Cette thèse traite des systèmes de Hall quantiques en deux dimensions, dans lesquels les électrons peuvent porter plusieurs degrés de liberté discrets différents. Le ferromagnétisme de Hall quantique fournit une manière de traiter ces degrés de liberté électroniques comme des spins et isospins effectifs des électrons. Les différentes phases du système correspondent alors à différents ordres de spin ou d'isospin. En exploitant cette analogie, nous explorons différents aspects des systèmes bi-dimensionnels dans le régime de Hall quantique en étudiant la structure correspondante des spins et isospins. Ce travail consiste en trois parties qui analysent différents matériaux bi-dimensionnels dans le régime de l'effet Hall quantique. Dans chaque projet, nous utilisons la théorie de Hartree-Fock pour étudier le système à plusieurs composantes de spin et d'isospin dans l'approximation de champ moyen. Toutes nos considérations sont directement stimulées par des résultats expérimentaux. Notre motivation principale est d'obtenir une compréhension plus profonde des processus physiques et des mécanismes qui déterminent les propriétés des matériaux à partir d'investigations exclusivement théoriques de modèles abstraits. Nous espérons que cela permettra par la suite de tirer des conclusions sur les expériences, de donner des explications aux phénomènes observés ainsi que de donner des perspectives pour des investigations futures. / The present thesis deals with two-dimensional quantum Hall systems in which the electrons may be endowed with multiple discrete degrees of freedom. Quantum Hall ferromagnetism provides a framework to treat these electronic degrees of freedom as effective spins and isospins of the electrons. Different orderings of the electronic spins and isospins then characterise different possible phases of the system. Using this analogy, various aspects of the two-dimensional systems in the quantum Hall regime are explored theoretically by studying the corresponding spin and isospin structure. The work consists of three parts in which different two-dimensional materials are investigated in the quantum Hall regime. In any of the three projects presented within this thesis, Hartree Fock theory is employed to study the multicomponent spin and isospin system at the mean field level. All our considerations are stimulated directly by experimental results. We draw our main motivation from the key idea that purely theoretical investigations of abstract models may us allow to obtain deeper insights into the physical processes and mechanisms that determine the properties of the materials. This, in turn, we hope to allow conclusions about the experiments by providing possible explanations of the phenomena observed, as well as prospects for future investigations.

<div><div><div><p>When confined to a finite, two-dimensional area and exposed to a strong magnetic field, electrons exhibit a complicated, highly correlated quantum behavior known as the quantum Hall effect. This dissertation consists of finite size numerical investigations of this effect. One line of study develops treatment of the fractional quantum Hall effect using the hyperspherical method, in conjunction with applications to the few-body quantum Hall systems, e.g., highly-controlled atomic systems. Another line of research fully utilizes the developed numerical techniques to study on the platform of finite size fractional quantum Hall states the bulk-edge correspondence principle, which is universal for phases in topological orders. It has been demonstrated that the eigenstates associated with the entanglement spectrum reveal more information about the ground state than the spectrum alone.</p></div></div></div>

Dans certains états quantique de la matière, le courant peut être transporté par des porteurs de charges ayant une fraction e* de la charge élementaire. C'est notamment le cas de l'Effet Hall quantique fractionnaire (EHQF) qui se produit pour des systèmes électroniques bidimensionels à basse température et soumis à un fort champ magnetique perpendiculaire. Quand le nombre de quantum de flux en unité h/e est une fraction du nombre d'électrons, le courant se propage le long des bords de l'échantillon sans dissipation. Les porteurs de charges impliqués dans le transport portent une charge fractionnaire. La mise en évidence de ces charges peut être faite via les faibles fluctuations de courant dûes à la granularité de la