Cette thèse est une contribution à la résolution du problème d'optimisation sous contrainte de fiabilité. Cette méthode de dimensionnement probabiliste vise à prendre en compte les incertitudes inhérentes au système à concevoir, en vue de proposer des solutions optimales et sûres. Le niveau de sûreté est quantifié par une probabilité de défaillance. Le problème d'optimisation consiste alors à s'assurer que cette probabilité reste inférieure à un seuil fixé par les donneurs d'ordres. La résolution de ce problème nécessite un grand nombre d'appels à la fonction d'état-limite caractérisant le problème de fiabilité sous-jacent. Ainsi,cette méthodologie devient complexe à appliquer dès lors que le dimensionnement s'appuie sur un modèle numérique coûteux à évaluer (e.g. un modèle aux éléments finis). Dans ce contexte, ce manuscrit propose une stratégie basée sur la substitution adaptative de la fonction d'état-limite par un méta-modèle par Krigeage. On s'est particulièrement employé à quantifier, réduire et finalement éliminer l'erreur commise par l'utilisation de ce méta-modèle en lieu et place du modèle original. La méthodologie proposée est appliquée au dimensionnement des coques géométriquement imparfaites soumises au flambement.

Dans un réseau bayésien, une observation sur une variable signifie en général que cette variable est instanciée. Ceci signifie que l’observateur peut affirmer avec certitude que la variable est dans l’état signalé. Cette thèse porte sur d’autres types d’observations, souvent appelées observations incertaines, qui ne peuvent pas être représentées par la simple affectation de la variable. Cette thèse clarifie et étudie les différents concepts d’observations incertaines et propose différentes applications des observations incertaines dans les réseaux bayésiens.Nous commençons par dresser un état des lieux sur les observations incertaines dans les réseaux bayésiens dans la littérature et dans les logiciels, en termes de terminologie, de définition, de spécification et de propagation. Il en ressort que le vocabulaire n'est pas clairement établi et que les définitions proposées couvrent parfois des notions différentes.Nous identifions trois types d’observations incertaines dans les réseaux bayésiens et nous proposons la terminologie suivante : observation de vraisemblance, observation probabiliste fixe et observation probabiliste non-fixe. Nous exposons ensuite la façon dont ces observations peuvent être traitées et propagées.Enfin, nous donnons plusieurs exemples d’utilisation des observations probabilistes fixes dans les réseaux bayésiens. Le premier exemple concerne la propagation d'observations sur une sous-population, appliquée aux systèmes d'information géographique. Le second exemple concerne une organisation de plusieurs agents équipés d'un réseau bayésien local et qui doivent collaborer pour résoudre un problème. Le troisième exemple concerne la prise en compte d'observations sur des variables continues dans un RB discret. Pour cela, l'algorithme BN-IPFP-1 a été implémenté et utilisé sur des données médicales de l'hôpital Bourguiba de Sfax. / In a Bayesian network, evidence on a variable usually signifies that this variable is instantiated, meaning that the observer can affirm with certainty that the variable is in the signaled state. This thesis focuses on other types of evidence, often called uncertain evidence, which cannot be represented by the simple assignment of the variables. This thesis clarifies and studies different concepts of uncertain evidence in a Bayesian network and offers various applications of uncertain evidence in Bayesian networks.Firstly, we present a review of uncertain evidence in Bayesian networks in terms of terminology, definition, specification and propagation. It shows that the vocabulary is not clear and that some terms are used to represent different concepts.We identify three types of uncertain evidence in Bayesian networks and we propose the followingterminology: likelihood evidence, fixed probabilistic evidence and not-fixed probabilistic evidence. We define them and describe updating algorithms for the propagation of uncertain evidence. Finally, we propose several examples of the use of fixed probabilistic evidence in Bayesian networks. The first example concerns evidence on a subpopulation applied in the context of a geographical information system. The second example is an organization of agent encapsulated Bayesian networks that have to collaborate together to solve a problem. The third example concerns the transformation of evidence on continuous variables into fixed probabilistic evidence. The algorithm BN-IPFP-1 has been implemented and used on medical data from CHU Habib Bourguiba in Sfax.

