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Double régularisation des polyzêtas en les multi-indices négatifs et extensions rationnelles / Double Regularization of Polyzetas in Multi-negative Indices and Rational ExtensionsNgo, Quoc hoan 09 December 2016 (has links)
Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulières. / In this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs.
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Périodes des arrangements d'hyperplans et coproduit motivique. / Periods of hyperplane arrangements and motivic coproductDupont, Clement 26 September 2014 (has links)
Dans cette thèse, on s'intéresse à des questions relatives aux arrangements d'hyperplans du point de vue des périodes motiviques. Suivant un programme initié par Beilinson et al., on étudie une famille de périodes appelée polylogarithmes d'Aomoto et leurs variantes motiviques, vues comme éléments de l'algèbre de Hopf fondamentale de la catégorie des structures de Hodge-Tate mixtes, ou de la catégorie des motifs de Tate mixtes sur un corps de nombres. On commence par calculer le coproduit motivique d'une famille de telles périodes, appelées polylogarithmes de dissection génériques, en montrant qu'il est régi par une formule combinatoire. Ce résultat généralise un théorème de Goncharov sur les intégrales itérées. Puis, on introduit les bi-arrangements d'hyperplans, objets géométriques et combinatoires qui généralisent les arrangements d'hyperplans classiques. Le calcul de groupes de cohomologie relative associés aux bi-arrangements d'hyperplans est une étape cruciale dans la compréhension du coproduit motivique des polylogarithmes d'Aomoto. On définit des outils cohomologiques et combinatoires pour calculer ces groupes de cohomologie, qui éclairent dans un cadre global des objets classiques tels que l'algèbre d'Orlik-Solomon. / In this thesis, we deal with some questions about hyperplane arrangements from the viewpoint of motivic periods. Following a program initiated by Beilinson et al., we study a family of periods called Aomoto polylogarithms and their motivic variants, viewed as elements of the fundamental Hopf algebra of the category of mixed Hodge-Tate structures, or the category of mixed Tate motives over a number field. We start by computing the motivic coproduct of a family of such periods, called generic dissection polylogarithms, showing that it is governed by a combinatorial formula. This result generalizes a theorem of Goncharov on iterated integrals. Then, we introduce bi-arrangements of hyperplanes, which are geometric and combinatorial objects which generalize classical hyperplane arrangements. The computation of relative cohomology groups associated to bi-arrangements of hyperplanes is a crucial step in the understanding of the motivic coproduct of Aomoto polylogarithms. We define cohomological and combinatorial tools to compute these cohomology groups, which recast classical objects such as the Orlik-Solomon algebra in a global setting.
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Periods of the motivic fundamental groupoid of P1\{0, μN,∞} / Périodes du groupe fondamental motivique de la droite projective moins zero, l’infini et les racines n-èmes de l’unitéGlanois, Claire 06 January 2016 (has links)
En s'inspirant du point de vue adopté par Francis Brown, nous examinons la structure d'algèbre de Hopf des multizêtas motiviques cyclotomiques, qui sont des périodes motiviques du groupoïde fondamental de la droite projective moins 0, l'infini et les racines Nèmes de l'unité. Par application d'un morphisme période surjectif (conjecturé isomorphisme), nous pouvons déduire des résultats (identités, familles génératrices, etc.) sur les multizêtas cyclotomiques (complexes). La coaction de cette algèbre de Hopf (formule combinatoire explicite) est duale à l'action d'un dénommé groupe de Galois motivique sur ces périodes motiviques. Ces recherches sont ainsi motivées par l'espoir d'une théorie de Galois pour les périodes, étendant la théorie de Galois usuelle pour les nombres algébriques. (i) Nous présentons de nouvelles relations entre les sommes d'Euler (N=2) motiviques et deux nouvelles bases (conjecturées identiques) pour les multizêtas motiviques (N=1): Hoffman star (sous une conjecture analytique) et une seconde via les sommes d'Euler motiviques. (ii) Nous appliquons des idées de descentes galoisiennes à l'étude de ces périodes, en regardant notamment comment les multizêtas motiviques relatifs aux racines N' èmes de l'unité se plongent dans ceux associés aux racines Nèmes, lorsque N' divise N. Après avoir fourni des critères généraux, nous nous tournons vers les cas N égal à 2,3,4,6, 8, pour lesquels le groupoïde fondamental motivique engendre la catégorie des motifs de Tate mixtes sur l'anneau des entiers du Nème corps cyclotomique ramifié en N (non ramifié pour 6). Pour ces valeurs, nous explicitons les descentes galoisiennes, et étendons les résultats de Pierre Deligne / Following F. Brown's point of view, we look at the Hopf algebra structure of motivic cyclotomic multiple zeta values, which are motivic periods of the fundamental groupoid of the projective line minus 0, infinity and N roots of unity. By application of a surjective period map (conjectured isomorphism), we deduce results (generating families, identities, etc.) on cyclotomic multiple zeta values, which are complex numbers. The coaction of this Hopf algebra (explicit combinatorial formula) is the dual of the action of a so-called motivic Galois group on these specific motivic periods. This entire study was motivated by the hope of a Galois theory for periods, which should extend the usual one for algebraic numbers.(i)In the first part, we focus on the case of motivic multiple zeta values (N = 1) and Euler sums (N = 2). In particular, we present new bases for motivic multiple zeta values: one via motivic Euler sums, and another (depending on an analytic conjecture) which is known as the Hoffman star basis; under a general motivic identity that we conjecture, these bases are identical.
