse, concerne une étude de robustesse des algorithmes de points intérieurs prédicteurs correcteurs, ainsi qu'une approche par décomposition de cette méthode pour la résolution de problè mes de multiflot. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au Problème de Sécurisation Globale dont l'objectif est de déterminer un multiflot (qui transporte toute demande de son noeud origine à son noeud destination en respectant la loi de Kirchhoff) et l'investissement de moindre coût en capacité s nominale et de réserve qui assure le routage nominal et garantit sa survie par reroutage global. Dans notre modèle les routages et les capacités peuvent être fractionnés. PSG se formule alors comme un problème linéaire de grande taille avec plusieurs niveaux de couplage. Sa structure particulière appelle à l'emploi d'algorithmes de décompositions. Nous proposons quatre méthodes utilisant la technique de génération de colonnes. Les deux premières sont basées sur les techniques proximales. Leur tâche principale consiste en la résolution de sous problèmes quadratiques indépendants. Le troisième algorithme s'inspire de l'approche de points intérieurs décrite à la première partie. Pour finir, nous intégrons une procédure d'élimination de chemins dans une adaptation d'un solveur de points intérieurs. Nous reportons des résultats numériques obtenus en testant ces algorithmes sur des données réelles fournies par le CNET.

Dans cette thèse, une méthode de résolution de problèmes de commande optimale non linéaires sous contraintes d'état et de commande. Cette méthode repose sur l'adaptation des méthodes de points intérieurs, utilisées en optimisation de dimension finie, à la commande optimale. Un choix constructif de fonctions de pénalisation intérieure est fourni dans cette thèse. On montre que ce choix permet d'approcher la solution d'un problème de commande optimale sous contraintes en résolvant une suite de problèmes de commande optimale sans contraintes dont les solutions sont simplement caractérisées par les conditions de stationnarité du calcul des variations.Deux études dans le domaine de la gestion de l'énergie dans les bâtiments sont ensuite conduites. La première consiste à quantifier la durée maximale d'effacement quotidien du chauffage permettant de maintenir la température intérieure dans une certaine bande de confort, et ce pour différents types de bâtiments classés de mal à bien isolés. La seconde étude se concentre sur les bâtiments BBC et consiste à quantifier la capacité de ces bâtiments à réaliser des effacements électriques complets du chauffage de 6h00 à 22h00 tout en maintenant, là encore, la température intérieure dans une bande de confort. Cette étude est réalisée sur l'ensemble de la saison de chauffe. / This thesis exposes a methodology to solve constrained optimal controlof non linear systems by interior penalty methods. A constructivechoice for the penalty functions used to implement the interior methodis exhibited in this thesis. It is shown that itallows us to approach the solution of the non linear optimal controlproblem using a sequence of unconstrained problems, whose solutionsare readily characterized by the simple calculus of variations.Two representatives study of energy management in buildings are conducted using the provided algorithm. The first study consists in quantifying the maximal duration of daily complete load shiftings achievable by several buildings ranging from poorly to well insulated. The second study focuses on low consumption buildings and aim at quantifying the ability of these buildings to perform complete load shiftings of the heating electrical consumption from the day (6 a.m. to 10 p.m.) to the night period over the whole heating season.

