Le contexte général de cette thèse est l’étude de problèmes inverses et directs en théorie du contrôle. Plus précisément, les trois problèmes étudiés sont les suivants.Le premier est un problème de contrôle optimal (approche directe). Il s’agit de fournir la synthèse temps minimum du modèle cinématique d'un drone volant à altitude constante, de vitesse linéaire non nécessairement constante voulant rejoindre une trajectoire circulaire de rayon de courbure minimum.Le deuxième problème concerne une approche inverse du contrôle optimal. Il s’agit d’élaborer des méthodes théoriques de reconstruction du critère optimisé dans un problème de contrôle optimal à partir d’un ensemble de solutions à ce problème, ainsi que caractériser les "bons" ensembles de trajectoires permettant la reconstruction du critère. Le contrôle optimal inverse connait un regain d’intérêt depuis une quinzaine d’années, en particulier dans l’étude des comportements moteurs humains. En effet, selon un paradigme largement accepté en neurophysiologie, parmi tous les mouvements possibles ceux effectivement réalisés sont solutions d’un processus d’optimisation.Le troisième problème traite de stabilisation par retour de sortie. Nous analysons, à travers un exemple académique tiré du contrôle quantique, le problème de stabilisation par retour de sortie (à l’aide d’un observateur) lorsque le point où l'on souhaite stabiliser le système correspond à un contrôle qui rend le système inobservable. L’idée générale est de perturber le retour d’état stabilisant afin de garantir l’observabilité du système tout en stabilisant le système sur la cible. L’analyse de cet exemple académique nous permet dans un second temps de dégager une méthode générale pouvant s’appliquer à une classe de système beaucoup plus large. / The overall context of this thesis is the study of inverse and direct problems in control theory. More specifically, the following three problems are studied.The first one is an optimal control problem (direct approach). The aim is to give a time minimum systhesis fora kinematic model of a UAV flying at constant altitude with positive (non-necessarily constant) linear velocityin order to steer it to a fixed circle of minimum turning radius.The second problem deals with an inverse approach of optimal control. The aim is to develop theoretical methods in order to reconstruct the minimized criterion in an optimal control problem from a set of solution to this problem. The aim is also to characterize the « good » sets of trajectories leading to the reconstruction of the criterion. In the last fifteen years, there has been a renewed interest in inverse optimal control, especially inhuman motor behavior. Indeed, according to a well accepted paradigm in neurophysiology, among all possible movements, those actually accomplished are solutions of an optimization process.The third problem tackles output feedback stabilization. We analyze, via a simple academic example from quantum control, the problem of dynamic output feedback stabilization, when the point where we want to stabilize corresponds to a control value that makes the system unobservable. The general idea is to perturb the stabilizing state feedback in order to ensure the observability of the system while stabilizing it to the target.The analysis of this example allows, secondly, to identify a general procedure that can be applied to a widerclass of systems.

Ce mémoire est une présentation de contributions à l'étude de fonctionnelles stochastiques. Ces contributions comportent à la fois des analyses théoriques des lois des fonctionnelles (régularité, inégalités de déviation, théorèmes limites), et des études de modèles motivés par les applications (mathématiques financières, modèles de boules aléatoires). Le mémoire est organisé selon trois thèmes principaux que nous décrivons brièvement. Dans une première partie, les lois de différents types d'intégrales stochastiques (stable, Wiener-Itô, Poisson) sont étudiées. En considérant les intégrales comme des fonctionnelles sur l'espace des trajectoires de processus naturellement associés aux mesures aléatoires d'intégration, nous analysons la régularité des lois (existence de densité, convergence en variation par rapport aux fonctions intégrées). La deuxième partie est consacrée à des inégalités sur les lois de probabilités. Les premières sont des inégalités de concentration qu'on propose pour des fonctionnelles sur l'espace de Poisson lorsque le gradient (de type différence) satisfait certaines bornes. Nos résultats sont spécialisés pour de nombreuses classes de fonctionnelles (parmi lesquelles~: des vecteurs d'intégrales de Poisson, des fonctionnelles de Wiener quadratiques, des fonctionnelles stables). Les secondes sont des inégalités de comparaison convexe pour des exponentielles stochastiques ou des vecteurs à représentation prévisible. Des applications aux bornes de prix d'options financières sont également considérées. La troisième partie regroupe différents théorèmes limites pour différentes convergences et différents objets. Des convergences en variation sont obtenues pour des processus empiriques en renforçant des principes d'invariance, et pour les variations d'Hermite du mouvement brownien fractionnaire en obtenant des résultats de type Berry-Esséen. Dans des modèles de boules aléatoires et de mots aléatoires, ce sont des fluctuations en lois de fonctionnelles d'intérêt que nous analysons.