(ii)In the second part, we apply some Galois descents ideas to the study of these periods, and examine how multiple zeta values relative to N' roots of unity are embedded into those relative to N roots, when N' divide N. After giving some general criteria for any N, we focus on the cases N=2,3,4, 6, 8, for which the motivic fundamental group generates the category of mixed Tate motives on the ring of integer of the N cyclotomic field ramified in N (unramified if N=6). For those N, we are able to construct Galois descents explicitly, and extend P. Deligne's results.
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Arithmetic of values of L-functions and generalized multiple zeta values over number fields / Arithmétique des valeurs de L-fonctions et multizetas généralisés valeurs du corps des nombresAi, Xiaohua 30 September 2017 (has links)
L'objectif principal de cette thèse est de généraliser les multizetas au cas où le corps de base Q est remplacé par un corps de nombres quelconque. La motivation derrière cette construction vient des travaux de A. Goncharov sur les corrélateurs de Hodge et de la philosophie plectique de J. Nekovar et A. Scholl. On commence par la construction des fonctions de Green plectiques supérieures. Hecke a prouvé que l'intégration d'une série d'Eisenstein appropriée sur le groupe de classes des idèles du corps de nombres donné, multipliée par un caractère du groupe des classes des idèles, est équale à la fonction L associée à ce caractère. Remplacant la série d'Eisenstein par les fonctions de Green plectiques supérieures, une intégration similaire donne des nouveaux résultats, qui généralisent les multizetas classiques et les multi-polylogarithmes. D'après le principe plectique, un sous-groupe de l'anneau des entiers du corps de nombres donné joue un rôle essentiel dans ces travaux. / The principal objective of this thesis is to generalize multiple zeta values to the case when the ground field Q is replaced by an arbitrary number field. The motivation behind the construction comes from the work of A. Goncharov on Hodge correlators and the plectic philosophy of J. Nekovar and A. Scholl. We start by constructing the higher plectic Green functions. Hecke once proved that the integral of the restriction of a suitable Eisenstein series over $\mathbb{Q}$ to the idele class group of a given number field multipled an idele class character of finite order is equal to the L-function of this charator. By replacing Eisenstein seris with our higher plectic Green functions, a similar integration gives new results, which give the generalization of classical multiple zeta values and multiple polyloarithms. According to the plectic principle, a non-trivial subgroup of the ring of integers of a given number field plays an essential role in this work.
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Mesure de Mahler supérieure de certaines fonctions rationellesLechasseur, Jean-Sébastien 08 1900 (has links)
Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique.
On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes
multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la
réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms
of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure.
We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination
of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by
giving a complete reduction of a special case.
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Mesure de Mahler supérieure de certaines fonctions rationellesLechasseur, Jean-Sébastien 08 1900 (has links)
Nous exprimons la mesure de Mahler 2-supérieure et 3-supérieure de certaines fonctions rationnelles en terme de valeurs spéciales de la fonction zêta, de fonctions L et de polylogarithmes multiples. Les résultats obtenus sont une généralisation de ceux obtenus dans [10] pour la mesure de Mahler classique.
On améliore un de ces résultats en réduisant une combinaison linéaire de polylogarithmes
multiples en termes de valeurs spéciales de fonctions L. On termine avec la
réduction complète d’un cas particuler. / The 2-higher and 3-higher Mahler measure of some rational functions are given in terms
of special values of the Riemann zeta function, a Dirichlet L-function and multiple polylogarithms. Our results generalize those obtained in [10] for the classical Mahler measure.
