Neste trabalho, apresenta-se um estudo preliminar sobre problemas inversos com aplicação na identificação de parâmetros em biorreatores e transferência radiativa. A identificação se baseia na busca de soluções aproximadas a partir do critério dos mínimos quadrados. Para tal, métodos determinísticos implícitos são analisados e posteriormente utilizados, destacando-se o método de Levenberg-Marquardt. No caso do biorreator anaeróbico, discute-se brevemente a teoria acerca dos processos internos e, a partir da implementação do modelo matemático de Antonelli, considerada a solução exata do problema direto, procede-se com a adição de diferentes níveis de ruídos gaussianos e análise de seus efeitos na reconstrução dos parâmetros do modelo. Iniciando a estimação sempre pelos parâmetros corretos, conhecidos a priori, pode-se perceber que é possível proceder com a estimação destes quando a magnitude do erro é da ordem de 1%. No caso de perturbações maiores nos dados de saída do modelo, contudo, embora não seja possível estimar os parâmetros, a simulação continua confiáveis. No que tange à transferência radiativa, usa-se a solução em forma fechada em relação à variável espacial da equação íntegro-diferencial linear de Boltzmann pelo método das Ordenadas Discretas Analíticas como solução exata do problema direto. Investiga-se a eficiência do método de Levenberg-Marquardt na estimação dos parâmetros de albedo e grau de anisotropia em problemas de transporte de radiação. É possível concluir que bons resultados são obtidos na identificação do parâmetro de albedo, mas que o grau de anisotropia é mais suscetível às perturbações. / In this report, a preliminary study on the application of inverse problems in parameter estimation problems in transport of radiation and anaerobic bioreactors is presented. This estimation is based on the search of approximate solution to the inverse problem by the least squares criterion. Implicit deterministic methods are analyzed and subsequently used, mainly the Levenberg-Marquardt method. The anaerobic bioreactor theory is discussed and the mathematical model of Antonelli is considered the exact solution of the direct problem. After, the e ects of the addition of di erent levels of Gaussian noise on the reconstruction of the model parameters is analysed. Starting the estimation always by the correct parameters, known a priori, it is possible to verify that the correct estimation can be achieved when the magnitude of the error is 1%. In the case of larger errors in the model output data, however, although it is not possible to correctly estimate the parameters, the simulation remains reliable. In the case of transport of neutral particles, the closed solution of the linear integral-di erential Boltzmann equation obtained by the Analytic Discrete Ordinates method is considered as the exact solution of the direct problem. The e ciency of Levenberg-Marquardt method for estimating the albedo and degree of anisotropy is then investigated. It is possible to conclude that good results are obtained for the reconstruction of albedo, even with larger orders of error, but the degree of anisotropy is more susceptible to the perturbations.

Neste trabalho, o problema adjunto de transporte de partículas neutras unidimensional é pela primeira vez resolvido pelo Método de Ordenadas Discretas Analítico (ADO). A solução é derivada para problemas monoenergéticos em meios heterogêneos, considerando geometria plana infinita, com simetria azimutal, grau arbitrário de anisotropia e condições de contorno gerais. No caso especial de espalhamento isotrópico, é obtida pelo Método ADO uma solução em termos de autofunções explícitas, bem como um problema de autovalores na forma de perturbação de matriz diagonal. A solução ADO é verificada através de comparações com soluções presentes na literatura, mostrando exatidão superior. A solução é também testada através da abordagem do problema fonte-detector, a qual permite estabelecer uma análise comparativa dos resultados para a resposta de detectores posicionados no interior do domínio. Adicionalmente, a formulação é aplicada em um problema inverso de reconstrução de fontes isotrópicas de partículas, baseado na formulação fonte-detector, para problemas de transporte com geometria e materiais conhecidos. Finalmente, como o problema inverso é mal posto, é abordada a técnica de regularização de Tikhonov, uma modificação no processo de cálculo do problema inverso original, que torna o método de inversão menos sensível a ruídos nas medições. / In this study, the one-dimensional adjoint particle transport problem is solved for the rst time using the Analytical Discrete Ordinates Method (ADO). Monoenergetic problems in heterogeneous slabs with azimuthal symmetry, arbitrary degree of anisotropy and general boundary conditions are taken in consideration. In the particular case of isotropic scattering, the ADO provides a solution in terms of explicit eigenfunctions, as well as with an eigenvalue problem in the form of a rank-1 update of a diagonal matrix. The ADO solution for the adjoint equation is veri ed against solutions presented in the literature, showing to be more accurate. The solution is also tested through source-detector problem approach, which allows for a comparative analysis of the results to be established by computing the response of the detectors inside the domain. In addition, the ADO solution to the adjoint equation is applied in an inverse problem of isotropic source reconstruction, based on the source-detector problem, in domains with known geometry and materials. Finally, since the inverse problem is ill posed, the Tikhonov's regularization technique, a modi cation in the process of computing the inverse problem solution is applied in order to deal with noisy data.

