Le modele de Potts permet de decrire le comportement des corps ferromagnetiques, en les<br />modelisant comme des spins a Q etats situes sur un reseau de dimension deux et interagissant entre eux.<br />Il est relie a beaucoup de problemes usuels en physique statistique et en mathematiques, par exemple la percolation ou le coloriage de reseaux, ce qui fait la richesse de son diagramme de phase. Afin d'etudier ce dernier, nous decomposons la fonction de partition<br />en caracteres, pour differentes conditions aux limites, en utilisant la theorie de<br />representation du groupe quantique Uq(sl(2)) ainsi que des methodes combinatoires.<br />Ensuite, nous determinons numeriquement les zeros limites dans le plan de temperature<br />complexe, et conjecturons des proprietes du diagramme de phase. En particulier, on montre que la phase de Berker-Kadanoff disparait lorsque Q est egal a un nombre de Beraha, et que de nouveaux points fixes<br />apparaissent.

Nous présentons une étude numérique des propriétés critiques du modèle de Potts bidimensionnel à q états perturbé par un désordre couplé à la densité d'énergie. Le système pur donne lieu à une transition du premier ordre lorsque q>4 alors qu'elle est continue dans le cas contraire. Nous montrons que sous l'effet d'un désordre corrélé dans une direction de l'espace, le régime du premier ordre disparait, laissant place à une transition continue dont la classe d'universalité est la meme pour toute valeur finie de q. Nous étendons l'étude à diverses modulations apériodiques des couplages d'échange permettant le controle de la divergence des fluctuations géométriques. La perturbation adoucit la transition du modèle de Potts q=8 et, pour certaines séquences apériodiques, la transition devient continue. Dans un second temps, nous nous intéressons au cas du désordre homogène. Nous confirmons l'hypothèse d'une transition continue pour toute valeur de q et montrons que le comportement critique est décrit par un point fixe désordonné dépendant du nombre d'états q. Nous observons la compatibilité de nos estimations numériques avec les expressions des profils et des fonctions de corrélation prédites par l'invariance conforme. Nous mettons à profit cette observation pour donner des estimations précises des exposants critiques associés aux quantités moyennes et à leurs moments. Les résultats sont indépendants de la distribution de désordre et sont compatibles avec les développements perturbatifs au voisinage de q=2. Ils excluent notamment la possibilité d'une brisure spontanée de la symétrie des répliques. Enfin, nous présentons des résultats préliminaires concernant le modèle de Potts q=4 dilué en dimension d=3. Le système pur donne lieu à une transition du premier ordre fortement marquée. A fortes dilutions, nous présentons quelques arguments en faveur de l'existence d'un régime de second ordre et donc d'un point tricritique.

<p>The theory of Gibbs measures belongs to the borderlandbetween statistical mechanics and probability theory. In thiscontext, the physical phenomenon of phase transitioncorresponds to the mathematical concept of non-uniqueness for acertain type of probability measures.</p><p>The most studied model in statistical mechanics is thecelebrated Ising model. The Potts model is a natural extensionof the Ising model, and the beach model, which appears in adifferent mathematical context, is in certain respectsanalogous to the Ising model. The two main parts of this thesisdeal with the Potts model and the beach model,respectively.</p><p>For the<i>q</i>-state Potts model on an infinite lattice, there are<i>q</i>+1 basic Gibbs measures: one wired-boundary measure foreach state and one free-boundary measure. For infinite trees,we construct "new" invariant Gibbs measures that are not convexcombinations of the basic measures above. To do this, we use anextended version of the random-cluster model together withcoupling techniques. Furthermore, we investigate the rootmagnetization as a function of the inverse temperature.Critical exponents to this function for different parametercombinations are computed.</p><p>The beach model, which was introduced by Burton and Steif,has many features in common with the Ising model. We generalizesome results for the Ising model to the beach model, such asthe connection between phase transition and a certain agreementpercolation event. We go on to study a<i>q</i>-state variant of the beach model. Using randomclustermodel methods again we obtain some results on where in theparameter space this model exhibits phase transition. Finallywe study the beach model on regular infinite trees as well.Critical values are estimated with iterative numerical methods.In different parameter regions we see indications of both firstand second order phase transition.</p><p><b>Keywords and phrases:</b>Potts model, beach model,percolation, randomcluster model, Gibbs measure, coupling,Markov chains on infinite trees, critical exponent.</p>

