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Hétérogénéité spatiale en dynamique des populationsMadec, Sten 10 June 2011 (has links) (PDF)
L'objet de cette thèse est l'étude mathématique et numérique d'un système de compétition de plusieurs espèces pour une ressource dans un milieu hétérogène. Lorsque le milieu est homogène, il est connu qu'un tel système, appelé système de chemostat, vérifie le principe d'exclusion compétitive : au plus une espèce peut survivre. Nous proposons deux modèles spatialement structurés et étudions le rôle de l'hétérogénéité spatiale dans les phénomènes de coexistence. Le premier modèle est un système d'équations matricielles et le second un système de réaction-diffusion. Notre première contribution est de montrer que les solutions du système de réaction-diffusion sont uniformément bornées en temps et en espace en norme L infini. Nous étudions ensuite le cas des petits taux de migration dans le modèle discret et montrons que la coexistence est possible. Dans le cas des grands taux de migration, nous montrons à l'aide du théorème de la variété centrale que pour chacun des deux modèles, le principe d'exclusion compétitive est vérifié. Nous construisons finalement des solutions stationnaires de coexistence pour deux espèces à l'aide d'une méthode de bifurcations globales. Cette construction nous amène à définir la notion de domaine de coexistence dans l'espace des paramètres. Dans les derniers chapitres, nous illustrons et étendons numériquement les résultats précédents. Nous montrons en particulier comment le domaine de coexistence dépend du taux de migration et de l'hétérogénéité spatiale.
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Théorèmes de points critiques pour des fonctionnelles symétriques fortement indéfinies et applicationsBatkam, Cyril Joël January 2014 (has links)
Dans cette thèse, nous utilisons le degré et la topologie $\tau$ introduits en 1996 par
Kryszewski et Szulkin pour généraliser, au cas des fonctionnelles fortement indéfinies,
les théorèmes de la fontaine de T. Bartsch (1993), de T. Bartsch et M. Willem (1995)
et de W. Zou (2001). Aucune méthode de réduction n'est utilisée. Nous appliquons les
nouveaux théorèmes pour prouver l'existence d'une infinité de solutions pour quelques
systèmes différentiels.
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Ecoulement diphasique compressible et immiscible en milieu poreux : analyse mathématique et numériqueKhali, Ziad 30 September 2010 (has links) (PDF)
L'objectif de cette thèse est l'étude du problème de Cauchy pour les solutions faibles de trois problèmes (systèmes paraboliques dégénérés et fortement couplés) modélisant des écoulements diphasiques et compressibles en milieu poreux. La motivation de ce travail est un "benchmark" du GNR MoMaS pour l'étude de l'impact de l'écoulement du gaz d\^{u} à la corrosion des matériaux ferreux dans un site de stockage de déchets radioactifs. Cette thèse est divisée en trois chapitres indépendants. Premièrement, on s'intéresse à l'analyse mathématique d'un problème modélisant l'écoulement de deux phases immiscibles et en considérant qu'une phase est compressible et l'autre est incompressible (eau/gaz). Deuxièmement, on traite le cas général du déplacement de deux fluides compressibles et immiscibles dans un milieu poreux. Enfin, le dernier chapitre est consacré à la construction et à la convergence de la méthode des volumes finis pour le système eau-gaz sous l'hypothèse que la densité du gaz est une fonction de la pression globale.
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Simulation numérique d'écoulements confinés de fluides miscibles par la méthode BGK sur réseauTalon, Laurent 18 October 2004 (has links) (PDF)
Dans ce mémoire nous avons étudié numériquement plusieurs systèmes d'écoulements confinés. Nous avons étudié l'influence des hétérogénéités d'un milieu poreux sur l'étalement d'un front de mélange pour des fluides miscibles visqueux. Il s'est révélé que la loi de mélange était diffusive pour un rapport de viscosité neutre et stabilisant et convective pour une rapport déstabilisant. Dans la seconde partie de ce mémoire, nous avons étudié le comportement d'un déplacement de deux fluides miscibles dans une cellule de Hele-Shaw lorque la loi de viscosité est non-monotone. Nous avons traité ce problème à l'aide d'un système d'équations présentant un changement de nature: elliptique -- hyperbolique. Dans la troisième partie de ce mémoire, nous avons étudié numériquement et experimentalement la sélection et la stabilité du même système lorsque la loi de viscosité est monotone.