Cette thèse est consacrée à la résolution des problèmes de contrôle non linéaires par des méthodes de calcul hybride. L'idée défendue est que la modélisation par les systèmes hybrides permet la résolution approchée des problèmes non linéaires sans connaissance a priori du comportement du système étudié. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la modélisation des systèmes de contrôle non linéaires par une nouvelle classe de systèmes hybrides affines par morceaux. Un soin particulier est apporté à l'étude de l'erreur et de la convergence de l'approximation hybride. La deuxième partie est consacrée au problème de la contrôlabilité à l'origine des systèmes non linéaires. Nous nous intéressons tout d'abord à la quantification de l'erreur commise entre le domaine contrôlable non linéaire et son approximation hybride. Nous proposons ensuite une approche constructive pour le calcul du domaine contrôlable, permettant alors de réduire l'exploration des états discrets de l'automate hybride. La dernière partie est dédiée à la recherche de solutions optimales des problèmes de contrôle non linéaires et hybrides. Nous justifions tout d'abord la pertinence de la modélisation hybride à travers deux approches : le principe du maximum de Pontryagin et les solutions de viscosité des équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman. Nous énonçons en particulier un principe du maximum hybride qui nous permet alors de déterminer la structure du contrôle optimal hybride. Ces trois parties répondent à un objectif principal : développer par le calcul hybride combinant analyse numérique et calcul formel, des outils mathématiques et algorithmiques efficaces pour l'étude de dynamiques contrôlées non linéaires.

La liquéfaction d'un massif de sol, due à l'action des sollicitations sismiques, provoque son instabilité et engendre des efforts importants sur les ouvrages avoisinants, qu'il convient de prendre en compte dans le dimensionnement de ces derniers. Nous proposons dans ce travail une approche dans le but d'une part de simuler l'évolution dans le temps du massif de sol liquéfié, modélisé comme un matériau viscoplastique de Bingham, d'autre part d'évaluer les efforts exercés sur les ouvrages que le sol liquéfié rencontre en s'écoulant. La résolution du problème d'évolution repose sur un principe de minimum en vitesses, combiné à un schéma d'intégration explicite dans le temps, permettant d'actualiser de proche en proche la géométrie du massif entre deux configurations successives. Une condition de bord réaliste autorisant le glissement à partir d'un seuil de cisaillement est par ailleurs formulée. Les efforts exercés sur les structures avoisinantes sont alors évalués en analysant le problème bidimensionnel de l'écoulement d'un fluide de Bingham autour d'un obstacle. Un outil numérique, reposant sur une formulation type "éléments finis" et utilisant la méthode du lagrangien augmenté associée à la technique de décomposition-coordination, a été élaboré et mis en oeuvre sur un certain nombre d'applications.

Un des grands enjeux de l'étude de la Communication Parlée est la justification des tendances universelles des systèmes phonologiques des langues du monde. En effet, il s'agit d'expliquer les principes gouvernant la distribution des briques de base qui permettent la construction du langage. Ces éléments sonores sont désignés par le nom de phonèmes. Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans ce cadre de recherche. Nous avons utilisé une approche novatrice qui consiste en la simulation d'une société d'agents communicants. Le but est d'analyser dans quelle mesure un code linguistique commun est établi dans une telle société par le jeu de la communication parlée, et dans quelle mesure également les inventaires phonétiques émergent des principes d'interaction entre agents communicants. Nous avons développé un modèle d'échanges perceptifs de voyelles au sein d'une communauté d'agents de parole. Ce modèle, appelé ESPECE, a été validé à l'issue d'une application à la prédiction des systèmes vocaliques. Les résultats des simulations se sont avérés encourageants suite à leur confrontation aux données connues sur les inventaires phonétiques des langues du monde. En outre, le cadre de simulation ESPECE a été étendu en vue de la mise en oeuvre du principe du MUAF (Maximum Use of Available distinctive Features). Ce principe permet d'expliquer l'apparition de traits supplémentaires dans les larges systèmes vocaliques.

Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité.

On étudie à la fois l'estimation de l'entropie de Shannon d'une probabilité à partir d'observations indépendantes ou markoviennes, et l'estimation du taux d'entropie d'un processus markovien de sauts d'espace d'état fini, à partir d'observations continues ou discrètes. Plusieurs problèmes connexes sont traités. Certains apparaissent en amont de l'estimation, comme l'étude de la géométrie de la divergence de Kullback-Leibler en lien avec la transformation escorte. D'autres apparaissent comme des applications des résultats d'estimation obtenus. On construit ainsi des tests sur le niveau d'entropie d'une probabilité, à partir d'un principe de grandes déviations pour la suite des estimateurs empiriques de l'entropie d'une suite de variables indépendantes. On étudie également diverses propriétés en lien avec l'estimation de l'entropie et du taux d'entropie de files d'attente modélisées par des processus markoviens de naissance et de mort.