Nous étudions dans cette thèse la gestion des incertitudes au sein des systèmes à base de règles métier orientés objet (Object-Oriented Business Rules Management Systems ou OO-BRMS) et nous nous intersessions à des approches probabilistes. Afin de faciliter la modélisation des distributions de probabilités dans ces systèmes, nous proposons d'utiliser les modèles probabilistes relationnels (Probabilistic Relational Models ou PRM), qui sont une extension orientée objet des réseaux bayésiens. Lors de l'exploitation des OO-BRMS, les requêtes adressées aux PRM sont nombreuses et les réponses doivent être calculées rapidement. Pour cela, nous proposons, dans la première partie de cette thèse, un nouvel algorithme tirant parti de deux spécificités des OO-BRMS. Premièrement, les requêtes de ces derniers s'adressent seulement à une sous partie de leur base. Par conséquent, les probabilités à calculer ne concernent que des sous-ensembles de toutes les variables aléatoires des PRM. Deuxièmement, les requêtes successives diffèrent peu les unes des autres. Notre algorithme exploite ces deux spécificités afin d'optimiser les calculs. Nous prouvons mathématiquement que notre approche fournit des résultats exacts et montrons son efficacité par des résultats expérimentaux. Lors de la deuxième partie, nous établissons des principes généraux permettant d'étendre les OO-BRMS pour garantir une meilleure inter-operabilité avec les PRM. Nous appliquons ensuite notre approche au cas d'IBM Operational Decisions Manager (ODM) dans le cadre d'un prototype développé, que nous décrivons de manière générale. Enfin, nous présentons des techniques avancées permettant de compiler des expressions du langage technique d'ODM pour faciliter leur exploitation par le moteur probabiliste des PRM. / In this thesis, we address the issue of uncertainty in Object-Oriented Business Rules Management Systems (OO-BRMSs). To achieve this aim, we rely on Probabilistic Relational Models (PRMs). These are an object-oriented extension of Bayesian Networks that can be exploited to efficiently model probability distributions in OO-BRMSs. It turns out that queries in OO-BRMS are numerous and we need to request the PRM very frequently. The PRM should then provide a rapid answer. For this reason, we propose, in the first part of this thesis, a new algorithm that respects two specifities of OO-BRMSs and optimizes the probabilistic inference accordingly. First, OO-BRMSs queries affect only a subset of their base, hence, the probabilities of interest concern only a subset of the PRMs random variables. Second, successive requests differ only slightly from each other. We prove theoretically the correctness of the proposed algorithm and we highlight its efficiency through experimental tests. During the second part, we establish some principles for probabilistic OO-BRMSs and we describe an approach to couple them with PRMs. Then, we apply the approach to IBM Operational Decision Manager (ODM), one of the state-of-the-art OO-BRMSs, and we provide a general overview of the resulted prototype. Finally, we discuss advanced techniques to compile elements of ODM technical language into instructions that are exploitable by the PRM probabilistic engine.

A l'heure actuelle, les nouvelles contraintes de la réglementation thermique en vigueur ne cessent de s'adapter au contexte économique global pour lequel la recherche d'une efficacité énergétique dans le bâtiment est devenue incontournable. Pour répondre à ces défis, des Matériaux intelligents à Changement de Phase (MCP) ont fait leur apparition sur le marché de la construction. Grâce à leur capacité de stockage de l'énergie, les MCP sont de plus en plus associés aux matériaux de construction classiques (béton, plâtre, etc.) afin d'améliorer leur inertie thermique et apporter un meilleur confort aux usagers. Pour ce faire, les propriétés thermophysiques intrinsèques aux MCP doivent être suffisamment maitrisées afin de pouvoir contrôler les propriétés du produit composite final. Dans ce contexte, cette thèse est une contribution ayant pour objectif de développer des méthodologies spécifiques pour une meilleure caractérisation des MCP et des béton-MCP. Une panoplie d'approches expérimentales a été présentée pour l'identification des propriétés thermophysiques des MCP et pour identifier l'effet d'incorporation et de l'endommagement de ces matériaux sur les propriétés thermiques et mécaniques de béton. Plusieurs modèles d'homogénéisation ont été utilisés afin de prédire le comportement thermique des bétons-MCP en utilisant les propriétés thermiques moyennées obtenues expérimentalement. Une étude probabiliste paramétrique a été menée afin de prendre en compte les incertitudes liées à la dispersion aléatoire des mesures expérimentales de propriétés thermiques du béton-MCP. Les résultats issus des essais expérimentaux ont été intégrés dans le cadre d'une étude numérique par la Méthode des Volumes finis (MVF) afin d'étudier le mécanisme de transfert de chaleur à travers