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Quelques résultats sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir l'opérateur p-Laplacien.CHAIB, Karim 23 April 2002 (has links) (PDF)
Il a été question dans ce travail, sous la direction de F. de Thélin, de l'étude de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles faisant intervenir l'opérateur $p$-Laplacien ($ \Delta_p u = div(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) $). Cet opérateur elliptique dégénéré apparaît dans de nombreux problèmes aussi bien en mathématiques fondamentales qu'en sciences expérimentales (écoulement de glacier de montagne, extraction pétrolière, dynamique des populations et d'autres encore). Il généralise l'opérateur Laplacien usuel $ \Delta = \Delta_2 $ dont l'étude a été largement abordée ces dernières décennies. Nous nous sommes attachés à étudier certaines propriétés des solutions de ces systèmes telles que l'existence, l'unicité et la régularité dans des domaines non bornés et en particulier $ \mathbb{R}^N $. Ces résultats ont été obtenus sous des conditions variées portant sur le comportement des termes de réactions qui interviennent dans les problèmes. Dans cette thèse, nous avons généralisé au cas non borné un outil très utilisé pour appréhender des équations aux dérivées partielles de ce type, qui est connu sous le nom d'inégalité de Díaz-Saa. Elle nous a permis d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité de solution pour un système sous des conditions du même type que celles de H. Brézis et L. Oswald. En outre, nous avons utilisé le théorème du col et la méthode des sous,sur-solutions pour montrer une condition nécessaire et suffisante d'existence dans le cas sur-homogène et sous-critique et dans le cas sous-homogène. Une partie de cette thèse a aussi été consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de tels systèmes dépendant d'un paramètre. Le comportement de ces solutions lorsque le paramètre tend vers l'infini dépend essentiellement du comportement des termes de réactions à l'infini.
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Autour des singularités d’applications vectorielles en physique de la matière condensée / Singularities of vector-valued maps in condensed matter physicsLamy, Xavier 06 July 2015 (has links)
Cette thèse est consacrée principalement à l'analyse mathématique de modèles issus de la physique des cristaux liquides et de la supraconductivité. Ces modèles ont en commun de faire intervenir des systèmes elliptiques dont les solutions présentent des singularités : défauts optiques dans les cristaux liquides, défauts de vorticité en supraconductivité. Les cristaux liquides se composent de molécules allongées qui, tout en étant distribuées « au hasard » comme dans un liquide, tendent à s'aligner dans une direction commune : cet « ordre d'orientation » leur confère des propriétés optiques similaires à celles d'un cristal, à l'origine de leurs nombreuses applications industrielles. On démontre différents résultats liés à la symétrie locale de cet alignement autour des singularités. On présente aussi dans cette thèse différents résultats liés au modèle de Ginzburg-Landau pour les supraconducteurs de type II, et aux « défauts de vorticité » : points isolés autour desquels la supraconductivité est détruite. Une dernière partie de cette thèse traite de la caractérisation de la régularité d'une fonction f à travers la vitesse de convergence de f ∗ ρε pour un certain noyau ρ. Dans un travail commun avec Petru Mironescu, on s'intéresse à la question de la régularité des noyaux ρ qui permettent une telle caractérisation / The present thesis is devoted mainly to the mathematical analysis of models arising in the physics of liquid crystals and superconductivity. A common feature of these models is that one has to deal with elliptic systems whose solutions have singularities: optical defects in liquid crystals, vorticity defects in superconductivity. The rod-like molecules in a liquid crystals, while being (as in a liquid) “randomly” distributed, tend to align in a common direction: this “orientational order” enhances crystal-like optical properties, which are responsible for their many industrial applications. We demonstrate different results related to the local symmetry of this alignement near singularities. We also present some results related to the Ginzburg-Landau model for type II superconductivity, and to “vortices”: isolated points at which superconductivity is destroyed. The last part of this thesis addresses regularity characterization for a function f through the convergence rate of f ∗ ρε, for some kernel ρ. In a joint work with Petru Mironescu we study the minimal regularity of ρ that allows such characterization
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SUR LES SYSTEMES ELLIPTIQUES QUASI-LINEAIRES ET ANISOTROPIQUES AVEC EXPOSANTS CRITIQUES DE SOBOLEV.Adriouch, Khalid 13 July 2007 (has links) (PDF)
L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.