charge. Nous présentons ici une méthode fiable de mesure de la charge fractionnaire basée sur des correlations croisées de fluctuations de courant. La dynamique de ces charges fractionnaires lorsque l'échantillon est irradié avec des photons GHz est étudiée, permettant la mesure de la fréquence Josephson des charges fractionnaires. Ces mesures valident les processus photo-assisté en régime d'EHQF et permettent une manipulation résolue en temps des charges fractionnaires, dans le but de réaliser une source d'anyon sur le principe du léviton afin de réaliser des tests de la statistique anyonique de ces charges fractionnaires. / In some quantum matter states, the current may remarkably be transported by carriers that bear a fraction e* of the elementary electron charge. This is the case for the Fractional quantum Hall effect (FQHE) that happens in two-dimensional systems at low temperature under a high perpendicular magnetic field. When the number of magnetic flux in units of h/e is a fraction of the number of electron, a dissipationless current flows along the edges of the sample and is carried by anyons with fractional charge. The observation of the fractional charge is realized through small current fluctuations produced by the granularity of the charge. Here is presented a reliable method to measure the fractional charge by the mean of cross-correlation of current fluctuations. Moreover, the dynamical properties of those charges is probed when the sample is irradiated with photos at GHz frequency. The long predicted Josephson frequency of the fractional charge is measured. Those measurements validate Photoassisted processes in the FQHE and enable timedomain manipulation of fractional charges in order to realize a single anyon source based on levitons to perform tests of the anyonic statistics of fractional charge.

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<p>The purpose of this thesis is twofold and motivated by recent developments in string theory and extra dimensional models. The first objective is to describe the development and progress in the codimension-2 brane paradigm as a potential cosmological scenario. Secondly, it presents the Antide Sitter/Conformal Field Theory (AdS/CFT) conjecture, also known as holography, as a tool for calculating physical quantities in condensed matter system and goes on to model the quantum Hall effect. We first describe the initial development of treating back-reaction in codimension-2 branes systems with a scalar and gauge field. The purpose of this is to examine the low-energy effective dynamics on the brane. Furthermore, applications are then explored for D7-branes in F-theory as well as D3-branes in large extra dimensional scenarios explored as a model for the cosmological constant problem. The result of this work is that the higher and lower dimensional scenarios are consistent with each other once brane back-reaction is considered in these models. This work led to a number of future works one of which is in relation to the cosmological constant problem. While the subsequent work is beyond the scope of this thesis, we present a picture and further references for the reader. The larger, later, portion of this thesis introduces the concept of holography, its origins, and the applicability to condensed matter systems. Furthermore, we discuss the applicability in particular to the quantum Hall effect (QHE) and present a model in the holographic language that correctly reproduces some of the physics of the QHE. This includes a paper in which we introduce the model, along with demonstration of symmetry properties and conductivity calculations, as well as a paper which examines the finite size scaling behaviour of the model. As a benefit to the reader, we present a `starter edition guide' to the AdS/CFT dictionary preceding these papers for non-experts such that this thesis is self-contained. The upshot is that these avenues of work, in particular quantum Hall-ography, have been very successful in modeling physics using tools originally developed by string theory. As such, it provides support for string theory as a model and framework, as well as providing more opportunities for future predictions of physical quantities.</p> / Doctor of Philosophy (PhD)