une paroi en béton-MCP / The thermal policies have been kept to fit the new economic in a global context particularly in terms of buildings energy efficiency. To meet these challenges, different technologies have been used such as the Phase Change Materials (PCMs) which have the ability to store and release energy. PCMs are generally used with conventional building materials in order to improve their thermal inertia and provide better comfort to users. To enhance the properties of the final composite, the PCMs thermo-physical properties must be sufficiently controlled. In this context, this thesis is a contribution aimed to develop specific methodologies for better characterization of PCM and PCM-concrete. Different experimental approaches will be presented for the identification of PCMs thermophysical properties and to identify the effect of the incorporation and the damage of these materials on the thermal and mechanical properties of concrete. A multiscale modelling considering the average of experimental thermal properties was applied to predict the thermal behaviour of PCMs-concrete. A probabilistic study of experimental uncertainties will be also conducted to assess the level of confidence of the impact of PCM on the thermodynamic properties of PCM-concrete. A numerical study was conducted using experimental data to study the heat transfer through a PCM-concrete wall

Les évolutions récentes des systèmes électriques comme conséquence de la dérégulation du marché et des traités internationaux comme le protocole de Kyoto ont des répercussions importantes sur les réseaux, en particulier, ceux de distribution. En effet, une large part de la production décentralisée est prévue d'être raccordée sur ces derniers. La production décentralisée utilise des sources d'énergie renouvelables hautement imprévisibles et reparties. Ce fait ajoute une contrainte forte sur l'exploitation des réseaux de distribution qui n'ont pas été conçus, à l'origine, pour accueillir de la production d'énergie à large échelle. Ce travail de thèse étudie l'impact de l'incertitude sur les études classiques de planification des réseaux électriques. Les études statiques et dynamiques du réseau ont été réalisées prenant en compte plusieurs sources d'incertitude dans plusieurs réseaux de distribution. Les incertitudes sont modélisées dans les études statiques par les méthodes probabilistes et possibilistes. La méthode possibilistes offre des avantages sur la méthode probabiliste. Un taux de pénétration éolien maximum d'un petit réseau maillé a été déterminé, en dynamique, en utilisant la méthode probabiliste, ainsi que les simulations de stabilité moyen-long terme et petits signaux du réseau.

Ces travaux ont été développés dans le contexte de l'analyse vibratoire des assemblages combustibles. Ce type de structure est très complexe et a, du fait de sa géométrie, une très forte densité modale. Ainsi, afin de calculer la réponse d'une telle structure, une modélisation simplifiée est préférable. L'objectif est d'identifier des forces stochastiques induites par l'écoulement en utilisant un modèle numérique incertain et des réponses expérimentales. Pour ce problème, 4 sources d'incertitudes sont à prendre en considération : (1) Les incertitudes de modèle induites par les simplifications du modèle. (2) Les incertitudes sur les forces induites par les fluctuations statistiques de la pression turbulent. (3) Les incertitudes concernant la modélisation des forces stochastiques. (4) Les incertitudes induites par les erreurs de mesures. Les forces stochastiques ainsi identifiées sont appliquées sur le modèle simplifié stochastique pour calculer des statistiques sur les quantités d'intérêt / The present research has been developed in the context of the dynamical analysis of fuels assemblies which is a very complex nonlinear dynamical systems due to the high modal density of such a structure. Therefore, the computational model has to be simplified. The objective of this research is to identify stochastic forces induced by the turbulent fluid which are applied to the structure, using an uncertain stochastic simplified computational model and experimental responses. In this problem, there are four sources of uncertainties : (1) The model uncertainties induced by the simplifications in the model. (2) The uncertainties on the loads induced by the statistical fluctuations of the applied turbulent pressure. (3) The uncertainties concerning the model of the stochastic loads. (4) The uncertainties induced by measurement. The identified stochastic loads and the stochastic simplified computational model are then used to construct statistics on quantities of interest

