Die vorgelegte Dissertation befasst sich mit der Frage unter welchen Bedingungen und in welchen Funktionenräumen hyperbolische Cauchy Probleme korrekt gestellt sind, wenn die Koeffizienten niedrige Regularität haben. Startpunkt der Betrachtungen sind strikt hyperbolische Cauchy Probleme beliebiger Ordnung mit Koeffizienten, die bezüglich der Zeit nicht differenzierbar aber glatt in allen Ortsvariablen sind. Abhängig von der Regularität der Koeffizienten bezüglich der Zeit, wird gezeigt in welchen Räumen Problem dieser Art korrekt gestellt sind. Insbesondere werden Zusammenhänge zwischen der Regularität der Koeffizienten und den Lösungsräumen deutlich. Basierend auf den Erkenntnissen für strikt hyperbolische Cauchy Probleme werden anschließend schwach hyperbolische Cauchy Probleme untersucht. Hier wird eine verallgemeinerte Levi Bedingung eingeführt und gezeigt, welcher Zusammenhang zwischen dem Einfluss der Levi Bedingungen und der niedrigen Regularität der Koeffizienten auf die Lösungsräume besteht. Schließlich wird noch den Fall von strikt hyperbolischen Cauchy Problemen betrachtet, die Koeffizienten mit niedriger Regularität in allen Variablen haben.

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[ES] En esta tesis estudiamos operadores pseudodiferenciales, que son operadores integrales de la forma f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, en las clases globales de funciones ultradiferenciables de tipo Beurling Sω(Rd) introducidas por Björck, cuando la función peso ω viene dada en el sentido de Braun, Meise y Taylor. Desarrollamos el cálculo simbólico para estos operadores, tratando además el cambio de cuantización, la existencia de paramétrix pseudodiferencial y aplicaciones al frente de ondas global. La tesis consta de cuatro capítulos. En el Capítulo 1 introducimos los símbolos y amplitudes globales, y demostramos que los correspondientes operadores pseudodiferenciales están bien definidos y son continuos en en Sω(Rd). Estos resultados son extendidos en el Capítulo 2 para cuantizaciones arbitrarias, lo que conduce al estudio del traspuesto de cualquier cuantización de un operador pseudodiferencial y a la composición de dos cuantizaciones distintas de operadores pseudodiferenciales. En el Capítulo 3, desarrollamos el método de la paramétrix, dando condiciones suficientes para la existencia de paramétrix por la izquierda de un operador pseudodiferencial, que motiva en el Capítulo 4 la definición de un nuevo frente de ondas global para ultradistribuciones en S′ω(Rd) dada en términos de cuantizaciones de Weyl. Comparamos este frente de ondas con el frente de ondas de Gabor definido mediante la STFT y damos aplicaciones a la regularidad de las cuantizaciones de Weyl. / [CAT] En aquesta tesi estudiem operadors pseudodiferencials, que són operadors integrals de la forma f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, en les classes globals de funcions ultradiferenciables de tipus Beurling Sω(Rd) introduïdes per Björck, quan la funció pes ω ve donada en el sentit de Braun, Meise i Taylor. Desenvolupem el càlcul simbòlic per aquestos operadors, tractant, a més a més, el canvi de quantització, l'existència de paramètrix pseudodiferencial i aplicacions al front d'ones global. La tesi consisteix de quatre capítols. Al Capítol 1 introduïm els símbols i amplituds globals, i demostrem que els corresponents operadors pseudodiferencials estan ben definits i són continus en Sω(Rd). Aquestos resultats són estesos al Capítol 2 per a quantitzacions arbitràries, que condueix a l'estudi del transposat de qualsevol quantització d'un operador pseudodiferencial i a la composició de dues quantitzacions distintes d'operadors pseudodiferencials. Al Capítol 3 desenvolupem el mètode de la paramètrix, donant condicions suficients per a l'existència de paramètrix per l'esquerra d'un operador pseudodiferencial donat, que motiva al Capítol 4 la definició d'un nou front d'ones global per a ultradistribucions en S′ω(Rd) mitjançant quantitzacions de Weyl. Comparem aquest front d'ones amb el front d'ones de Gabor definit mitjançant la STFT i donem aplicacions a la regularitat de les quantitzacions de Weyl. / [EN] In this thesis we study pseudodifferential operators, which are integral operators of the form f 7→ ∫ Rd (∫ Rd ei(x−y)·ξa(x,y,ξ)f(y)dy)dξ, in the global class of ultradifferentiable functions of Beurling type Sω(Rd) as introduced by Björck, when the weight function ω is given in the sense of Braun, Meise, and Taylor. We develop