Ce manuscrit est dédié à l'étude de l'estimation paramétrique d'une famille de processus ponctuels appelée processus déterminantaux. Ces processus sont utilisés afin de générer et modéliser des configurations de points possédant de la dépendance négative, dans le sens où les points ont tendance à se repousser entre eux. Plus précisément, nous étudions les propriétés asymptotiques de divers estimateurs classiques de processus déterminantaux paramétriques, stationnaires et non-stationnaires, dans les cas où l'on observe une unique réalisation d'un tel processus sur une fenêtre bornée. Ici, l'asymptotique se fait sur la taille de la fenêtre et donc, indirectement, sur le nombre de points observés. Dans une première partie, nous montrons un théorème limite central pour une classe générale de statistiques sur les processus déterminantaux. Dans une seconde partie, nous montrons une inégalité de béta-mélange générale pour les processus ponctuels que nous appliquons ensuite aux processus déterminantaux. Dans une troisième partie, nous appliquons le théorème limite central obtenu à la première partie à une classe générale de fonctions estimantes basées sur des méthodes de moments. Finalement, dans la dernière partie, nous étudions le comportement asymptotique du maximum de vraisemblance des processus déterminantaux. Nous donnons une approximation asymptotique de la log-vraisemblance qui est calculable numériquement et nous étudions la consistance de son maximum. / This manuscript is devoted to the study of parametric estimation of a point process family called determinantal point processes. These point processes are used to generate and model point patterns with negative dependency, meaning that the points tend to repel each other. More precisely, we study the asymptotic properties of various classical parametric estimators of determinantal point processes, stationary and non stationary, when considering that we observe a unique realization of such a point process on a bounded window. In this case, the asymptotic is done on the size of the window and therefore, indirectly, on the number of observed points. In the first chapter, we prove a central limit theorem for a wide class of statistics on determinantal point processes. In the second chapter, we show a general beta-mixing inequality for point processes and apply our result to the determinantal case. In the third chapter, we apply the central limit theorem showed in the first chapter to a wide class of moment-based estimating functions. Finally, in the last chapter, we study the asymptotic behaviour of the maximum likelihood estimator of determinantal point processes. We give an asymptotic approximation of the log-likelihood that is computationally tractable and we study the consistency of its maximum.

Nous démontrons une version d'un théorème d'Heckman permettant de préciser le lien qui unit la théorie des représentations des groupes compacts à celle des matrices aléatoires à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe compact connexe K et dont la loi est K-invariante.<br />Les groupes de Lie classiques, qu'on note K(n), sont les ensembles de matrices unitaires de taille n*n à entrées dans le corps des réels, des complexes ou des quaternions. Pour chacun d'eux, nous étudions plus précisément deux types d'ensembles invariants. Le premier est l'ensemble k(n) - algèbre de Lie de K(n) - muni de la mesure gaussienne. Les règles de branchement classiques nous permettent de calculer la loi des mineurs principaux des matrices de ces ensembles. Le deuxième est une généralisation de l'ensemble unitaire de Laguerre (LUE). Au sein de la théorie des représentations, celle des cristaux de Kashiwara nous permet d'étudier cet ensemble. <br />Pickrell a montré que dans le cas complexe la limite d'une famille consistante de mesures K(n)-invariantes sur k(n) est ergodique si et seulement si elle est la loi d'une combinaison linéaire de matrices indépendantes de type Gaussien ou Laguerre. Nous montrons que son résultat reste vrai pour les autres groupes de Lie classiques.<br />La généralisation du LUE que nous proposons est obtenue en considérant des sommes de matrices aléatoires de rang un. L'étude de ces perturbations et des mineurs principaux fait apparaître des processus entrelacés. Nous montrons qu'une large classe d'entre eux sont déterminantaux et donnons leur noyau de corrélation.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'estimation des fonctions de régression par polynômes et par splines dans le cadre des statistiques non-paramétriques. L'objectif est d'estimer la fonction cible f, à partir des observations Y=f+ϵ, où ϵ est un bruit gaussien. En appuyant sur la méthode d'estimation du risque sans biais, l'idée consiste à obtenir des inégalités d'oracle pour des familles d'estimateurs par polynômes et par splines. Etant donnée une famille d'estimateurs M, une telle inégalité permet de comparer, sans aucune hypothèse sur la fonction cible f, les performances de l'estimateur f ̂^* à l'estimateur d'oracle f ̂_or. Le point essentiel de notre approche consiste à sélectionner, à l'aide des données, un paramètre d'estimation adapté : lorsque on considère le problème de l'estimation par projection, ce paramètre est le degré du polynôme ; dans le cas de l'estimation par splines, ce paramètre correspond à un paramètre de lissage. Ainsi, on en déduit des bornes supérieures non-asymptotiques pour les risques quadratiques de notre adaptation.<br /> Afin d'obtenir des inégalités d'oracle, on applique l'inégalité de Doob pour le processus de Wiener pour l'estimation par polynômes ; dans le cas de l'estimation par splines, on introduit le processus ordonné en généralisant le processus de Wiener.