A Tomografia de Impedância Elétrica é uma técnica de obtenção de imagens não invasiva que pode ser usada em aplicações clínicas para estimar a impeditividade dos tecidos a partir de medidas elétricas na superfície do corpo. Matematicamente este é um problema inverso, não linear e mal posto. Geralmente é usado um filtro espacial Gaussiano passa alta como método de regularização para resolver o problema inverso. O objetivo principal deste trabalho é propor o uso de informação estatística fisiológica e anatômica da distribuição de resistividades dos tecidos do tórax, também chamada de atlas anatômico, em conjunto com o filtro Gaussiano como métodos de regularização. A metodologia proposta usa o método dos elementos finitos e o algoritmo de Gauss-Newton para reconstruir imagens de resistividade tridimensionais. A Teoria do Erro de Aproximação é utilizada para reduzir os erros relacionados à discretização e dimensões da malha de elementos finitos. Dados de tomografia de impedância elétrica e imagens de tomografia computadorizada coletados in vivo em um suíno com diferentes alterações fisiológicas pulmonares foram utilizados para validar o algoritmo proposto. As imagens obtidas foram consistentes com os fenômenos de atelectasia, derrame pleural, pneumotórax e variações associadas a diferentes níveis de pressão durante a ventilação mecânica. Os resultados mostram que a reconstrução de imagens de suínos com informação clínica significativa é possível quando tanto o filtro Gaussiano quanto o atlas anatômico são usados como métodos de regularização. / Electrical Impedance Tomography is a non invasive imaging technique that can be used in clinical applications to infer living tissue impeditivity from boundary electrical measurements. Mathematically this is an non-linear ill-posed inverse problem. Usually a spatial high-pass Gaussian filter is used as a regularization method for solving the inverse problem. The main objective of this work is to propose the use of physiological and anatomical priors of tissue resistivity distribution within the thorax, also known as anatomical atlas, in conjunction with the Gaussian filter as regularization methods. The proposed methodology employs the finite element method and the Gauss-Newton algorithm in order to reconstruct three-dimensional resistivity images. The Approximation Error Theory is used to reduce discretization effects and mesh size errors. Electrical impedance tomography data and computed tomography images of physiological pulmonary changes collected in vivo in a swine were used to validate the proposed method. The images obtained are compatible with atelectasis, pneumothorax, pleural effusion and different ventilation pressures during mechanical ventilation. The results show that image reconstruction from swines with clinically significant information is feasible when both the Gaussian filter and the anatomical atlas are used as regularization methods.

Neste trabalho, o problema adjunto de transporte de partículas neutras unidimensional é pela primeira vez resolvido pelo Método de Ordenadas Discretas Analítico (ADO). A solução é derivada para problemas monoenergéticos em meios heterogêneos, considerando geometria plana infinita, com simetria azimutal, grau arbitrário de anisotropia e condições de contorno gerais. No caso especial de espalhamento isotrópico, é obtida pelo Método ADO uma solução em termos de autofunções explícitas, bem como um problema de autovalores na forma de perturbação de matriz diagonal. A solução ADO é verificada através de comparações com soluções presentes na literatura, mostrando exatidão superior. A solução é também testada através da abordagem do problema fonte-detector, a qual permite estabelecer uma análise comparativa dos resultados para a resposta de detectores posicionados no interior do domínio. Adicionalmente, a formulação é aplicada em um problema inverso de reconstrução de fontes isotrópicas de partículas, baseado na formulação fonte-detector, para problemas de transporte com geometria e materiais conhecidos. Finalmente, como o problema inverso é mal posto, é abordada a técnica de regularização de Tikhonov, uma modificação no processo de cálculo do problema inverso original, que torna o método de inversão menos sensível a ruídos nas medições. / In this study, the one-dimensional adjoint particle transport problem is solved for the rst time using the Analytical Discrete Ordinates Method (ADO). Monoenergetic problems in heterogeneous slabs with azimuthal symmetry, arbitrary degree of anisotropy and general boundary conditions are taken in consideration. In the particular case of isotropic scattering, the ADO provides a solution in terms of explicit eigenfunctions, as well as with an eigenvalue problem in the form of a rank-1 update of a diagonal matrix. The ADO solution for the adjoint equation is veri ed against solutions presented in the literature, showing to be more accurate. The solution is also tested through source-detector problem approach, which allows for a comparative analysis of the results to be established by computing the response of the detectors inside the domain. In addition, the ADO solution to the adjoint equation is applied in an inverse problem of isotropic source reconstruction, based on the source-detector problem, in domains with known geometry and materials. Finally, since the inverse problem is ill posed, the Tikhonov's regularization technique, a modi cation in the process of computing the inverse problem solution is applied in order to deal with noisy data.

