On propose des conditions de bout pour les fonctions spines polynomiales d'interpolation de degré p (p≥2) associées aux abscisses équidistantes qui économisent le calcul et entraînent un ordre de convergence optimal. Cette fonction spline peut être interprétée comme une fonction spline cardinale tronquée avec une correction convenable. La technique utilisée pour les fonctions splines polynomiales est applicable dans le cas des fonctions splines sous tension. On donne aussi quelques résultats pour les fonctions splines cubiques de lissage

On étudie le problème de l'interpolation et du lissage de données avec conditions de forme (positivité, monotonie, convexité) dans le plan réel. Pour sa résolution on utilise cinq classes de méthodes :1) splines polynomiales, 2) splines rationnelles, 3) splines sous tension, 4) programmation mathématique, 5) splines avec repoussoir

Les algorithmes de résolution polynomiale sont impliqués dans des outils sophistiqués de calcul en géométrie algébrique aussi bien quen ingénierie. Les plus populaires dentre eux reposent sur des bases de Gröbner, des matrices de Macaulay ou des décompositions triangulaires. Dans tous ces algorithmes, les polynômes sont développés dans une base des monômes et les calculs utilisent essentiellement des routines dalgèbre linéaire. L'inconvénient majeur de ces méthodes est lexplosion exponentielle du nombre de monômes apparaissant dans des polynômes éliminants. De manière alternative, lalgorithme Kronecker manie des polynômes codés comme la fonction qui calcule ses valeurs en tout point.<br />Dans cette thèse, nous donnons une présentation concise de ce dernier algorithme, ainsi qu'une preuve autonome de son bon fonctionnement. Toutes nos démonstrations sont intimement liées aux algorithmes, et ont pour conséquence des résultats classiques en géométrie algébrique, comme un théorème de Bézout. Au delà de leur intérêt pédagogique, ces preuves permettent de lever certaines hypothèses de régularité, et donc d'étendre l'algorithme au calcul des multiplicités sans coût supplémentaire.<br />Ensuite, nous présentons un algorithme de décomposition primaire pour les idéaux de polynômes de dimension nulle. Nous en donnerons également une étude de complexité précise, complexité qui est polynomiale en le nombre de variables, en le coût dévaluation du système, et en un nombre de Bézout.

L'objet de cette thèse est d'établir des résultats asymptotiques pour l'estimateur du quantile conditionnel par la méthode des polynômes locaux ainsi qu'à la généralisation de ces résultats pour les M-estimateurs. Nous étudions ces estimateurs et plus particulièrement leur représentation de Bahadur et leur biais. Nous donnons en outre un résultat sur les intervalles de confiance uniformes construits à partir de cette représentation pour le quantile conditionnel et ses dérivées.

L'étude des polynômes réels en plusieurs variables est un problème classique en géométrie algébrique réelle et en calcul formel. Plusieurs questions sont naturelles : positivité éventuelle, calcul du minimum...<br /><br />Nous nous proposons, dans cette thèse, d'étudier ces questions dans le cas particulier où l'étude est menée sur un simplexe de $\R^k$.<br /><br />L'outil essentiel dans notre travail est la base de Bernstein, plus adaptée à la situation que la traditionnelle base des monômes. Elle jouit notamment de propriétés de positivité et d'encadrement essentielles à notre étude.<br /><br />Elle permet tout d'abord d'obtenir un algorithme décidant si un polynôme $f$ est positif sur un simplexe $V$, et le cas échéant, fournissant une écriture de $f$ rendant triviale cette positivité : on parle de certificat de positivité.<br /><br />En outre, elle est à l'origine d'un algorithme de minimisation polynomiale sur un simplexe. Ces deux algorithmes sont certifiés, et l'étude de leur complexité est menée dans cette thèse. Ils ont également fait l'objet d'implémentation sur ordinateur.