Made available in DSpace on 2014-06-12T18:03:09Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo4064_1.pdf: 3434833 bytes, checksum: 071831eaf1a52556ee4511725ac60544 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2008 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Apesar de todos os esforços das últimas décadas para desenvolver melhores estratégias de controle e vigilância, a malaria é uma das doenças infecciosas mais fatais matando mundialmente em média dois indivíduos por minuto. A malária é causada por 4 diferentes espécies do protozoário plasmódio dos quais o mais nocivo e letal é o Plasmodium falciparum. As drogas antimaláricas desenvolvidas até o momento para controlar a população do mosquito ou a proliferação do parasita e sintomas da malária mostram eficiência limitada devido `a habilidade de ambos, mosquito e parasita, desenvolverem resistência `as drogas. Para melhorar a vigilância e controle da malária é importante compreender a dinâmica de interação entre o parasita e o hospedeiro humano e porque os indivíduos infectados que vivem em áreas endêmicas não desenvolvem imunidade contra o parasita após múlltiplas exposições. Nesta tese n´os estudamos alguns aspectos do ciclo sangu´&#305;neo da mal´aria em hospedeiros humanos agrupando diferentes comportamentos das series temporais de parasitemia (contagem di´aria de parasitas) de pacientes com mal´aria obtidos a partir de um estudo de cohorts realizado nos EUA na d´ecada de 50. Na verdade estes pacientes eram pacientes neurosifil´&#305;ticos que foram submetidos a malarioterapia para serem curados. Os 193 pacientes que foram tratados com diferentes drogas antimaláricas através de diferentes protocolos foram analisados separadamente dos 79 pacientes que não foram submetidos a qualquer tratamento. Neste trabalho, nós reportamos em detalhes a análise dos pacientes que foram tratados e descrevemos brevemente os resultados dos não-tratados. Como as séries temporais possuem comprimentos diferentes, para realizar nossa análise nós precisamos reduzir o espaço de parâmetros das mesmas. Para isto usamos dois conjuntos de parâmetros (9 e 14) para descrever as principais características das séries temporais destes pacientes. Usando a técnica de agrupamento não supervisionado [1] baseado em um modelo físico, nós buscamos por comportamentos similares nos dois grupos (pacientes não-tratados e tratados). A técnica de agrupamento superparamagnético (SPC) consiste no mapeamento do conjunto de pacientes (pontos no espaço de parâmetros D- dimensional), a serem agrupados de acordo com suas similaridades, no estudo da transição de primeira ordem de um modelo de Potts inomogêneo de q estados (q &#8805; 10). A interação entre quaisquer dois spins de Potts depende da distância no espaço de parâmetros entre os pacientes correspondentes (objetos). Através do estudo das transições de fase deste modelo usando métodos de Monte Carlo, nós obtemos a curva de susceptibilidade magnética e localizamos as temperaturas de transição do modelo. Nós prosseguimos nossa análise identificando todos os grupos estáveis (de pacientes) que são formados na região das fases ferromagnética e superparamagnética. A separação em grupos resultante reflete as similaridades dos pacientes com respeito ao espaço de parâmetros escolhido. Desta forma, nós completamos nossa análise procurando por similaridades entre os elementos de todos os grupos obtidos, com respeito a outras informações disponíveis sobre estes pacientes: cepa do plasmódio, rota de inoculação do parasita, protocolos de drogas, etc. Os 193 pacientes tratados foram agrupados de acordo com o tipo de resposta aos diferentes protocolos e combinações de drogas. A separação também foi sensível ao número de protocolos que eles foram submetidos, bem como cepas e rotas de inoculação. Os 79 pacientes não-tratados foram agrupados de acordo com suas principais características das series temporais, embora em alguns casos a separação tenha sido sensível também `a cepa do parasita e rota de inoculação. O