<p>The fractional quantum Hall effect (FQHE), discovered in 1982 in a two-dimensional electron system, has generated a wealth of successful theory and new concepts in condensed matter physics, but is still not fully understood. The possibility of having nonabelian quasiparticle statistics has recently attracted attention on purely theoretical grounds but also because of its potential applications in topologically protected quantum computing.</p><p>This thesis focuses on the quasiparticles using three different approaches. The first is an effective Chern-Simons theory description, where the noncommutativity imposed on the classical space variables captures the incompressibility. We propose a construction of the quasielectron and illustrate how many-body quantum effects are emulated by a classical noncommutative theory.</p><p>The second approach involves a study of quantum Hall states on a torus where one of the periods is taken to be almost zero. Characteristic quantum Hall properties survive in this limit in which they become very simple to understand. We illustrate this by giving a simple counting argument for degeneracy 2<i>n</i>^-1, pertinent to nonabelian statistics, in the presence of 2<i>n</i> quasiholes in the Moore-Read state and generalise this result to 2<i>n</i>-<i>k</i> quasiholes and <i>k </i>quasielectrons.</p><p>In the third approach, we study the topological nature of the degeneracy 2<i>n</i>^-1 by using a recently proposed analogy between the Moore-Read state and the two-dimensional spin-polarized p-wave BCS state. We study a version of this problem where one can use techniques developed in the context of high-<i>T</i>c superconductors to turn the vortex background into an effective gauge field in a Dirac equation. Topological arguments in the form of index theory gives the degeneracy 2<i>n</i>^-1 for 2<i>n</i> vortices.</p>

Nous présentons dans ce travail la caractérisation, essentiellement en transport, de couches de graphène épitaxiés élaborées par sublimation contrôlée de carbure de silicium (SiC). Des mesures de transport électroniques sont effectuées à basse température (T~1,6 K) et à fort champ magnétique. Dans une première partie, Il est indispensable de se focaliser sur la méthode spécifique (‘graphite cap') utilisée pour la fabrication de tous les échantillons étudiés dans ce travail au CNM, Barcelone. La méthode de ‘graphite cap' permet d'obtenir des couches de graphène en formes de rubans suffisamment isolés entre eux pour la fabrication de dispositifs électroniques. La croissance de graphène donne des résultats très différents suivant les conditions de croissance et les spécificités du substrat de carbure de silicium employé : les échantillons obtenus sur face carbone, et les échantillons sur face silicium.Sur face carbone, deux polytypes de SiC ont été utilisés pour l'élaboration de graphène : (i) sur le polytype ‘6H-SiC (on axis)', des rubans de graphène de l'ordre de 600 µm de longueur et de 6 µm de largeur sont obtenus. La largeur de graphène reste faible car le graphène suit la formation des marches sur le SiC résultant de la reconstruction de la surface pendant la croissance (‘step bunching'). Des monocouches ont été identifiées par spectroscopie Raman. Les résultats de transport sur ces monocouches montrent que la concentration de porteurs, de type trous, varie entre 5x1012cm-2 et 5x1013cm-2. L'effet Hall quantique n'est pas observé à cause du dopage élevé. Mais des oscillations de Shubnikov de Haas ont été bien résolues et étudiées pour extraire leurs phases. La phase des oscillations est égale à zéro, ce qui est une signature de la présence d'une monocouche de graphène.(ii) sur le polytype ‘4H-SiC (8° off axis)', les rubans obtenus sont plus larges et peuvent atteindre une longueur de 600 µm et une largeur de 50 µm. L'utilisation d'un substrat SiC avec une désorientation intentionnelle lors du clivage de la surface initiale permet la coalescence des rubans de graphène. Les résultats de transport sur les monocouches montrent que les porteurs sont toujours de type trous, mais beaucoup moins dopé sur plusieurs monocouches (de l'ordre 8x1011cm-2). L'effet Hall quantique est reporté sur un échantillon dont la mobilité atteint 11 000 cm²/V.s. Une étude à bas champ magnétique est encore réalisée et donnent des informations intéressantes sur l'(anti)localisation faible. Tous les phénomènes quantiques observés sont des signatures sur les propriétés intrinsèques des monocouches de graphène. Pour mieux appréhender le graphène épitaxié, il est important de faire varier la concentration de porteurs. Pour cela, une autre approche