La détermination des propriétés en fatigue à grand nombre de cycles des aciers laminés destinés à l'industrie automobile est un processus coûteux en temps et en quantité de matière : 25 éprouvettes et presque un mois d'essais sont nécessaires à l'obtention d'une courbe de fatigue standard. Dans l'objectif de réduire ces temps de caractérisation, une méthode rapide, basée sur l'auto-échauffement de la matière sous sollicitation cyclique est mise en place sur un très grand nombre de nuances. Les mesures d'auto-échauffement mettent en évidence la présence de deux régimes dissipatifs distincts, un pour les plus faibles amplitudes de chargement cyclique et un pour les plus hautes. Un modèle probabiliste à deux échelles est ensuite développé, dont le but est de prévoir le comportement en fatigue à grand nombre de cycles à partir des mesures d'auto-échauffement. Il est composé d'une matrice au comportement élasto-plastique et d'une population d'inclusions possédant un second comportement élasto-plastique dont le seuil d'activation est aléatoire. Les deux régimes d'auto-échauffement peuvent ainsi être décrits fidèlement. En utilisant l'hypothèse du maillon le plus faible et un critère énergétique, une prévision du comportement en fatigue est réalisée. Trois jours seulement sont alors requis pour obtenir une courbe de fatigue complète. La pertinence de l'approche est validée en comparant avec des courbes de fatigue standards. Puis, des observations par microscopie optique, par microscopie à force atomique et par EBSD sont entreprises sur un acier micro-allié. L'objectif est double : en premier lieu, mieux comprendre les phénomènes qui se produisent sous sollicitation cyclique conduisant à l'obtention des deux régimes d'auto-échauffement ; en second lieu, justifier la pertinence des ingrédients introduits dans la modélisation. Dans une seconde grande partie, il est question de l'influence d'une pré-déformation plastique sur l'évolution des propriétés en fatigue. En effet, les composants automobiles obtenus à partir de tôles en acier laminé subissent diverses opérations de mise en forme, conduisant à déformer plastiquement la matière. Ces modifications de l'état de la matière engendrent des évolutions des propriétés en fatigue qui ne sont cependant pas prises en compte dans le dimensionnement actuel des pièces (non déterminées par la méthode standard car trop coûteux en temps). La rapidité de la méthode développée autorise à caractériser ces évolutions. A partir des modifications des propriétés à l'auto-échauffement après divers modes de pré-déformation plastique (traction, traction plane, cisaillement) et en étudiant diverses directions de sollicitation, il est possible de prévoir l'évolution des propriétés en fatigue associée pour de larges gammes de pré-déformations. La qualité des prévisions est validée en comparant avec des courbes de fatigue standards. / The determination of high cycle fatigue properties of high strength steel sheets for automotive industry is time and specimens consuming : 25 specimens and almost one month are required to obtain a traditional fatigue SN curve. In order to reduce the time dedicated to the fatigue characterization, a fast method, based on the self-heating of steels under cyclic loading is developed and applied to a wide range of grades. Self-heating measurements show the presence of two distinct dissipative regimes, a firstone for the low amplitudes of cyclic loading and a secondary one for the highest. A two scales probabilistic model is then developed in order to establish a dialogue between self-heating measurements and the fatigue properties. It is composed by a matrix having an elasto-plastic behaviorand a population of inclusions having a second elasto-plastic behavior with a random activation threshold. Both self-heating regimes can be perfectly described. By using the weakest link theory and an energetic criterion, a prediction of fatigue properties is made. Only three days are required to obtain acomplete fatigue curve. The pertinence of the approach is validated by a comparison with standard fatigue curves. Then, observations with optical microscopy, atomic force microscopy and EBSD are made on a high strength low alloyed steel grade. This study has two objectives: a better understanding of phenomenon occurring during cyclic loading leading to the two self-heating regimes; a justification of the ingredients introduced into the model. In a second important section, it deals with the influence of aplastic pre-strain on the fatigue properties evolution. Indeed, automotive components obtained from high strength steel sheets are subjected to primary forming operations, inducing plastic strain. These modifications lead to fatigue properties evolutions that are nevertheless not taken into account intraditional fatigue design of components (not determined with the standard method because ofprohibitive time). The speed of the proposed approach authorizes to characterize these evolutions. From the modifications of the self-heating properties after different modes of plastic pre-strain (tension, planetension, shearing) and by studying different directions of loading, it is possible to predict the fatigue properties evolutions for a wide range of plastic strain. The quality of the predictions is validated by acomparison with standard fatigue curves.