fato dos resultados da última análise trazerem menos informação que a análise dos pacientes tratados indica que ou o número de amostras é pequena para tal análise ou que diferentes padrôes observados são característicos do mesmo plasmódio e que não existe correlação entre os padrões das séries temporais de parasitemia e outras características extrínsecas dos pacientes disponíveis (cepa, rota de inoculação, etc.). O grande impacto do nosso trabalho vem do estudo dos pacientes tratados. O fato dos diferentes grupos agregam pacientes sujeitos a diferentes protocolos e drogas que exibem o mesmo tipo de resposta (de acordo com critérios da OMS) indica que o SPC é uma técnica não-supervisionada apropriada para ser usada neste tipo de análise. Deste modo ela pode ser muito útil para analisar séries de parasitemia coletada de outros estudos com cohorts em desenvolvimento, desenhados para se obter mais informações sobre a interação parasita-hospedeiro. Como a maioria das aplicações desta técnica de agrupamento foram focadas na análise de expressão gênica, o presente trabalho mostra também que o SPC pode ser aplicado no estudo de séries temporais

L'objectif principal de cette thèse est de caractériser et d'analyser les phénomènes de recristallisation et de croissance des grains qui se produisent dans les métaux hexagonaux. On considère ici surtout le titane et le zirconium. pour cette raison, plusieurs expériences ont été préparées et réalisées à l'aide de la technique EBSD (la diffraction d'électrons rétrodiffusés). En même temps, un logiciel spécial utilisant l'approche de simulation et qui est basé sur le modèle Monte Carlo Potts a été conçu afin de faciliter l'analyse expérimentale. Sur la base de données expérimentales et des résultats des simulations, les modèles physiques et les hypothèses concernant les processus de recristallisation et de croissance des grains étudiés ont été proposés et vérifiés de manière positive. / The main aim of this thesis is to describe and analyse recrystallization and grain growth phenomena taking place in hexagonal metals, in particular cold-rolled titanium and channel-die compressed zirconium were considered. For that reason, several experiements were prepared and carried out using EBSD (Electron Backstartter Diffraction) technique. In addition, a special software based on Monte Carlo Potts model was developed in order to facilitate experiemental analysis using simulation approach. Based on the obtained experiemental data and simulation results, physical models and hypotheses concerning the investigate recrystallization and grain growth processes were proposed and positively verified.

Neste trabalho consideramos o modelo de Potts na árvore de Cayley submetida a um campo magnético. Esse campo pode ser representado pela interação dos spins da árvore com um spin adicional, denominado spin fantasma. Essa nova rede passa a ser chamada de árvore de Cayley fechada e assimétrica. Sendo uma rede hierárquica, ela representa soluções exatas que são obtidas quando as técnicas do grupo de renormalização no espaço real são aplicadas. Subtraindo os efeitos de superfície e considerando somente o interior da árvore (rede de Bethe), esses resultados reproduzem os resultados da aproximação de campo médio de Bethe-Peierls. Com a finalidade de estudar a função de correlação do modelo de Potts na rede de Bethe, consideramos primeiramente uma cadeia de Potts interagindo com um spin fantasma. Através das regras de composição em série e paralelo e do método da quebra e colapso para as trasmissividades térmicas (função de correlação) obtemos uma fórmula de recorrência para a função de correlação entre quaisquer dois spins na cadeia. Mostramos então que pela invariança translacional da rede de Bethe qualquer par de spins pode ser mapeado no sistema anterior. A seguir consideramos o modelo de Potts de um estado na árvore de Cayley fechada e assimétrica. Decimando os spins interiores da unidade geradora da rede, obtemos um mapa polinomial quadrático para a transformação do grupo de renormalização (mapa de Bethe-Peierls). O diagrama de fase desse sistema é então obtido do conjunto de Mandelbrot através de uma transformação de Mobius. O mapa de Bethe-Peierls apresenta dois pontos fixos, que são relacionados com as fases ferro e paramagnética e o regime caótico é identificado com a fase vidro de spin. Esse sistema revela ser o exemplo mais simples de vidro de spin de McKay-Berker-Kirkpatrick. Na rede de Bethe e a campo nulo esse