La modélisation numérique via la méthode des éléments finis utilise classiquement des fonctions de forme polynomiale qui de par leur régularité représentent difficilement des évolutions singulières telles que celles observées dans les phénomènes de localisation en mécanique. Pour pallier cette difficulté, ces travaux de thèse ont eu pour objectif de proposer un nouveau support d'approximation adaptatif couplant la méthode de représentation par ondelettes à la méthode des éléments finis classique. Dans le domaine du traitement du signal, la méthode des ondelettes montre un réel potentiel pour traiter les phénomènes singuliers. L'étude porte sur la création d'un support de discrétisation hybride, associant une interpolation polynomiale et une interpolation en ondelettes exprimée via la fonction d'échelle de l'ondelette de Daubechies. Ce couplage permet de représenter la partie régulière de la réponse via le support polynomial et les éventuelles singularités à l'aide du support en ondelettes. L'adaptation du support hybride est effectuée via l'apport multirésolution, qui ajuste le support en fonction de l'importance des singularités observées. Une méthodologie de détection et d'enrichissement automatique est réalisée ayant pour objectif d'obtenir le support optimum. L'ondelette de Daubechies n'étant connue qu'en des points discrets, une méthode d'intégration particulière est proposée. Une modification de l'interpolation naturellement non nodale de l'ondelette est également introduite, de manière à pouvoir imposer des conditions limites classiques nodales. Une illustration de la méthode et de son implémentation informatique est présentée via une étude académique 1D. / The numerical modelling with the finite element method conventionally uses functions of polynomial form which, by their regularity, hardly represent singular evolutions such as those observed in the phenomena of localization in mechanics. To solve the issue, the aim of this thesis was to propose a new adaptive approximation support coupling the wavelet representation with the classical finite element method. In the field of signal processing, the wavelet method shows a real capacity to treat singular phenomena. This research study deals with the creation of a hybrid discretisation support, including a polynomial interpolation and a wavelet interpolation formulated with the scaling function of the Daubechies wavelet. The regular part of the solution is represented with the polynomial support and the singularities are visualised with the wavelet support. The adaptation of the hybrid support is carried out with the multiresolution contribution, which adjusts the support according to the importance of observed singularities. An automatic detection and enrichment method is carried out in order to obtain the optimum support. The Daubechies wavelet being known only in discrete points, a particular integration method is proposed. A modification of the not nodal naturally interpolated wavelet interpolation is also introduced, in order to impose classical nodal boundary conditions. An illustration of the method and its computer implementation is presented via a 1D academic study.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Cette thèse se situe dans le domaine de la combinatoire algébrique. Autrement dit, l'idée est d'utiliser des structures algébriques, en l'occurence des algèbres de Hopf combinatoires, pour mieux étudier et comprendre les objets combinatoires ainsi que des algorithmes de composition et de décomposition agissant sur ces objets. Ce travail de recherche repose sur la construction et l'étude de structure algébrique sur des objets combinatoires généralisant les permutations. Après avoir rappelé le contexte et les notations des différents objets intervenant dans cette recherche, nous proposons dans la seconde partie l'étude de l'algèbre de Hopf introduite par Aguiar et Orellana indexée par les permutations de blocs uniformes. En se focalisant sur une description de ces objets via d'autres bien connus, les permutations et les partitions d'ensembles, nous proposons une réalisation polynomiale et une étude plus simple de cette algèbre. La troisième partie étudie une deuxième généralisation en interprétant les permutations comme des matrices. Nous définissons et étudions alors des familles de matrices carrées sur lesquelles nous définissons des algorithmes de composition et de décomposition. La quatrième partie traite des matrices à signes alternants. Après avoir définie l'algèbre de Hopf sur ces matrices, nous étudions des statistiques et le comportement de la structure algébrique vis-à-vis de ces statistiques. Tous ces chapitres s'appuient fortement sur l'exploration informatique, et fait l'objet d'une implémentation utilisant le logiciel Sage. Ce dernier chapitre est consacré à la découverte et la manipulation de structures algébriques sur Sage. Nous terminons en expliquant les améliorations apportées pour l'étude de structure algébrique au travers du logiciel Sage / This thesis is in the field of algebraic combinatorics. In other words, the idea is to use algebraic structures, in this case of combinatorial Hopf algebras, to better study and understand the combinatorial objects and algorithms for composition and decomposition about these objects. This research is based on the construction and study of algebraic structure of combinatorial objects generalizing permutations. After recalling the background and notations of various objects involved in this research, we propose, in the second part, the study of the Hopf algebra introduced by Aguiar and Orellana based on uniform block permutations. By focusing on a description of these objects via well-known objects, permutations and set partitions, we propose a polynomial realization and an easier study of this algebra. The third section considers a second generalization interpreting permutations as matrices. We define and then study the families of square matrices on which we define algorithms for composition and decomposition. The fourth part deals with alternating sign matrices. Having defined the Hopf algebra of these matrices, we study the statistics and the behavior of the algebraic structure with these statistics. All these chapters rely heavily on computer exploration, and is the subject of an implementation using Sage software. This last chapter is dedicated to the discovery and manipulation of algebraic structures on Sage. We conclude by explaining the improvements to the study of algebraic structure through the Sage software