Ces dernières années, plusieurs modèles d'évolution moléculaire, basés sur l'hypothèse que les séquences des protéines évoluent sous la contrainte d'une structure bien définie et constante au cours de l'évolution, ont été développés. Cependant, un tel modèle repose sur l'expression de la fonction représentant le lien entre la structure et sa séquence. Les potentiels statistiques proposent une solution intéressante, mais parmi l'ensemble des potentiels statistiques existants, lequel serait le plus approprié pour ces modèles d'évolution ? Dans cette thèse est développé un cadre probabiliste d'optimisation de potentiels statistiques, dans le contexte du maximum de vraisemblance, et dans une optique de protein design. Ce cadre intègre différentes méthodes d'optimisation, incluant la prise en compte de structures alternatives pour l'optimisation des potentiels, et fournit un cadre robuste et des tests statistiques (à la fois dans le contexte de l'optimisation des potentiels mais aussi dans le contexte de l'évolution moléculaire) permettant de comparer différentes méthodes d'optimisation de potentiels statistiques pour les modèles soumis à des contraintes structurales. / In the field of molecular evolution, so called Structurally constrained (SC) models have been developped. Expressed at the codon level, they explicitely separe the mutation (applied to the nucleotide sequence) and the selection (applied to the encoded protein sequence) factors. The selection factor is described as a function between the structure and the sequence of the protein, via the use of a statistical potential. However, the whole evolutionary model depends on the expression of this potential, and one can ask wether a potential would be better than another. In this thesis, is developped a probabilistic framework to optimize statistical potentials especially meant for protein design, using a maximum likelihood approach. The statistical potential used in this thesis is composed by a contact potential and a solvent accessibility potential, but the probabilistic framework can easily be generalized to more complex statistical potentials. In a first part, the framework is defined, and then an algorithmical enhancement is proposed, and finally, the framework is modified in order to take into account misfolded structures (decoys). The framework defined in this thesis and in other works allows to compare different optimization methods of statistical potentials for SC models, using cross-validation and Bayes factor comparisons.

La surveillance des nouveau-nés prématurés placés en unité de soins intensifs a conduit à la notion de monitoring et à l'acquisition de nombreux signaux physiologiques. Si ces informations sont bien utilisées pour le diagnostic et la prévention des situations d'urgence, force est de constater qu'à ce jour, elles le sont beaucoup moins dans un objectif prédictif. La difficulté d'extraction d'informations fiables en temps réel, sans aucun contrôle visuel, à partir de signaux non stationnaires, en est vraisemblablement la cause. Ce mémoire vise donc à proposer des méthodes robustes, adaptées au contexte des unités de soins intensifs néonatals et du temps réel. Pour cela, un ensemble de méthodes génériques appliquées à la variabilité cardiaque, mais capable d'être adaptées à d'autres constantes physiologiques telles que la respiration, ont été développées et testées en contexte clinique. Quatre grandes parties illustrent notre propos : - La proposition d'une méthode originale de détection temps réel probabiliste multicaractéristique permettant de répondre à une problématique d'extraction robuste d'événements d'intérêt à partir de signaux physiologiques bruités. Générique, cette solution est appliquée à la détection robuste du QRS d'un signal ECG. Elle est basée sur le calcul temps réel de plusieurs probabilités a posteriori, concernant les propriétés du signal, qui sont ensuite fusionnées au sein d'un nœud de décision reposant sur l'utilisation pondérée de la divergence de Kullback-Leibler. Comparée à deux méthodes classiques de la littérature sur deux bases de données bruitées, elle obtient un taux d'erreur de détection inférieur (20.91% vs 29.02% (ondelettes) et 33.08% (Pan-Tompkins) sur la base de test). - La proposition d'une méthode impliquant plusieurs modèles semi-markoviens cachés, visant la segmentation de périodes au sein desquelles le détecteur temps réel probabiliste multicaractéristique fournit les détections d'évènements les plus fiables. En comparaison à deux méthodes de la littérature, la solution proposée obtient de meilleures performances, le critère d‘erreur obtenu est significativement plus faible (entre -21.37% et -74.98% selon la base et l'approche évaluée). - La sélection d'un détecteur optimal pour le monitoring d'événements d'apnée-bradycardie, en termes de fiabilité et précocité, à partir de données ECG obtenues chez le nouveau-né. Les performances du détecteur retenu seront comparées aux alarmes générées par un dispositif industriel de suivi continu classiquement utilisé en service de néonatalogie (moniteur Philips IntelliVue). La méthode basée sur le changement abrupt de la moyenne des RR obtient les meilleurs résultats au regard du délai (3.99 s vs 11.53 s pour le moniteur IntelliVue) et de la fiabilité (critère d'erreur de 43.60% vs 80.40%). - La conception