Les problèmes inverses en traitement d'images peuvent être résolus en utilisant des méthodes variationnelles classiques, des approches basées sur l'apprentissage profond, ou encore des stratégies bayésiennes. Bien que différentes, ces approches nécessitent toutes des algorithmes d'optimisation efficaces. L'opérateur proximal est un outil important pour la minimisation de fonctions non lisses. Dans cette thèse, nous illustrons la polyvalence des algorithmes proximaux en les introduisant dans chacune des trois méthodes de résolution susmentionnées.Tout d'abord, nous considérons une formulation variationnelle sous contraintes dont la fonction objectif est composite. Nous développons PIPA, un nouvel algorithme proximal de points intérieurs permettant de résoudre ce problème. Dans le but d'accélérer PIPA, nous y incluons une métrique variable. La convergence de PIPA est prouvée sous certaines conditions et nous montrons que cette méthode est plus rapide que des algorithmes de l'état de l'art au travers de deux exemples numériques en traitement d'images.Dans une deuxième partie, nous étudions iRestNet, une architecture neuronale obtenue en déroulant un algorithme proximal de points intérieurs. iRestNet nécessite l'expression de l'opérateur proximal de la barrière logarithmique et des dérivées premières de cet opérateur. Nous fournissons ces expressions pour trois types de contraintes. Nous montrons ensuite que sous certaines conditions, cette architecture est robuste à une perturbation sur son entrée. Enfin, iRestNet démontre de bonnes performances pratiques en restauration d'images par rapport à une approche variationnelle et à d'autres méthodes d'apprentissage profond.La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une méthode d'échantillonnage stochastique pour résoudre des problèmes inverses dans un cadre bayésien. Nous proposons une version accélérée de l'algorithme proximal de Langevin non ajusté, baptisée PP-ULA. Cet algorithme est incorporé à un échantillonneur de Gibbs hybride utilisé pour réaliser la déconvolution et la segmentation d'images ultrasonores. PP-ULA utilise le principe de majoration-minimisation afin de gérer les distributions non log-concaves. Comme le montrent nos expériences réalisées sur des données ultrasonores simulées et réelles, PP-ULA permet une importante réduction du temps d'exécution tout en produisant des résultats de déconvolution et de segmentation très satisfaisants. / Inverse problems in image processing can be solved by diverse techniques, such as classical variational methods, recent deep learning approaches, or Bayesian strategies. Although relying on different principles, these methods all require efficient optimization algorithms. The proximity operator appears as a crucial tool in many iterative solvers for nonsmooth optimization problems. In this thesis, we illustrate the versatility of proximal algorithms by incorporating them within each one of the aforementioned resolution methods.First, we consider a variational formulation including a set of constraints and a composite objective function. We present PIPA, a novel proximal interior point algorithm for solving the considered optimization problem. This algorithm includes variable metrics for acceleration purposes. We derive convergence guarantees for PIPA and show in numerical experiments that it compares favorably with state-of-the-art algorithms in two challenging image processing applications.In a second part, we investigate a neural network architecture called iRestNet, obtained by unfolding a proximal interior point algorithm over a fixed number of iterations. iRestNet requires the expression of the logarithmic barrier proximity operator and of its first derivatives, which we provide for three useful types of constraints. Then, we derive conditions under which this optimization-inspired architecture is robust to an input perturbation. We conduct several image deblurring experiments, in which iRestNet performs well with respect to a variational approach and to state-of-the-art deep learning methods.The last part of this thesis focuses on a stochastic sampling method for solving inverse problems in a Bayesian setting. We present an accelerated proximal unadjusted Langevin algorithm called PP-ULA. This scheme is incorporated into a hybrid Gibbs sampler used to perform joint deconvolution and segmentation of ultrasound images. PP-ULA employs the majorize-minimize principle to address non log-concave priors. As shown in numerical experiments, PP-ULA leads to a significant time reduction and to very satisfactory deconvolution and segmentation results on both simulated and real ultrasound data.

La solution des problèmes inverses en traitement du signal et de l'image est souvent définie comme le minimiseur d'un critère pénalisé qui prend en compte conjointement les observations et les informations préalables. Ce travail de thèse s'intéresse à la minimisation des critères pénalisés différentiables. Nous discutons plus précisément de la mise en oeuvre algorithmique de l'étape de recherche de pas dans l'algorithme de descente itérative. Les travaux de thèse de Christian Labat [Labat06] ont mené à l'élaboration de la stratégie de pas par Majoration-Minoration quadratique (MMQ 1D). Cette stratégie se démarque des méthodes de pas standards par sa simplicité d'implémentation et ses propriétés de convergence lorsqu'elle est associée à l'algorithme du gradient conjugué non linéaire (GCNL). Nous étendons ces propriétés à la famille des algorithmes à gradient relié. Nous montrons de plus que l'approche MMQ 1D s'étend en une stratégie de pas multi-dimensionnelle MMQ rD assurant la convergence d'algorithmes de sous-espace. Nous illustrons expérimentalement en déconvolution d'image que l'algorithme de super mémoire de gradient SMG + MMQ 2D est préférable à l'algorithme de gradient conjugué non linéaire GCNL + MMQ 1D. Lorsque le critère pénalisé contient une barrière, c'est-à-dire une fonction dont le gradient est non borné, la procédure de pas MMQ est inapplicable. Nous développons une stratégie de pas tenant compte de la singularité de la barrière à travers des approximations majorantes quadratiques augmentées d'un terme logarithmique. La recherche de pas résultante, notée MMLQ 1D, est simple à mettre en \oe{}uvre et garantit la convergence des algorithmes standards de descente itérative. Nous montrons expérimentalement que la méthode MMLQ 1D accroît les performances de l'algorithme de point intérieur primal pour la programmation quadratique. Nous appliquons enfin cette approche à la reconstruction de spectres RMN bi-dimensionnels par maximum d'entropie.