Les neurosciences computationnelles sont traditionnellement dominées par la conception selon laquelle les neurones codent l'information à travers leur fréquence de décharge. Récemment, les observations expérimentales de synchronisation neuronale ont motivé un renouveau du point de vue impulsionnel, selon lequel la structure temporelle des décharges est pertinente. Les modèles impulsionnels étant moins bien compris que leurs homologues fréquentiels, nous commençons par établir des résultats théoriques généraux, qui nous permettent en particulier de montrer que les modèles impulsionnels répondent de manière reproductible aux stimulations variables apériodiques. Cette propriété nous permet de construire un modèle de sélectivité à l'orientation dans le cortex visuel, le perceptron impulsionnel, qui, en détectant une propriété géométrique de l'image plutôt que l'adéquation entre l'image et un patron, permet d'obtenir avec une architecture feedforward une invariance naturelle au contraste.

L'objet de cette thèse est l'étude mathématique et numérique d'un système de compétition de plusieurs espèces pour une ressource dans un milieu hétérogène. Lorsque le milieu est homogène, il est connu qu'un tel système, appelé système de chemostat, vérifie le principe d'exclusion compétitive : au plus une espèce peut survivre. Nous proposons deux modèles spatialement structurés et étudions le rôle de l'hétérogénéité spatiale dans les phénomènes de coexistence. Le premier modèle est un système d'équations matricielles et le second un système de réaction-diffusion. Notre première contribution est de montrer que les solutions du système de réaction-diffusion sont uniformément bornées en temps et en espace en norme L infini. Nous étudions ensuite le cas des petits taux de migration dans le modèle discret et montrons que la coexistence est possible. Dans le cas des grands taux de migration, nous montrons à l'aide du théorème de la variété centrale que pour chacun des deux modèles, le principe d'exclusion compétitive est vérifié. Nous construisons finalement des solutions stationnaires de coexistence pour deux espèces à l'aide d'une méthode de bifurcations globales. Cette construction nous amène à définir la notion de domaine de coexistence dans l'espace des paramètres. Dans les derniers chapitres, nous illustrons et étendons numériquement les résultats précédents. Nous montrons en particulier comment le domaine de coexistence dépend du taux de migration et de l'hétérogénéité spatiale.

Dans cette thèse, on a surtout étudié le caractère bien posé pour des équations aux dérivées partielles et des problèmes de contrôle optimal. On a étudié les problèmes de Cauchy associés à des lois de conservation hyperboliques avec des vitesses non locales, pour un modèle 1D (système de fabrication industrielle), puis 2D (processus de sélection folliculaire). Dans les deux cas, on montre l'existence et l'unicité de solutions des problèmes de Cauchy, en utilisant le théorème du point fixe de Banach. On a étudié par la suite des problèmes de contrôle optimal, d'abord sur le modèle 2D, puis sur un modèle basé sur des équations differentielles ordinaires (amplification de protéines mal repliées). Dans le premier modèle, on montre que les contrôles optimaux sont bang-bang avec un seul instant de commutation. Dans le second modèle, les contrôles optimaux sont relaxés, nous déterminons leur positionnement dans l'espace des contrôles admissibles.

La mémoire de travail paramétrique - la capacité fondamentale à maintenir et à manipuler des informations quantitatives de façon transitoire - est essentielle à de nombreuses fonctions centrales (perception, action, décision, contrôle comportemental, cognition). À l'échelle des neurones du cortex préfrontal, la mémoire de travail paramétrique s'exprime au travers d'activités persistantes de fréquence gradée (multistabilité) codant l'amplitude d'informations quantitatives passées (p.ex. une quantité psychophysique, un nombre d'items), dont l'origine causale demeure incomprise. En simulant des modèles biophysiques détaillés et en analysant formellement leur version simplifiée, j'ai 1) étudié les propriétés de mémoire cellulaire de neurones de couche V du cortex préfrontal, munis de courants supraliminaires, et 2) évalué le rôle possible de ces propriétés dans les processus de maintien gradé de l'activité persistante au sein des réseaux récurrents préfrontaux. Ces modèles réalistes m'ont permis de proposer 1) l'existence d'une forme particulière de bistabilité cellulaire flexible, dont l'expression est conditionnée à l'historique de régulation des propriétés intrinsèques et à la nature de la stimulation perçue (présent) et 2) que cette bistabilité cellulaire peut, par son interaction avec la réverbération d'activité synaptique, participer à l'émergence des dynamiques collectives persistantes gradées des réseaux préfrontaux, le corrélât neuronal de la mémoire de travail paramétrique. / Parametric working memory – the fundamental ability to maintain and manipulate quantitative information transiently – is critical to many core brain functions (perception, action, decision, behavioral control, cognition). Across neurons of the prefrontal cortex, parametric working memory is expressed through persistent graded activities (multistability) encoding the amplitude of past quantitative information (e.g. a psychophysical quantity, a number of items). The causal origin of this multistability remains unclear. Using biophysical and analytical models, I first studied the mnemonic properties of individual neurons endowed with supraliminar conductances. I then evaluated the possible role of these properties in maintaining persistent graded activities in prefrontal recurrent networks. These realistic models suggest 1) the existence of a flexible form of cellular bistability, conditioned to the historical regulation of the intrinsic properties and the nature of the stimulation and 2) that this cellular bistability could participate, in interaction with synaptic reverberation, to the emergence of persistent graded collective dynamics in prefrontal networks, the neural correlate of parametric working memory.