Le principe d'équivalence faible, pilier de la relativité générale d'Einstein, stipule que la masse gravitationnelle est égale à la masse inertielle quelque soit le corps. Ce principe d'équivalence n'a jamais été directement testé avec l'antimatière. L'expérience GBAR se propose de le tester en mesurant l'accélération d'atomes d'anti-hydrogène ultra froids en chute libre. La production de tels anti-atomes nécessite une impulsion de l'ordre de 1e10 positons en quelques dizaines de nanosecondes. Cette thèse porte sur le développement d'une nouvelle technique d'accumulation de positons dans un piège de Penning-Malmberg pour créer une telle impulsion. Cette nouvelle méthode est une amélioration de la technique d'accumulation d'Oshima et al. . Cette technique nécessite un plasma non neutre d'électrons pour refroidir les positons dans le piège afin de les confiner. Les positons sont délivrés par une source continue et l'efficacité de piégeage est de l'ordre de 0.4%. La nouvelle méthode proposée a besoin d'un faisceau pulsé de positons et son efficacité est estimée à 80%. Une partie de cette thèse a été effectuée à RIKEN (Tokyo) sur le piège d'Oshima et al. afin d'étudier le comportement de plasmas non neutres dans ce type de piège et cette méthode d'accumulation de positons. Un modèle théorique a été développé pour simuler son efficacité de confinement des positons. La description et l'étude systématique de la nouvelle méthode d'accumulation avec un faisceau pulsé de positons sont présentées, notamment l'optimisation par simulation numérique de la configuration électromagnétique du piège et des paramètres des plasmas non neutres utilisés.

La prévision des conséquences de rejets radioactifs dans l'atmosphère repose sur des modèles de dispersion qui fournissent des solutions analytiques (pX 0.1 développé par IRSN/ECL) ou numériques (Polair3D développé au CEREA) de l'équation d'advection-diffusion. Les modèles s'appuient d'une part sur des champs météorologiques possédant une résolution limitée et intègrent d'autre part des processus d'appauvrissement d'un nuage radioactif dont la description est imparfaite. Afin de contourner ces difficultés nous exploitons dans cette thèse les opportunités offertes par le couplage des modèles aux mesures, connu sous le nom d'assimilation de données. Dans un premier temps nous confrontons les modèles utilisés à des observations. Ces dernières sont fournies par des expériences effectuées avec des traceurs passifs ou collectées suite a des rejets de radionucléides. La dispersion sur une maquette de la centrale de Bugey dans une soufflerie en champ proche, l'expérience ETEX-I à l'échelle continentale et les rejets accidentels de Tchernobyl et Algésiras font l'objet d'études dans ce travail. Dans un deuxième temps, les modèles de dispersion sont associés aux mesures dans le but d'améliorer l'évaluation de conséquences de rejets radioactifs et d'inverser leur sources si la qualité du modèle le permet. En champ proche, l'approche variationnelle standard est utilisée. L'adjoint de pX 0.1 est construit à l'aide d'un différenciateur automatique. Les mesures collectées dans la soufflerie sont assimilées afin d'inverser le débit de la source. Dans le but d'obtenir un meilleur accord entre le modèle et les mesures, l'optimisation des paramètres gouvernant la distribution spatiale du panache est ensuite abordée. L'avantage de l'emploi de mesures est conditionné par leur contenu informatif. Ainsi, l'analyse a posteriori du réseau de mesures est effectuée et des possibilités de réduire sa taille en vue des applications opérationnelles sont exploitées. A l'échelle continentale, malgré la restriction aux mailles contenant des sites nucléaires, l'espace engendré par des sources est de dimension considérablement plus grande que l'espace d'observations. Par conséquent le problème inverse de reconstruction de la position et du profil temporel des sources est mal posé. Ce problème est régularisé en utilisant le principe du maximum d'entropie sur la moyenne. Des nouvelles fonctions coût prenant en compte le confinement spatio-temporel des sources accidentelles sont construites dans l'espace d'observations. Le lien entre la source recherchée et les mesures est décrit par l'adjoint de Polair3D. Les observations assimilées par la méthode sont constituées de mesures synthétiques, parfaites ou bruitées. Une série d'expériences se focalisant sur des sensibilités de la méthode est menée et leur qualité évaluée à l'aide d'un indicateur objectif. Un algorithme de réduction des sites suspectés pour des applications opérationnelles est testé. Finalement, les résultats de l'inversion du profil temporel de la source de l'accident d'Algésiras sont présentés.

Dans cette thèse, on a surtout étudié le caractère bien posé pour des équations aux dérivées partielles et des problèmes de contrôle optimal. On a étudié les problèmes de Cauchy associés à des lois de conservation hyperboliques avec des vitesses non locales, pour un modèle 1D (système de fabrication industrielle), puis 2D (processus de sélection folliculaire). Dans les deux cas, on montre l'existence et l'unicité de solutions des problèmes de Cauchy, en utilisant le théorème du point fixe de Banach. On a étudié par la suite des problèmes de contrôle optimal, d'abord sur le modèle 2D, puis sur un modèle basé sur des équations differentielles ordinaires (amplification de protéines mal repliées). Dans le premier modèle, on montre que les contrôles optimaux sont bang-bang avec un seul instant de commutation. Dans le second modèle, les contrôles optimaux sont relaxés, nous déterminons leur positionnement dans l'espace des contrôles admissibles.