a symbolic calculus for these operators, treating also the change of quantization, the existence of pseudodifferential parametrices and applications to global wave front sets. The thesis consists of four chapters. In Chapter 1 we introduce global symbols and amplitudes and show that the corresponding pseudodifferential operators are well defined and continuous in Sω(Rd). These results are extended in Chapter 2 for arbitrary quantizations, which leads to the study of the transpose of any quantization of a pseudodifferential operator, and the composition of two different quantizations of pseudodifferential operators. In Chapter 3 we develop the method of the parametrix, providing sufficient conditions for the existence of left parametrices of a pseudodifferential operator, which motivates in Chapter 4 the definition of a new global wave front set for ultradistributions in S′ω(Rd) given in terms of Weyl quantizations. Then, we compare this wave front set with the Gabor wave front set defined by the STFT and give applications to the regularity of Weyl quantizations. / Asensio López, V. (2021). Global pseudodifferential operators in spaces of ultradifferentiable functions [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/174847

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’analyse spectrale des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels semi-classiques. Dans la première partie, nous étudions la généralisation du théorème d’Egorov en temps longs dans le cas où l’Hamiltonien quantique qui génère l’évolution en temps et l’observable quantique initiale sont deux opérateurs pseudodifférentiels semiclassiques associés à des symboles à valeurs matricielles. Sous une condition d’hyperbolicité sur le symbole principal de l’Hamiltonien qui assure l’existence des projecteurs semi-classiques, et pour une classe d’observables "semi-classiquement" diagonales par blocs par rapport à ces projecteurs, nous démontrons un théorème de type Egorov valable pour un temps long d’ordre log(h-1) connu comme le temps d’Ehrenfest. Ici h 0 est le paramètre semi-classique. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à la théorie spectrale et la théorie de la diffusion pour des systèmes d’opérateurs pseudodifférentiels auto-adjoints. Nous développons une approche stationnaire pour l’étude de la fonction de décalage spectral associée à une paire d’opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels. Une asymptotique de type Weyl avec reste optimal sur la fonction de décalage spectral est établie, et sous l’hypothèse d’existence d’une fonction fuite scalaire, un développement asymptotique complet en puissancesde h au sens fort sur sa dérivée est obtenu. Ce dernier résultat est une généralisation au cas matriciel d’un résultat de Robert et Tamura établi dans le cas scalaire près des énergies non-captives. Notre méthode indépendante du temps nous permet de traiter certains potentiels avec des croisements des valeurs propres. / In this work, we are interested in the spectral analysis of systems of semiclassical pseudodifferentialoperators. In the first part, we study the extension of the long time semiclassical Egorovtheorem in the case where the quantum Hamiltonian which generates the time evolution andthe initial quantum observable are two semiclassical pseudodifferential operators with matrixvaluedsymbols. Under an hyperbolicity condition on the principal symbol of the Hamiltonianwhich ensures the existence of the semiclassical projections, and for a class of observable thatare "semi-classically" block-diagonal with respect to these projections, we prove an Egorov theoremvalid in a large time interval of order log(h-1) known as the Ehrenfest time. Here h & 0is the semiclassical parameter.In the second part, we are interested in the spectral and scattering theories for self-adjointsystems of pseudodifferential operators. We develop a stationary approach for the study of thespectral shift function (SSF) associated to a pair of self-adjoint semiclassical Schrödinger operatorswith matrix-valued potentials. We prove a Weyl-type asymptotics with sharp remainderestimate on the SSF, and under the existence of a scalar escape function, a pointwise completeasymptotic expansion on its derivative. This last result is a generalisation in the matrix-valuedcase of a result of Robert and Tamura established in the scalar case near non-trapping energies.Our time-independent method allows us to treat certain potentials with energy-level crossings