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Au delà du principe du maximum pour des systèmes d'opérateurs elliptiquesLécureux, Marie-Hélène 13 June 2008 (has links) (PDF)
L'objet de cette thèse est l'étude de solutions de certains systèmes d'opérateurs elliptiques, soit sur des domaines bornés, soit sur R^N tout entier. \Dans la première partie, les solutions respectent la condition de Dirichlet raffinée. Cette condition au bord, définie par Strook et Varadhan, est adaptée aux domaines bornés sans condition de régularité. L'utilisation de plusieurs versions adaptées du théorème de Krein-Rutman permet ici de déterminer le signe des solutions des systèmes. Dans la seconde partie, les opérateurs sont des opérateurs de Schrödinger. On établit les comparaisons à l'état fondamental pour des solutions de systèmes 2 x 2 dans le cas de systèmes à coefficients constants, et dans le cas de certains systèmes à coefficients variables.
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Étude de quelques problèmes elliptiques et paraboliques quasi-linéaires avec singularités / Study of some quasilinear and singular elliptic and parabolic problemsSauvy, Paul 04 December 2012 (has links)
Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Plus précisément, nous avons fait ici l’étude de problèmes quasi-linéaires singuliers. Le terme "singulier" fait référence à l’intervention d’une non-linéarité qui explose au bord du domaine où ’équation est posée. La présence d’une telle singularité entraîne un manque de régularité et donc de compacité des solutions qui ne nous permet pas d’appliquer directement les méthodes classiques de l’analyse non-linéaire pour démontrer l’existence de solutions et discuter des propriétés de régularité et de comportement asymptotique de ces solutions. Pour contourner cette difficulté, nous sommes amenés à établir des estimations a priori très fines au voisinage du bord du domaine en combinant diverses méthodes : méthodes de monotonie (reliée au principe du maximum), méthodes variationnelles, argument de convexité, méthodes de point fixe et semi-discrétisation en temps. A travers, l’étude de trois problèmes-modèle faisant intervenir l’opérateur p-Laplacien, nous avons montré comment ces différentes méthodes pouvaient être mises en œuvre. Les résultats que nous avons obtenus sont décrits dans les trois chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous avons étudié un problème d’absorption elliptique singulier. En utilisant des méthodes de sur- et sous solutions et des méthodes variationnelles, nous établissons des résultats d’existence de solutions. Par des méthodes de comparaison locale, nous démontrons également la propriété de support compact de ces solutions, pour de fortes singularités. Dans le Chapitre II, nous étudions le cas d’un système d’équations quasi-linéaires singulières. Par des arguments de point fixe et de monotonie, nous démontrons deux résultats généraux d’existence de solutions. Dans un deuxième temps, nous faisons une analyse plus détaillée de systèmes du type Gierer-Meinhardt modélisant des phénomènes biologiques. Des résultats d’unicité ainsi que des estimations précises sur le comportement des solutions sont alors obtenus. Dans le Chapitre III, nous faisons l’étude d’un problème d’absorption, parabolique singulier. Nous établissons par une méthode de semi-discrétisation en temps des résultats d’existence de solutions. Grâce à des inégalités d’énergie, nous démontrons également l’extinction en temps fini de ces solutions. / This thesis deals with the mathematical field of nonlinear partial differential equations analysis. More precisely, we focus on quasilinear and singular problems. By singularity, we mean that the problems that we have considered involve a nonlinearity in the equation which blows-up near the boundary. This singular pattern gives rise to a lack of regularity and compactness that prevent the straightforward applications of classical methods in nonlinear analysis used for proving existence of solutions and for establishing the regularity properties and the asymptotic behavior of the solutions. To overcome this difficulty, we establish estimations on the precise behavior of the solutions near the boundary combining several techniques : monotonicity method (related to the maximum principle), variational method, convexity arguments, fixed point methods and semi-discretization in time. Throughout the study of three problems involving the p-Laplacian operator, we show how to apply this different methods. The three chapters of this dissertation the describes results we get :– In Chapter I, we study a singular elliptic absorption problem. By using sub- and super-solutions and variational methods, we prove the existence of the solutions. In the case of a strong singularity, by using local comparison techniques, we also prove that the compact support of the solution. In Chapter II, we study a singular elliptic system. By using fixed point and monotonicity arguments, we establish two general theorems on the existence of solution. In a second time, we more precisely analyse the Gierer-Meinhardt systems which model some biological phenomena. We prove some results about the uniqueness and the precise behavior of the solutions. In Chapter III, we study a singular parabolic absorption problem. By using a semi-discretization in time method, we establish the existence of a solution. Moreover, by using differential energy inequalities, we prove that the solution vanishes in finite time. This phenomenon is called "quenching".
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