sistema apresenta transições de fase de segunda ordem. Analisando o comportamento crítico da função de correlação e de suas derivadas, vemos que se identificarmos a função de correlação entre o spin fantasma e qualquer spin da rede com a magnetização (por spin) e a função de correlação entre dois spins primeiros vizinhos com a energia interna do sistema, cinco expoentes críticos ((&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) são calculados e satisfazem as relações de escala. Para ilustrar o procedimento recursivo apresentado para calcular a função de correlação entre dois spins separados por ligações m na rede de Bethe, consideramos os spins de Potts de um estado. Obtemos então de forma explícita as correlações para m=1, 2 e 3.0 / In this work we consider the Potts model on the Cayley tree subjected to a magnetic Field. This field can be represented by the interaction of the tree spins with an additional one, denominated ghost spin. This new lattice is then called closed-asymmetric Cayley tree. Being a hierarchical lattice it comes to have exact solutions which are obtained when the real-space renormalization group techniques are applied. Subtracting the surface effects and considering only the tree interior (Bethe lattice), these results reproduce the results of Bethe-Peierls mean-field approximation. With the objective of studying the pair-correlation function of the Potts model on the Bethe lattice, we at first consider a Potts chain interacting with a ghost spin. Throughout the series-parallel composition rules and the break-collapse method for the thermal transmissivities (pair-correlation function) we obtain a recursive relation for the correlation function between any two spins on the chain. We then show, due to the translational invariance of the Bethe lattice, that any pair of spins can be mapped into the latter system. Next we consider the one-state Potts model on the closed asymmetric tree. Decimating the inner spins of the generating unit for the lattice, we obtain a quadratic polynomial map for the renormalization group transformation (Bethe-Peierls map). The phase diagram of this system is obtained from the Mandelbrot set throughout a Mobius transformation. The Bethe-Peierls map has two stable fixed points which are related to the ferro and paramagnetic phases and the chaotic regime is identified with the spin-glass phase. This system turns out to be the simplest example of a McKay-Berker-Kirkpatrick spin glass. On the Bethe lattice with vanishing field this system presents second-order phase transitions. Analyzing the critical behavior of the pair-correlation function and of this derivatives, we see that if we identify the correlation function between the ghost spin and any spin on the lattice with the magnetization (per spin), and the correlation function between two nearest-neighbor spins with the internal energy of the system, five critical exponents (&#948, &#946, &#947 &#8217, &#945, &#945 &#8217) are calculated and they satisfy the scaling relations. In order to illustrate the recursive procedure presented to calculate the pair-correlation function between spins m bonds apart on the Bethe lattice, we consider the one-state Potts spins. We obtain explicitly the correlation for m=1, 2 and 3.

Nous étudions les interfaces de quatre modèles de spins sur réseau: le modèle d'Ising à basse température, le modèle de Potts à la température critique, un modèle à symétrie continue et son approximation d'horloge.<br />Pour chacun de ces modèles, nous imposons des conditions au bord spécifiques qui assurent l'existence d'une interface ; les mesures de Gibbs associées à de telles conditions au bord satisfont alors de puissantes inégalités de corrélation. Ces inégalités nous permettent de montrer que les interfaces considérées sont rigides, au sens où ce sont des hyperplans légèrement déformés par des aspérités locales. Cette méthode est une version restreinte de la méthode de positivité par réflexion, l'une des directions de réflexion étant prohibée par les conditions au bord choisies.<br />Pour Ising et Potts, notre méthode simplifie considérablement les démonstrations historiques, puisque ni la théorie de Pirogov-Sinai, ni les développements en amas ne sont nécessaires à son application. Par ailleurs, la théorie-PS n'est directement envisageable ni pour le modèle continu ni son approximation car leurs états fondamentaux sont infiniment dégénérés; notre méthode est donc une réelle alternative à ces techniques.