Cette thèse se compose de deux parties. Une première partie est dédiée à l'étude de phénomènes de diffusions dans des géométries non triviales. Je présente tout d'abord un travail sur les effets des irrégularités de la géométrie d'une surface sur un mouvement brownien galiléen évoluant sur cette surface. Ce problème est susceptible d'applications en biologie, notamment dans la modélisation des phénomènes de diffusions latérales sur des interfaces. J'expose ensuite des travaux réalisés sur des processus stochastiques relativistes. J'introduis d'une part des modèles simples de diffusion dans un univers en expansionet présente des relations de fluctuation-dissipation vérifiées par ces modèles. J'expose d'autre part une approche unifiée des différents processus stochastiques relativistes existant dans la littérature, à savoir, le ROUP, le processus de Franchi-Le~Jan et le processus de Dunkel-Hänggi. Dans une seconde partie, je présente deux applications de la récente théorie champ moyen de la relativité générale. La théorie a été appliquée à un trou noir de Schwarzschild et à un trou noir de Reisner-Nordström extrême. Les caractéristiques de l'espace-temps moyen obtenu dans chacun de ces deux cas sont présentées. Les résultats sont mis en relation avec des observations de trous noirs astrophysiques et avec des observations cosmologiques. Les effets de la moyennisation sur les propriétés thermodynamiques de ces trous noirs sont également étudiés.

Le problème des données manquantes a été abordé en introduisant les processus modulés en amplitude. Les propriétés de type ergodique (ergodicité au k-ième degré) sont étudiées dans le cadre des processus asymptotiquement stationnaires. Dans le domaine non paramétrique on étudie la consistance de deux estimateurs de la fonction de covariance et la variance asymptotique de l'un deux. On propose ensuite une méthode générale d'estimation de la fonction de densité spectrale du processus étudié. L'estimateur obtenu est étudié du point de vue biais et variance asymptotiques. Des méthodes d'estimation paramétrique, basées sur le périodogramme et du maximum de vraisemblance, sont aussi présentées

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude statistique des processus de Poisson non homogènes et spatiaux. On définit un test de type Neyman-Pearson concernant la mesure intensité de ces processus. On énonce des conditions pour lesquelles la consistance du test est assurée, et d'autres entrainant la normalité asymptotique de la statistique de test. Dans la seconde partie de ce travail, on étudie certaines techniques de traitement statistique de champs poissoniens et leurs applications à l'étude d'un multidétecteur de particules. On propose en particulier des tests de qualité de l'appareillage ainsi que les méthodes d'extraction du signal

From both theoretical and applied perspectives, first passage<br />time problems for random processes are challenging and of great<br />interest. In this thesis, our contribution consists on providing<br />explicit or quasi-explicit solutions for these problems in two<br />different settings.<br /><br />In the first one, we deal with problems related to the<br />distribution of the first passage time (FPT) of a Brownian motion<br />over a continuous curve. We provide several representations for<br />the density of the FPT of a fixed level by an Ornstein-Uhlenbeck<br />process. This problem is known to be closely connected to the one<br />of the FPT of a Brownian motion over the square root boundary.<br />Then, we compute the joint Laplace transform of the $L^1$ and<br />$L^2$ norms of the $3$-dimensional Bessel bridges. This result is<br />used to illustrate a relationship which we establish between the<br />laws of the FPT of a Brownian motion over a twice continuously<br />differentiable curve and the quadratic and linear ones. Finally,<br />we introduce a transformation which maps a continuous function<br />into a family of continuous functions and we establish its<br />analytical and algebraic properties. We deduce a simple and<br />explicit relationship between the densities of the FPT over each<br />element of this family by a selfsimilar diffusion.<br /><br /> In the second setting, we are concerned with the study of<br />exit problems associated to Generalized Ornstein-Uhlenbeck<br />processes. These are constructed from the classical<br />Ornstein-Uhlenbeck process by simply replacing the driving<br />Brownian motion by a Lévy process. They are diffusions with<br />possible jumps. We consider two cases: The spectrally negative<br />case, that is when the process has only downward jumps and the<br />case when the Lévy process is a compound Poisson process with<br />exponentially distributed jumps. We derive an expression, in terms<br />of new special functions, for the joint Laplace transform of the<br />FPT of a fixed level and the primitives of theses processes taken<br />at this stopping time. This result allows to compute the Laplace<br />transform of the price of a European call option on the maximum on<br />the yield in the generalized Vasicek model. Finally, we study the<br />resolvent density of these processes when the Lévy process is<br />$\alpha$-stable ($1 < \alpha \leq 2$). In particular, we<br />construct their $q$-scale function which generalizes the<br />Mittag-Leffler function.