et le développement d'une plateforme logicielle SYNaPSE (SYstem for Noninvasive Physiological Signal Explorations) permettant l'acquisition de divers signaux physiologiques en très grande quantité, et de façon non invasive, au sein des unités de soins. La conception modulaire de cette plateforme, ainsi que ses propriétés temps réel, permettent l'intégration simple et rapide de méthodes de traitement du signal complexes. Son intérêt translationnel est montré dans le dépouillement d'une base de données cherchant à étudier l'impact de la bilirubine sur la variabilité cardiaque. / The surveillance of premature newborns placed in intensive care units led to the notion of monitoring and the acquisition of many physiological signals. While this information is well used for the diagnosis and prevention of emergency situations, it must be acknowledged that, to date, it is less the case for predictive purposes. This is mainly due to the difficulty of extracting reliable information in real time, without any visual control, from non-stationary signals. This thesis aims to propose robust methods, adapted to the context of neonatal intensive care units and real time. For this purpose, a set of generic methods applied to cardiac variability, but capable of being adapted to other physiological constants such as respiration, have been developed and tested in clinical context. Four main parts illustrate these points : - The proposal of an original multicharacteristic probabilistic real time detection method for robust detection of interest events of noisy physiological signals. Generic, this solution is applied to the robust QRS complex detection of the ECG signals. It is based on the real time calculation of several posterior probabilities of the signal properties before merging them into a decision node using the weighted Kullback-Leibler divergence. Compared to two classic methods from the literature on two noisy databases, it has a lower detection error rate (20.91% vs. 29.02% (wavelets) and 33.08% (Pan-Tompkins) on the test database). - The proposal of using hidden semi-markovian models for the segmentation of temporal periods with most reliable event detections. Compared to two methods from the literature, the proposed solution achieves better performance, the error criterion obtained is significantly lower (between -21.37% and -74.98% depending on the basis and approach evaluated). - The selection of an optimal detector for the monitoring of apnea-bradycardia events, in terms of reliability and precocity, based on ECG data obtained from newborns. The performance of the selected detector will be compared to the alarms generated by an industrial continuous monitoring device traditionally used in neonatology service (Philips IntelliVue monitor). The method based on the abrupt change of the RR average achieves the best results in terms of time (3.99 s vs. 11.53 s for the IntelliVue monitor) and reliability (error criterion of 43.60% vs. 80.40%). - The design and development of SYNaPSE (SYstem for Noninvasive Physiological Signal Explorations) software platform for the acquisition of various physiological signals in large quantities, and in a non-invasive way, within the care units. The modular design of this platform, as well as its real time properties, allows simple and fast integration of complex signal processing methods. Its translational interest is shown in the analysis of a database in order to study the impact of bilirubin on cardiac variability.

L’intérêt porté aux algorithmes probabilistes est, entre autres,dû à leur simplicité. Cependant, leur analyse peut devenir très complexeet ce particulièrement dans le domaine du distribué. Nous mettons en évidencedes algorithmes, optimaux en terme de complexité en bits résolvantles problèmes du MIS et du couplage maximal dans les anneaux, qui suiventle même schéma. Nous élaborons une méthode qui unifie les résultatsde bornes inférieures pour la complexité en bits pour les problèmes duMIS, du couplage maximal et de la coloration. La complexité de ces analysespouvant facilement mener à l’erreur et l’existence de nombreux modèlesdépendant d’hypothèses implicites nous ont motivés à modéliserde façon formelle les algorithmes distribués probabilistes correspondant ànotre modèle (par passage de messages, anonyme et synchrone), en vuede prouver formellement des propriétés relatives à leur analyse. Pour cela,nous développons une bibliothèque, RDA, basée sur l’assistant de preuveCoq. / Probabilistic algorithms are simple to formulate. However, theiranalysis can become very complex, especially in the field of distributedcomputing. We present algorithms - optimal in terms of bit complexityand solving the problems of MIS and maximal matching in rings - that followthe same scheme.We develop a method that unifies the bit complexitylower bound results to solve MIS, maximal matching and coloration problems.The complexity of these analyses, which can easily lead to errors,together with the existence of many models depending on implicit assumptionsmotivated us to formally model the probabilistic distributed algorithmscorresponding to our model (message passing, anonymous andsynchronous). Our aim is to formally prove the properties related to theiranalysis. For this purpose, we develop a library, called RDA, based on theCoq proof assistant.