We improve one of our results by providing a reduction for a certain linear combination
of multiple polylogarithms in terms of Dirichlet L-functions. We conclude by
giving a complete reduction of a special case.
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Mahler measure evaluations of polynomial families constructed via certain Möbius transformationsNair, Siva Sankar 04 1900 (has links)
Les polynômes sont une entité fondamentale en mathématiques, notamment en théorie des nombres. Les fonctions de hauteur sont utilisées pour étudier les polynômes de manière systématique et, dans de nombreux cas, simplifient grandement la preuve de théorèmes complexes. Les fonctions \(L\) forment une autre classe d'objets mathématiques qui trouvent une grande importance dans la théorie des nombres. La célèbre fonction zêta de Riemann est l'un des exemples les plus connus et les plus fondamentaux d'une fonction \(L\). Cette thèse s'articule autour de la mesure de Mahler, une fonction de hauteur sur les polynômes qui apparaît souvent comme des valeurs spéciales des fonctions \(L\) et forme un lien mystérieux entre ces deux domaines de recherche. Notre objectif est d'explorer trois questions concernant la mesure de Mahler de plusieurs familles de polynômes construites via certaines transformations de Möbius.
Le premier résultat, publié dans [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], décrit une famille de transformations non triviales qui, appliquées à n'importe quel polynôme, donnent des polynômes de plus en plus complexes sans changer sa mesure de Mahler. Cela conduit à plusieurs identités entre la mesure de Mahler des polynômes et résout de nombreuses relations conjecturales.
Dans le deuxième résultat, nous obtenons des formules explicites pour la mesure de Mahler des familles polynomiales pouvant avoir autant de variables que souhaité. Ces mesures de Mahler sont exprimées en termes de valeurs \(\zeta\) et de valeurs \(L\) correspondant au caractère primitif de Dirichlet de conducteur 3. Le résultat s'appuie sur les idées de Lalín pour construire de telles familles de \(n\)-variables dans un nouveau direction, ouvrant les portes à de nombreuses autres relations intéressantes du même genre. Ce résultat a été soumis pour publication.
Enfin, notre troisième résultat, accepté pour publication, concerne la mesure de Mahler d'une autre famille de polynômes \(n\)-variables qui ont des degrés non linéaires, par opposition aux familles des travaux de Lalín et à notre deuxième résultat dans lequel chaque variable avait un degré linéaire. Ce résultat conduit à l'expression de la mesure de Mahler en termes de plusieurs polylogarithmes de longueur 2 qui sont réduits à des polylogarithmes de longueur un en utilisant des identités appropriées. Nous présentons certains exemples où ces expressions peuvent être écrites en termes de valeurs zêta et de valeurs de fonctions \(L\) de Dirichlet de caractères de conducteurs 4, 8 et 12. / Polynomials are a fundamental entity in Mathematics, especially in Number Theory. Height functions are useful tools employed to study polynomials in a systematic way and in many cases greatly simplify the proof of complex theorems. \(L\)-functions form another class of mathematical objects that find great importance in Number Theory. The celebrated Riemann zeta function is one of the most well-known and foundational examples of an \(L\)-function. This dissertation revolves around the Mahler measure - a height function on polynomials that often appears as special values of \(L\)-functions and forms a mysterious link between these two areas of research. We aim to explore three questions concerning the Mahler measure of several polynomial families that are constructed via certain Möbius transformations.
The first result, published in [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], describes a family of non-trivial transformations which when applied on any polynomial, yields increasingly complex polynomials without changing its Mahler measure. This leads to several identities involving the Mahler measure of polynomials and resolves many conjectural relations.
In the second result, we obtain explicit formulae for the Mahler measure of polynomial families that can have as many variables as desired. These Mahler measures are expressed in terms of \(\zeta\)-values and \(L\)-values corresponding to the primitive Dirichlet character of conductor 3. The result builds on the ideas of Lalín for constructing such \(n\)-variable families in a new direction, opening the doors to possibly many more interesting relations of the same kind. This result has been submitted for publication.
Finally, our third result, accepted for publication, concerns the Mahler measure of yet another \(n\)-variable polynomial family which has non-linear degree, as opposed to the families in the work of Lalín and our second result in which each variable had linear degree. This result leads to the expression of the Mahler measure in terms of several length 2 polylogarithms which are reduced to length one polylogarithms using appropriate identities. We present certain examples where these expressions can be written in terms of zeta values and values of Dirichlet \(L\)-functions of characters with conductors 4, 8 and 12.
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