Orientador: Jose Mario Martinez Perez / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-07-28T13:40:04Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ventura_SergioDrumond_M.pdf: 631231 bytes, checksum: 10876ca02a5c31b7a0928462412c7df3 (MD5) Previous issue date: 2001 / Resumo: Dentre os problemas inversos, a estimativa de parâmetros ópticos tem significativa importância no estudo das propriedades físicas de películas finas. Embora conhecido e estudado, não existem na atualidade técnicas definitivas para a resolução deste problema. Neste trabalho, nosso objetivo foi recuperar o índice de retração, o coeficiente de absorção e a espessura de um filme fino utilizando paia isso dados de transmissão para vários comprimentos de onda. Ao invés de ponto-a-ponto, nossa abordagem foi funcional, usando conhecimento prévio acerca do comportamento físico das constantes ópticas (o que foi necessário a fim de reduzir os efeitos da alta indeterminação deste tipo de problema). Matematicamente, o problema era encontrar o mínimo global de uma soma de quadrados, isto é, resolver um problema de quadrados mínimos não-linear. Dado o alto custo computacional envolvido, a estratégia foi usar algoritmos locais, com vários pontos iniciais. Uma vez modelado, o problema foi implementado e testes numéricos foram realizados. Os filmes-testes usados foram gerados computacionalmente e os resultados foram promissores. Sabendo que para os filmes muito finos (espessura menor que l00nm) as constantes ópticas são difíceis de ter boa recuperação, os resultados obtidos para o filme com espessura de 80nm foram significativos. / Abstract: The estimation of optical parameters has among the inverse problemas a meaningful importance in the study of physical properties of thin films. Although being known and studied, there are not definitive technics to solve this problem. In this work our aim was to retrieve the index of refraction, the coefficient of absortion and the thickness of a thin film using only transmission data for several wavelengths. Instead of pointwise, our approach was functional, using a priori knowledge about the physical behaviour of the optical constants (necessary to reduce the effects of high underdetermination of this kind of problem). Mathematically, the problem was to reach the global minimum of a sum of squares, i.e. to solve a non-linear least-squares problem. In view of the expensive computational evaluations, we used local optimization algorithms, starting from several points. Once modeled, we implemented the problem and we performed numerical tests. The test films we used were generated in a computer and the results were hopeful. We were able to retreive thin film constants, which thickness was under l00nm, considered hard to reach. / Mestrado / Mestre em Matemática Aplicada

Ingeniero Civil Matemático / Los resultados obtenidos en esta memoria pertenecen al área de problemas inversos en ecuaciones en derivadas parciales. El objetivo principal fue estudiar la estabilidad de parámetros en dos modelos de placas provenientes de la elasticidad lineal, en función de los datos en la frontera. Más especificamente, se estudiaron dos modelos de placas provenientes de la teoría de elasticidad lineal, para los cuales se encontraron desigualdades de estabilidad sobre potenciales en $L^\infty(\Omega)$ y $W^{1,\infty}(\Omega)$ respectivamente. La herramienta fundamental que se utilizó en las demostraciones y que también forman parte de los resultados principales son dos estimaciones de Carleman. Este tipo de desigualdades son ampliamente utilizadas en problemas inversos para probar estabilidad de parámetros y también en control para obtener desigualdades de observabilidad. Para $\Omega$ un dominio acotado de $\RR^N$ con frontera regular, $N\geq 2$ y $T>0$, se consideró la ecuación de placas de Kirchhoff-Love: $$ \begin{array}{l l} w_{tt} - \gamma_0\Delta w_{tt} + \Delta^2w + q(x)w= {g(x,t)} & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array} $$ con condiciones de borde Navier (i.e. sobre $w|_{\partial\Omega}$ y $\Delta w|_{\partial\Omega}$). Aquí, $g$ es la fuente, $\gamma_0$ es una constante positiva, $q$ es un potencial en $L^\infty(\Omega)$ y en el caso $N=2$, $w$ representa la flexura de una placa delgada con respecto al plano horizontal. Para este problema se construyó una desigualdad de Carleman para funciones regulares, con observaciones en un segmento de la frontera del dominio. Como aplicación de lo anterior, se obtuvo una desigualdad de estabilidad Lipschitz, en donde se logró acotar la diferencia de dos potenciales en norma $L^2$ por la diferencia de las observaciones en norma $H^2(0,T;L^2(\partial\Omega))$ y $H^1(0,T;L^2(\partial\Omega))$. El segundo problema abordado en esta memoria fue el modelo de placas de Reissner-Mindlin: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l l} \theta_{tt} - \mbox{div}(\sigma(\theta)) -\displaystyle \mu^*(x)\,h_0^{-2}(\nabla w - \theta) = f(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T) \\ w_{tt} - \mbox{div}(\mu(x)(\nabla w - \theta)) + q(x)w = g(x,t) & \mbox{en } \Omega\times(0,T),\\ \end{array}\right. \end{equation*} con condiciones de borde Dirichlet y donde suponemos $\Omega$ dominio acotado en $\RR^2$ con frontera regular. El operador $\sigma(\cdot)$ est\'a relacionado con el tensor de esfuerzos de la elasticidad, $f$ y $g$ son fuentes, $h_0$ es una constante positiva que representa el espesor de la placa, $\mu^*$ se relaciona con los parámetros de Lamé y $q$ es un potencial en $W^(\Omega)$. Análogamente a los primeros resultados, se construyó una desigualdad de Carleman para este sistema, también con observaciones en la frontera y suponiendo funciones suficientemente regulares, la que luego fue aplicada en la obtención de la estabilidad H\"older del potencial $q$ en norma $L^2$ en función de las observaciones sobre el borde de $\Omega$ con normas $H^2(0,T;(L^2(\partial\Omega))^3)$ y $H^2(0,T;(H^1(\partial\Omega))^3)$. Se probó además la existencia, unicidad y regularidad de las soluciones para el sistema de Reissner-Mindlin, utilizando un método clásico que permite obtener resultados de este tipo. Este resultado resulta orignal ya que se consideran los parámetros de Lamé variables.

Ingeniero Civil Matemático / El objetivo central de esta memoria es estudiar un problema inverso geométrico en mecánica de fluidos y realizar un procedimiento de reconstrucción numérica que permita recuperar distintos cuerpos rígidos inmersos en un fluido viscoso, siendo de especial interés el caso de cuerpos no convexos. Para llevar a cabo esta reconstrucción numérica se utiliza el llamado método level set. El método level set fue introducido por S. Osher y J. A. Sethian como un método simple y versátil para calcular y analizar el movimiento de una interface Γ bajo un campo de velocidades V, en dos y tres dimensiones, donde Γ es la frontera de una región Ω. Por otra parte en los problemas inversos geométricos, es decir, problemas donde la incógnita es una forma geométrica, el enfoque estándar para la solución de estos consiste en parametrizar la forma geométrica y aplicar métodos de regularización directamente a la parametrización. Este enfoque sufre de la limitación que para obtener aproximaciones convergentes se tiene que tener un conocimiento a priori de la estructura y topología de la forma geométrica buscada. Por esta razón, recientemente se han considerado enfoques alternativos para la solución de problemas de reconstrucción de formas geométricas, entre ellos el método level set, el cual fue utilizado inicialmente en el procesamiento de imágenes digitales. La presente memoria esta estructurada de la siguiente manera. En el Capítulo 1 se realiza una introducción al trabajo realizado. En el Capítulo 2 se hace una introducción a los problemas inversos, se define el problema inverso geométrico de detección de obstáculos dentro de un fluido y se muestran los resultados de identificabilidad y estabilidad para este problema. En el Capítulo 3 se estudia el método de los elementos finitos y la resolución del problema de Stokes usando dicho método, en donde se muestran el algoritmo de Uzawa y el algoritmo numérico para Stokes usado en esta memoria. En el Capítulo 4 se presenta el método de diferenciación con respecto al dominio, el cual resulta fundamental para posteriormente realizar el cálculo de la primera derivada local del funcional de costo asociado al problema inverso geométrico en estudio. En el Capítulo 5 se presenta el método level set, estudiando los movimientos por curvatura media y en dirección normal, la ecuación de reinicialización y la extensión del campo de velocidades. Además, se muestra su aplicación a la optimización de formas y se utiliza la diferenciación con respecto al dominio para deducir la expansión de primer orden del funcional de costo asociado al problema. En el Capítulo 6 se muestran los principales resultados numéricos obtenidos al usar el método level set, recuperando diferentes obstáculos (incluyendo algunos de geometría no convexa), para lo cual se ha utilizado el programa FreeFem. Finalmente, se presentan las principales conclusiones obtenidas de este trabajo de título.