La réponse immunitaire se produit en réaction à une infection, c'est- à-dire à l'introduction d'un pathogène dans l'organisme. Nous nous intéressons à une population de cellules spécifique de la réponse, les lymphocytes T CD8. Nous avons développé un modèle non linéaire structuré en âge des dynamiques de cette réponse, à l' échelle cellulaire. Nous avons étudié l'existence et la stabilité des états d' équilibre, et obtenu des propriétés mettant en évidence, sous certaines conditions, des dynamiques à long terme correspondant à la situation biologiquement attendue. Nous avons ensuite réalisé une estimation systématique des valeurs de paramètres du modèle, afin de déterminer un ensemble de valeurs pour chaque paramètre qui permet de reproduire convenablement des données expérimentales. Cette démarche permet d'obtenir des informations sur l'influence des paramètres dans le modèle, et sur leurs variations selon la nature du pathogène. Enfin, nous nous sommes intéressés aux dynamiques de la réponse à l'échelle moléculaire, en écrivant un réseau des événements de signalisation clés depuis l'activation de la cellule en présence d'un antigène, jusqu'à l'entrée en cycle ou l'apoptose de la cellule. Nous avons déterminé un sous-modèle centré sur les choix entre survie et apoptose, que nous avons étudié mathématiquement et numériquement. Ce modèle a permis d' étudier les dynamiques de concentrations des protéines impliquées dans la signalisation intra-cellulaire de la réponse T CD8.

La question de l’évolution de la coopération suscite l’intérêt des biologistes depuis longtemps. Les modèles mathématiques ont joué un rôle essentiel dans la résolution du problème. La théorie des jeux précise la notion de coopération, tandis que les équations différentielles et les probabilités permettent de comprendre l’évolution des populations dans le temps. Ce mémoire est consacré à l’analyse de certains modèles de population qui ont en commun un phénomène d’appariement. Il faut comprendre par là que les individus expriment une préférence à interagir avec des individus semblables. Un chapitre liminaire revient sur certains développements importants de la théorie dy namique des jeux et de la biologie mathématique en général. On y évoque notamment l’équation de réplication, le modèle de Cannings, la diffusion de Wright-Fisher et la règle du tiers de l’évolution. Le second chapitre est un article « Assortment by Group Founders Always Promotes the Evolution of Cooperation Under Global Selection but Can Oppose it Under Local Selection ». On y examine l’effet de l’appariement sur la stabilité de l’équation de réplication avec sélection locale et globale, et la probabilité de fixation dans le modèle de Cannings avec sélection pour une grande population, pour des jeux de deux joueurs. Le troisième chapitre est un autre article « Evolution of cooperation in social dilemmas with assortment in finite population ». Il prolonge les résultats du premier article aux jeux de plusieurs joueurs, appelés dilemmes sociaux, pour une population grande mais finie. / The problem of the evolution of cooperation has long captured the interest of biologists. Mathematical models have played a crucial role in the resolution of this problem. Game theory offers a precise definition of cooperation, while differential equations and probabil ity theory allows us to understand the temporal dynamics of populations. This thesis is dedicated to the analysis of population models with assortment, meaning that individuals express a preference for interacting with similar partners. An introductory chapter recounts some important innovations of dynamic game theory and mathematical biology as a whole. The replicator equation, Cannings’ model, the Wright Fisher diffusion and the one-third law of evolution, among others, are discussed. The second chapter is an article "Assortment by Group Founders Always Promotes the Evolution of Cooperation Under Global Selection but Can Oppose it Under Local Selection". The effect of assortment on the stability of the replicator equation with local and global selection and the fixation probability in the Cannings’ model with selection for a large finite population and two-players games, is examined. The third chapter is another article "Evolution of cooperation in social dilemmas with assortment in finite population". The results of the first article are extended to many-players games, called social dilemmas, for a large finite population.