Ce travail comporte deux parties dont la première concerne l'ensemble asymptotique $S_F$ d'une application polynomiale $F: C^n to C^n$. Dans les année 90s, Jelonek a montré que cet ensemble est une variété algébrique complexe singulière de dimension (complexe) $n-1$. Nous donnons une méthode, appelée {it méthode des fa{c c}ons}, pour stratifier cet ensemble. Nous obtenons une stratification de Thom-Mather. Par ailleurs, il existe une stratification de Whitney de $S_F$ telle que l'ensemble des fa{c c}ons possibles soit constant sur chaque strate. En utilisant les fa{c c}ons, nous donnons un algorithme pour expliciter l'ensemble asymptotique d'une application quadratique dominante en trois variables. Nous obtenons aussi une liste des ensembles asymptotiques possibles dans ce cas. La deuxième partie concerne l'ensemble $V_F$ : En 2010, Anna et Guillaume Valette ont construit une pseudo-variété réelle $V_F subset R^{2n + p}$, où $p > 0$, associée à une application polynomiale $F: C^n to C^n$. Dans le cas $n = 2$, ils ont prouvé que si $F$ est une application polynomiale de déterminant jacobien partout non nul, alors $F$ n'est pas propre si et seulement si l'homologie d'intersection de $V_F$ n'est pas triviale en dimension 2. Nous donnons une généralisation de ce résultat, dans le cas d'une application polynomiale $F : C^n to C^n$ de jacobien partout non nul. Nous donnons aussi une méthode pour stratifier l'ensemble $V_F$. Comme applications, nous obtenons des stratifications de l'ensemble des valeurs critiques asymptotiques de $F$ et de l'ensemble des points de bifurcation de $F$. / There are two parts in the present work. The first part concerns the asymptotic set of a polynomial mapping $F: C^n to C^n$. In the 90s, Zbigniew Jelonek showed that this set is a $(n-1)$ - (complex) dimensional singular variety. We give a method, called {it m'ethode des fa{c c}ons}, for stratifying this set. We obtain a Thom-Mather stratification. Moreover, there exists a Whitney stratification such that the set of possible fa{c c}ons is constant on every stratum. By using the fa{c c}ons, we give an algorithm for expliciting the asymptotic sets of a dominant quadratic polynomial mapping in three variables. As a result, we have a complete list of the asymptotic sets in this case. The second part concerns the set called Valette set $V_F$. In 2010, Anna and Guillaume Valette constructed a real pseudomanifold $V_F subset R^{2n + p}$, where $p > 0$, associated to a polynomial mapping $F: C^n to C^n$. In the case $n = 2$, they proved that if $F$ is a polynomial mapping with nowhere vanishing Jacobian, then $F$ is not proper if and only if the homology (or intersection homology) of $V_F$ is not trivial in dimension 2. We give a generalization of this result, in the case of a polynomial mapping $F : C^n to C^n$ with nowhere vanishing Jacobian. We give also a method for stratifying the set $V_F$. As applications, we have the stratifications of the set of asymptotic critical values of $F$ and the set of bifurcation points of $F$.

Nous nous intéressons dans cette thèse à des problèmes d'optimisation liés au domaine des réseaux. Ces problèmes sont d'une part des problèmes d'optimisation ``classiques'' dans lesquels nous cherchons à pallier la NP-difficulté d'un problème en proposant des algorithmes approchés, le plus souvent avec garantie de performance. D'autre part, nous avons considéré des problèmes dans lesquels les utisateurs du réseau sont indépendants et individualistes. Chaque utilisateur souhaite alors optimiser sa propre fonction objectif, qui peut être très différente de la fonction objectif globale que, en tant que concepteurs d'un protocole, nous souhaitons optimiser. Nous nous plaçons alors dans le cadre de la théorie des jeux algorithmique et cherchons à optimiser cette fonction objectif globale en prenant en compte des contraintes supplémentaires dues au fait que les utilisateurs se comportent de façon individualiste. Les problémes que nous avons considérés sont des problémes d'ordonnancement et de routage.