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / This thesis is focused on the Navier{Stokes system for incompressible uids with either Dirichlet or nonlinear Navier{slip boundary conditions. For these systems, we exploit some ideas in the context of the control theory and inverse source problems. The thesis is divided in three parts. In the rst part, we deal with the local null controllability for the Navier{Stokes system with nonlinear Navier{slip conditions, where the internal controls have one vanishing component. The novelty of the boundary conditions and the new estimates with respect to the pressure term, has allowed us to extend previous results on controllability for the Navier{ Stokes system. The main ingredients to build our result are the following: a new regularity result for the linearized system around the origin, and a suitable Carleman inequality for the adjoint system associated to the linearized system. Finally, xed point arguments are used in order to conclude the proof. In the second part, we deal with an inverse source problem for the N- dimensional Stokes system from local and missing velocity measurements. More precisely, our main result establishes a reconstruction formula for the source F(x; t) = (t)f(x) from local observations of N ����� 1 components of the velocity. We consider that f(x) is an unknown vectorial function, meanwhile (t) is known. As a consequence, the uniqueness is achieved for f(x) in a suitable Sobolev space. The main tools are the following: connection between null controllability and inverse problems throughout a result on null controllability for the N- dimensional Stokes system with N ����� 1 scalar controls, spectral analysis of the Stokes operator and Volterra integral equations. We also implement this result and present several numerical experiments that show the feasibility of the proposed recovering formula. Finally, the last chapter of the thesis presents a partial result of stability for the Stokes system when we consider a source F(x; t) = R(x; t)g(x), where R(x; t) is a known vectorial function and g(x) is unknown. This result involves the Bukhgeim-Klibanov method for solving inverse problems and some topics in degenerate Sobolev spaces.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis doctoral está dedicada al estudio de problemas inversos y de control en el área de la mecánica de fluidos. Nos centramos en las ecuaciones de Stokes y de Navier Stokes, tanto sistemas estacionarios como evolutivos, los cuales son bien conocidos para el desarrollo matemático de los flujos viscosos incompresibles. En concreto, se analizaron tres temas principales: Realizamos la estimación del tamaño de una cavidad D inmersa en un dominio acotado Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, lleno de un fluido viscoso el cual se rige por el sistema de Stokes, por medio de la velocidad y las fuerzas de Cauchy en la frontera ∂Ω. Más precisamente, establecemos una cota inferior y superior en términos de la diferencia entre las mediciones externas cuando el obstáculo está presente y cuando no lo está. La demostración del resultado se basa en los resultados de regularidad interior y estimaciones cuantitativas de continuación única para la solución del sistema de Stokes. Desarrollamos el estudio del fenómeno del turnpike que surge en el problema de control de seguimiento óptimo distribuido para las ecuaciones de Navier Stokes. Obtenemos una respuesta positiva a esta propiedad en el caso de que los controles son funciones dependientes del tiempo, y también cuando son independientes del tiempo. En ambos casos se prueba una propiedad de turnpike exponencial, bajo el supuesto que el estado óptimo estacionario satisface ciertas propiedades de pequeñez. Consideramos las ecuaciones de Stokes evolutivas con viscosidad no constante. En primer lugar adaptamos la construcción de soluciones del tipo óptica geométrica complejas apropiadas para una ecuación de Stokes estacionaria modificada, con el fin de demostrar un resultado de identificabilidad siguiendo el enfoque dado por Uhlmann [110] y de Heck et al. [62]. Luego, se estudia la identificabilidad global para la función de viscosidad por medio de mediciones de contorno reduciendo el problema al caso estacionario, cuando consideramos el horizonte de tiempo suficientemente grande. / Este trabajo ha sido financiado por CONICYT

[pt] Em 1994, Henry Landau mostrou que uma matriz de Toeplitz real simétrica pode assumir qualquer valor real. O objetivo desse texto é apresentar a demonstração de Landau. São empregadas técnicas de teoria de grau topológico e teoria espectral. / [en] In 1994, Henry Landau proved that a real, symmetric Toeplitz matrix obtains an arbitrary real spectrum. In this text, we present the details of his proof. The key ingredients are topological degree theory and spectral theory.