est proposée. Nous avons fabriqué une face arrière d'un échantillon semi-isolant par implantation d'ions d'azotes dans le SiC avant la croissance de graphène. Les résultats de transport obtenus sur les monocouches de graphène ont montré l'efficacité de cette grille pour contrôler le type de porteurs. L'effet Hall quantique a été observé pour les deux types de porteurs avec des plateaux de Hall remarquables en largeur (23 T).Sur la face Si, des multicouches de graphène couvrent uniformément toute la surface du substrat. Les multicouches de graphène sont plus épaisses sur les bords de marches que sur les terrasses, identifiées par spectroscopie Raman. Les porteurs sont maintenant de type électrons grâce à la couche de tampon qui existe sur la face Si. Les résultats de transport en champ magnétique et à basse température détectent l'existence d'une anisotropie électrique dues principalement aux marches du substrat SiC. / In this work, we present the characterization, mainly in transport, of epitaxial graphene layers produced by controlled sublimation of silicon carbide substrate (SiC). Electronic transport measurements are performed at low temperature (T ~ 1.6 K) and high magnetic field. In the first part, we explain the specific method ('graphite cap') used for growth of the samples studied in this work at CNM, Barcelona. The method of 'graphite cap' provides graphene ribbons homogeneous and isolated for the fabrication of electronic devices.Graphene on SiC gives very different results depending on the conditions of growth (temperature, pressure…) and the face of SiC substrate used: carbon face (C-face) or silicon face (Si-face).On the carbon face, two SiC polytypes have been used for the graphene growth:(i) On axis 6H-SiC: graphene ribbons are obtained on the whole surface. The length of ribbon approaches 600 µm and the width do not exceed 6 µm. The graphene follows the formation of steps on the SiC resulting from surface reconstruction during growth (‘step bunching'), which affects the graphene width. Monolayers were identified by Raman spectroscopy. For all measured samples, we found that the graphene is p-typed doped with a Hall concentration between 5x1012 and 5x1013cm-2. The quantum Hall effect is not observed because of the high doping level. But the Shubnikov de Haas oscillations (SdH) have been well resolved and studied. The phase of the oscillations is equal to zero, which is a signature from the presence of graphene monolayer.(ii) 8° off axis 4H-SiC: graphene ribbons obtained are larger and can reach a length of 600 µm and a width of 50 µm. The use of a SiC substrate with intentional disorientation upon cleavage of the initial surface allows the coalescence of the graphene ribbons. For all measured devices on this sample, we found that the graphene is p-typed doped (as determined from the sign of the Hall effect) with a Hall concentration between 8x1011 and 1013 cm-2. Mobilities varied between 1000 and 11000 cm²/Vs from device to device at 4K. Magnetoresistance revealed both Shubnikov-de Haas (SdH) oscillations, and interference phenomena (weak localization and antilocalization). For some low doped devices, Quantum Hall effect was observed. All quantum phenomena observed are signatures on the intrinsic properties of graphene monolayers.The main drawback of the epitaxial growth technique is the difficulty to control of the carrier density. Here, we investigate a bottom gate of a graphene device, epitaxially grown on the C-face of SiC substrate. The gate was realized by Nitrogen atoms implantation in the SiC crystal. The transport measurements have shown the effectiveness of the gate to control the type of carriers. The quantum Hall effect was observed for both types of carriers with remarkable Hall plateaus width (23 T).On the silicon face, we discuss results obtained from few layer graphene (FLG) grown epitaxially on the (0001) surface of a 6H-SiC substrate. Carriers are now like electrons through the buffer layer that exists on the Si face. The resulting FLG uniformly covers the substrate on which large step bunched terraces are also visible. The FLG is thicker at the step edges, as evidenced by micro-Raman analysis. Indeed, a noticeable anisotropy of the resistance has been detected by magnetotransport measurements at low temperature and high magnetic field. We will argue that this anisotropy originates from different mobilities, in the terraces and at the step edges.