En utilisant les méthodes analytiques et numériques de la Physique Statistique bidimensionnelle (matrice de transfert, invariance conforme, gaz de Coulomb, équations de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe, Monte-Carlo), nous abordons des problèmes qui n'entrent pas dans le cadre du modèle gaussien compact : modèle de Potts antiferromagnétique critique, modèle de boucles de Brauer. Ces modèles présentent des propriétés critiques originales, comme l'apparition de degrés de liberté non-compacts. Ces propriétés apparaissent quand on introduit, dans le modèle de boucles sur réseau, des intersections entre les boucles ou une alternance des poids de Boltzmann entre les sous-réseaux. Dans le cas du modèle de Potts antiferromagnétique, nous développons l'étude de la structure issue des équations de Yang-Baxter, et nous identifions une famille d'états de Bethe associés aux degrés de liberté non-compacts. Les calculs numériques sur de grandes tailles de système permettent de conjecturer la loi d'échelle du rayon de compactification effectif. Dans le cas du modèle de Brauer avec une fugacité de boucles n = 0, nous proposons un modèle de chemin d'échappement invariant d'échelle, et nous déterminons ses propriétés critiques par des méthodes numériques. En tant qu'observable (non-locale), le chemin d'échappement caractérise les points communs et différences avec les marches aléatoires.

Dans cette thèse, nous explorons le comportement critiques de chaînes de spins gouvernées par des interactions à décroissance algébrique. Dans une première partie, nous étudions le diagramme de phase d'une chaîne de Potts en utilisant un algorithme multicanonique. Nous proposons une nouvelle méthode de détection de l'ordre des transitions de phase exploitant les points spinodaux. A l'aide de cette méthode, nous localisons la ligne séparant les transitions du premier et du second ordre avec une précision sans précédent, et mettons en évidence un effet de taille finie inhabituel. Dans une deuxième partie, nous introduisons une nouvelle méthode multicanonique intégrant un algorithme de mise-à-jour collective des spins. Cette méthode, extrêmement souple, étend considérablement l'intervalle de tailles simulables, et s'avère bien plus précise que les méthodes multicanoniques usuelles. Nous appliquons cette méthode à l'étude d'effets de taille finie dans le cadre de transitions du premier ordre : les résultats suggèrent fortement que les configurations correspondant à des phases en coexistence sont caractérisées par une dimension fractale dépendent du taux de décroissance de l'interaction. Dans un dernier chapitre, nous étudions une chaîne d'Ising régie par des interactions à longue portée en présence de champs aléatoires à distribution bimodale, et prouvons l'existence d'un point tricritique pour des interactions à décroissance lente.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l'imagerie de diffraction dans des configurations à deux ou trois dimensions avec pour objectif la reconstruction d'une image (fonction contraste) d'un objet inconnu à l'aide de plusieurs mesures du champ qu'il diffracte. Ce champ résulte de l'interaction entre l'objet et un champ incident connu dont la direction de propagation et la fréquence peuvent varier. La difficulté de ce problème réside dans la non-linéarité du modèle direct et le caractère mal posé du problème inverse qui nécessite l'introduction d'une information a priori (régularisation). Pour cela, nous utilisons une approche bayésienne avec une estimation conjointe du contraste de l'objet, des courants induits et des autres paramètres du modèle. Le modèle direct est décrit par deux équations intégrales couplées exprimant les champs électriques observé et existant à l'intérieur de l'objet, dont les versions discrètes sont obtenues à l'aide de la méthode des moments. Pour l'inversion, l'approche bayésienne permet de modéliser notre connaissance a priori sur l'objet sous forme probabiliste. Les objets que nous étudions ici sont connus pour être constitués d'un nombre fini de matériaux homogènes répartis en régions compactes. Cette information a priori est introduite dans l'algorithme d'inversion à l'aide d'un mélange de gaussiennes, où chaque gaussienne représente une classe de matériaux, tandis que la compacité des régions est prise en compte au travers d'un modèle de Markov caché. La nature non linéaire du modèle direct et l'utilisation de cet a priori nous amènent à des estimateurs qui n'ont pas de formes explicites. Une approximation est donc nécessaire et deux voies sont possibles pour cela: une approche numérique, par exemple MCMC, et une approche analytique comme l'approche bayésienne variationnelle. Nous avons testé ces deux approches qui ont donné de bons résultats de reconstruction par rapport aux méthodes classiques. Cependant, l'approche bayésienne variationnelle permet de gagner énormément en temps de calcul par rapport à la méthode MCMC.