L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certains modèles de la dynamique et la distribution des bactéries dans une rivière. Il s'agit de la stabilité des états stationnaires et l'existence des solutions périodiques. Nous considérons, dans la première partie de la thèse, un système d'équations différentielles ordinaires qui modélise les interactions et la dynamique de quatre espèces de bactéries dans une rivière. Nous avons étudié le comportement asymptotique des états stationnaires. L'étude de la stabilité des états stationnaires est essentiellement faite par la construction d'une fonction de Lyapunov combinée avec le principe d'invariance de LaSalle. D'autre part, l'existence des solutions périodiques est démontrée en utilisant le théorème de continuation de Mawhin. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'un système de convection-diffusion non-autonome. Ce modèle tient compte du transport des bactéries. Nous étudions l'analyse qualitative des solutions, nous déterminons l'ensemble limite du système et nous démontrons l'existence des états stationnaires positifs. L'étude de l'existence des états stationnaires (les seuls qu'il soit possible d'obtenir) est basée sur le théorème de Leray-Schauder. / The objective of this thesis is the qualitative study of some models of the dynamic and the distribution of bacteria in a river. We are interested in the stability of equilibria and the existence of periodic solutions. The thesis can be divided into two parts; the first part is concerned with a mathematical analysis of a system of differential equations modelling the dynamics and the interactions of four species of bacteria in a river. The asymptotic behavior of equilibria is established. The stability study of equilibrium states is mainly done by construction of Lyapunov functions combined with LaSalle's invariance principle. On the other hand, the existence of periodic solutions is proved under certain conditions using the continuation theorem of Mawhin. In the second part of this thesis, we propose a non-autonomous convection-reaction diffusion system with nonlinear reaction source functions. This model refers to the quantification and the distribution of antibiotic resistant bacteria (ARB) in a river. Our main contributions are : (i) the determination of the limit set of the system; it is shown that it is reduced to the solutions of the associated elliptic system; (ii) sufficient conditions for the existence of a positive solution of the associated elliptic system based on the Leray Schauder's degree theory.

Les progrès récents des techniques expérimentales biologiques ont conduit à la production d'une énorme quantité de données sur le comportement dynamique des réseaux de régulation génique (RRG). Nous présentons une approche pour l'identification des modèles affines-par-morceaux (APM) de RRGs à partir de données expérimentales. Ces modèles reposent sur l'hypothèse que la régulation survient au niveau de la synthèse et de la dégradation des produits de l'expression des gènes : les paramètres cinétiques sont supposés être constants jusqu'à ce que la concentration d'une protéine régulatrice franchisse un seuil de transition.<br /><br />La méthode que nous présentons se concentrent sur le problème de la détection des transitions entre les différents modes dynamiques à partir des données d'expression génique et sur la reconstruction des seuils de transition associés avec les interactions régulatrices. En particulier, notre méthode prend en considération les contraintes géométriques spécifiques aux modèles APM de RRGs. Une telle méthode d'identification est conçue pour des systèmes à erreur sur la sortie où les observations sont des séries temporelles de mesures bruitées de niveaux de concentration à l'intérieur d'une cellule.<br /><br />Les données sont d'abord classées en modes dans lesquels le comportement dynamique est considéré comme étant complètement décrit par une équation différentielle linéaire. À partir de la classification résultante, une technique de reconnaissance de forme est utilisée pour reconstruire toutes les combinaisons de seuils de transition qui sont cohérentes avec les données mesurées. Pour chaque combinaison de seuils, il est alors possible de fournir un réseau de régulation et les paramètres dynamiques de chaque mode.<br /><br />Les performances de notre approche ont été analysées en utilisant des données artificielles simulées pour un modèle simplifié de la réponse à un manque de carbone pour le bactérie Escherichia coli. En particulier, nous avons évalué l'influence du niveau du bruit et du pas d'échantillonnage sur les systèmes identifiés. Nos résultats montrent que la méthode, en association avec des séries temporelles de mesures suffisamment précises, lesquelles peuvent être obtenues avec des systèmes à gène rapporteur, permettent une identification quantitative de modèles APM de RRGs.