Cette thèse regroupe une série de travaux concernant le processus d'exclusion asymétrique en contact avec deux réservoirs.<br />Dans une première partie, nous montrons par des simulations numériques que la position de la transition de phase du premier ordre dans le processus d'exclusion totalement asymétrique devient dépendante de l'échantillon considéré lorsque l'on ajoute un désordre gelé lié aux sites sur les taux de saut des particules. Ces résultats numériques sont comparés aux prédictions du champ moyen.<br />Dans une seconde partie, nous étudions les propriétés macroscopiques du profil de densité de particules dans l'état stationnaire. Nous dérivons tout d'abord la fonctionnelle de grandes déviations du processus d'exclusion faiblement asymétrique. Notre expression fait le lien entre des résultats précédents concernant le processus d'exclusion totalement asymétrique et le processus d'exclusion symétrique.<br />Nous exprimons également la distribution des fluctuations de densité dans l'état stationnaire des processus faiblement et totalement asymétriques. Ces fluctuations se mettent sous la forme d'une somme de deux fonctions aléatoires indépendantes. Nous montrons que dans la phase de courant maximum du processus totalement asymétrique, ces fluctuations ne sont pas gaussiennes. La connaissance des fluctuations nous permet de calculer les fonctions de corrélation à temps coïncidant dans l'état stationnaire.<br />Ces deux séries de résultats découlent de l'écriture de la probabilité d'un profil de densité dans l'état stationnaire comme une somme sur des chemins abstraits. Dans le but de généraliser nos résultats, une dynamique microscopique sur ces chemins est construite.

Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes statistiques liés à deux modèles paramétriques stochastiques que sont le mouvement brownien fractionnaire (mbf) et le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Le mbf a été introduit en statistique à partir de 1968 pour modéliser des phénomènes autosimilaires (i.e. invariants par changements d'échelle) et des séries chronologiques exhibant une structure de dépendance uniforme qui décroî t de manière hyperbolique avec le temps. Le mbm, apparu beaucoup plus récemment, constitue une extension du mbf au sens où la structure de dépendance peut évoluer au cours du temps : l'autosimilarité n'est alors vérifiée qu'asymptotiquement localement. L'objectif initial de ce travail de recherche a été l'identification de ce dernier modèle. Néanmoins, ce travail a nécessité des connaissances théoriques constituées par un traitement approfondi et pertinent du mbf, tant sur la compréhension des résultats obtenus jusqu'alors que sur leurs extensions.

Cette thèse est consacrée à l'utilisation des ondelettes dans deux domaines à savoir la construction de bases sur l'intervalle et l'estimation du paramètre de longue mémoire par transformée (discrète) d'ondelettes. Dans un premier volet Nous présentons des constructions générales d'analyses multirésolution orthogonales (par une méthode directe) et biorthogonale sur l'intervalle (par la méthode d'intégration et de dérivation) .Comme applications, on étudie les espaces de Sobolev $H^{s}([0,1])$ et $H^{s}_{0}([0,1])$ pour $s\in\mathbb{N}$ . Le second volet est consacré à l'estimation du paramètre de longues ondelettes (non issues d'une analyse multirésolution) dans un cadre semi paramétrique. Les processus stationnaires à longue mémoire considérés sont du type gaussien puis linéaire. Pour chaque type de processus, on construit un estimateur adaptatif vérifiant un théorème limite central à vitesse de convergence au sens du minimax (à un logarithme prés). Les qualités statistiques de ces estimateurs (robustesses et consistances) sont vérifiées par des simulations et enfin un test d'adéquation est établi (considéré comme un test de longue mémoire dans le cas linéaire).