I olika undersökningar får svenska elever sämre resultat i matematik. Proportionalitet är ett område som enligt Skolverkets rapportering över TIMSS 2007 och PISA 2012 hamnar särskilt lågt resultatmässigt. Syftet med detta examensarbete var att undersöka vilka strategier och uttrycksformer elever i åk 2 och åk 3 kan använda sig av för att lösa proportionalitetsproblem. Vår undersökning gjordes med 23 elever i åk 2 och åk 3 på två olika skolor i Mellansverige. Datainsamlingen grundar sig på elevernas lösningar samt på en kvalitativ intervju kring två proportionalitetsproblem av typen associerade mängder. Elevernas strategier och uttrycksformer analyseras med hjälp av Langrall och Swaffords respektive Hagland, Hedrén & Taflins ramverk och kategoriseras i tre proportionella resonemang: Icke proportionellt, Informellt och Kvantitativt resonemang. Det resultat vi ser är att elever i åk 2 och åk 3 överlag har svårt att förstå proportionalitet men att de med hjälp av konkret material i kombination med aritmetisk eller grafisk uttrycksform i högre utsträckning klarar problemen. Nyckelord:

Syftet med den här litteraturstudien var att undersöka vilka svårigheter elever har med de matematiska begreppen proportionalitet och linearitet. Utifrån dessa svårigheter identifieras sedan ett antal strategier lärare kan använda sig av för att hjälpa eleverna med att övervinna de funna svårigheterna. Det är tre kategorier av svårigheter som lyfts fram: felaktig lösningsstrategi, överanvändning samt bristande begreppsförståelse. Felaktig lösningsstrategi handlar om att eleverna använder sig av fel strategi vid lösning av proportionella problem och överanvändningen innebär att eleverna använder sig av proportionalitet där det inte är tillämpbart. Den bristande begreppsförståelsen kan ses som en anledning till de övriga svårigheterna. För att hjälpa eleverna bemästra svårigheterna identifieras två kategorier av lärarstrategier. Den första kategorin lyfter fram att det är viktigt att använda sig av ett diagnosverktyg för att ta reda på vilka svårigheter eleverna har samt hur ett sådant skulle kunna utformas. Den andra kategorin innehåller förslag som kan användas i undervisningen. / The purpose of this literature study was to examine students' difficulties with the mathematical concepts of proportionality and linearity. From these, several teaching strategies that can help the students overcome the difficulties are identified. Three categories of difficulties are identified: students use of the wrong strategy solving proportionality problems, students overuse of proportionality and linearity, and students deficient understanding of the concepts. The lack of understanding of the concepts can be seen as a reason for the other difficulties. Two categories with strategies that can be used by teachers to help the students overcome the difficulties are identified. The first category emphasises the importance of using a diagnostic tool to identify what difficulties the students experience. The design of the tools is also discussed. The second category includes suggestions on how specific design of the teaching can help the students.

Syftet med den här empiriska studien var att beskriva gymnasielärares erfarenheter av att presentera begreppen proportionalitet och linearitet för sina elever, samt de misstag de har observerat att deras elever ofta gör. Lärarnas svar sammanfattades under tre huvudtemana Proportionalitet: Förklaringar och strategier; Mönster och missuppfattningar; samt Elevers begreppsbilder av proportionalitet. Lärarna i studien presenterar oftast proportionalitetsbegreppet genom vardagliga exempel. Att korrekt välja mellan lineära (proportionella) och icke-proportionella, t ex affina, modeller är enligt lärarnas erfarenheter svårt för eleverna. För att förklara och påpeka misstag har lärare ofta strategin att använda exempel utanför matematikämnet, t ex hämtade från fysik eller ekonomi. / The purpose of this empirical study was to describe upper secondary teachers' experiences of presenting the concepts of proportionality and linearity to their students, as well as the mistakes they have observed their students often make. The teachers' answers were summarized under three main themes, Proportionality: Explanation and strategies; Patterns and Misconceptions; and Students´ concept images of proportionality. The teachers in the study usually present the concept of proportionality through everyday examples. In teachers' experience, the choice between non-proportional, affine or linear models are quite confusing for students. In order to explain and point out to the mistakes students often make, teachers often have the strategy to use examples from other areas than mathematics, e. g. physics or economy.