Les états de bord sont des canaux de transport unidimensionnels qui se développent dans des puits quantiques en régime d'Effet Hall entier, avec de remarquables propriétés de chiralité et de cohérence quantique. Dans cette thèse nous présentons l'idée d'une manipulation de courants électroniques mettant en jeu le mélange de deux canaux de bord co-propageants, et nous discutons son impact potentiel pour l'interférométrie quantique et le transport de qubits de spin. Nous présentons les caractéristiques des états de bord et évaluons l'effet de potentiels locaux et non-adiabatiques, et de leur efficacité pour transférer la charge entre les deux canaux. Il est montré que des variations rapides du potentiel, d'amplitude plus petite que le gap de Landau, donnent lieu à un faible mélange, et nous identifions des stratégies expérimentales permettant d'atteindre un bon pourcentage de mélange. Nous développons des techniques de simulation numérique afin de modéliser de expériences qui mettent en jeu des canaux avec mélange, ainsi que des méthodes analytiques permettant de traiter les interactions coulombiennes entre états de bord, en vue de futures expériences d'interférométrie de spin. / Edge states are one-dimensional transport channels, emerging in quantum wells in the integer Quantum Hall regime, with remarkable properties of chirality and quantum coherence. In this thesis we present the idea of manipulating electronic currents mixed over two co-propagating edge channels, and discuss its potential impact for quantum interferometry and transport of spin-qubit states. We introduce the characteristics of edge states and evaluate the effect of local, non adiabatic potentials and their efficiency to transfer charge between two channels. We show that sharp potential variations whose energies are smaller than the Landau gap provide weak mixing, and we identify some experimental strategies that can achieve good mixing percentages. We develop numerical techniques of simulation to model existing experiments that employ mixed edge channels, and analytical methods in order to treat the effect of Coulomb interactions between edge states in a future spin-interferometry experiment.

Cette thèse présente une étude des propriétés de transport à basse température d'échantillons de graphène exfolié. Une première série de mesures menée à une température de 4 Kelvins sur des échantillons contactés par des électrodes constituées d'une bicouche titane/or révèle les phénomènes d'effet Hall quantique et de fluctuations universelles de conductance. L'effet Hall présente une quantification demi-entière propre au graphène. Le caractère universel des fluctuations de conductance est confirmé par les mesures, et une réduction de la longueur de cohérence de phase est observée au point de Dirac. Une autre série d'échantillons, connectés par des électrodes en titane/aluminium, permet l'étude de l'effet de proximité supraconducteur dans le graphène. Ces mesures sont réalisées à des températures comprises entre 100mK et 1K. Dans un premier échantillon, elles font apparaitre le phénomène de réflexions d'Andreev multiples et un précurseur de l'effet Josephson, ainsi qu'une amplification des fluctuations universelles de conductance lorsque les électrodes sont dans l'état supraconducteur. Dans un second échantillon, la présence de localisation forte tend à diminuer l'amplitude des fluctuations universelles de conductance, entrant ainsi en compétition avec l'effet de proximité. / This thesis presents a study of electronic transport in exfoliated graphene at low temperature. A first set of experiment at 4K on samples connected by titanium/gold electrodes exhibits Quantum Hall effect and universal conductance fluctuations. Quantum Hall effect shows a half-integer quantization specific of graphene. The universality of conductance fluctuations is checked experimentally and a decrease of electronic coherence length is observed near the Dirac point. A second series of samples connected by titanium/aluminium electrodes allows the study of superconducting proximity effect in graphene, at temperatures between 1K and 100mK. In a first sample, measurements exhibit multiple Andreev reflexions and indicate nearly established Josephson effect. An amplification of universal conductance fluctuations when electrodes are in the superconducting state is also observed. In a second sample, we observe strong localization, which tends to suppress conductance fluctuation, therefore entering in competition with proximity effect.

Dans cette thèse, je présente une étude que j'ai réalisée à l'université Paris-sud sous la direction de Thierry Jolicœur sur les phases des Hall Quantiques Fractionnaire (HQF) dans la géométrie du cylindre.Après une rapide introduction dans le premier chapitre, je présente dans le second quelques concepts de base de l'effet HQF et j'introduit certains aspects de la géométrie cylindrique.Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la limite du cylindre fin, c'est à dire lorsque la circonférence du cylindre est de l'ordre de quelques longueurs magnétiques. Dans cette limite, on sait que la fonction d'onde de Laughlin au remplissage 1/q se réduit à un cristal unidimensionnel, où une orbitale sur q est occupée. Dans le but d'étudier un limite intermédiaire, nous conservons les quatre premiers termes du développement de l’Hamiltonien lorsque la circonférence est petite devant la longueur magnétique. On trouve alors une expression exacte de l'état fondamental au moyen d'opérateurs de "squeezing" ou de produits de matrices. Nous trouvons également une écriture similaire pour les quasi- trous, les quasi-électron et la branche magnétoroton.Dans les chapitres 4 et 5, je me concentre sur l'étude des excitations de bord chirales des phases de HQF. Je présente une étude microscopique de ces états de bord dans la géométrie du cylindre, lorsque les quasi-particules peuvent passer d'un bord à l'autre par effet tunnel. J'étudie d'abord dans le chapitre 4 la phase de HQF principale dont l'état fondamental est bien décrit par la fonction d'onde de Laughlin. Pour un échelle d'énergie plus faible que le gap du volume, le théorie effective est donnée par un fluide d'électrons unidimensionnel bien particulier : un liquide de Luttinger chiral. À l'aide de diagonalisations numériques exactes, nous étudions le spectre des états de bord formé de le combinaison des deux bord contre-propageant sur chacun des cotés du cylindre. Nous montrons que les deux bords se combinent pour former un liquide de Luttinger non-chiral, où le terme de courant reflète le transfert de quasi-particules entre les bords. Cela nous permet d'estimer numériquement les paramètre de Luttinger pour un faible nombre de particules, et nous trouvons une valeur cohérente avec la théorie de X. G. Wen.J'analyse ensuite dans le chapitre 5 les modes de bord des phases de HQF au remplissage 5/2. À partir une construction basée sur la Théorie des Champs Conformes (TCC), Moore et Read (Nucl. Phys. B, 1991) ont proposé que la physique essentielle de cette phase soit décrite par un état apparié de fermion composites. Une propriété importante de cet état est que ses excitations émergentes permutent sous une statistique non-abéliène. Lorsqu'elles sont localisées sur les bords, ces excitations sont décrites par un boson chiral et un fermion de Majorana. Dans la géométrie du cylindre, nous montrons que le spectre des excitations de bord est fomé des tours conformes du modèle IsingxU(1). De plus, par une méthode Monte-Carlo, nous estimons les différentes dimensions d'échelle sur des grands systèmes (environ 50 électrons), et nous trouvons des valeurs en accord avec les prédictions de la TCC.Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, je présente un travail que j'ai réalisé à UBC (Vancouver) en collaboration avec Marcel Franz sur les phase de Hall quantiques de spin induites dans le graphène par des adatomes. Dans ce système, les adatomes induisent un couplage spin-orbite sur les électrons des la feuille de graphène et introduisent du désordre qui est susceptible de détruire le gap spectral. Nous montrons dans ce chapitre que le gap spectral est préservé lorsque des valeurs réalistes de paramètres sont usités. De plus, au moyen de calculs analytiques à base énergie et de diagonalisations numériques exactes, nous identifions un signal caractéristique dans la densité d'états locale mettant en évidence la présence d'un gap topologique. Ce signal pourrait être observé au moyen d'un microscope à effet tunnel. / I present in this thesis a study that I did in the university Paris-sud under the supervision of Thierry Jolicœur onto Fractional Quantum Hall (FQH) phases in the cylinder geometry. After a short introduction in the first chapter, I present some basic concept relative to the FQH effect in the second one and introduce some essential features relative to the cylinder geometry, useful for the chapters 3, 4, and 5. The chapter 3 is dedicated to the study of the thin cylinder limit, i.e. when the circumference of the cylinder is of the order of a few magnetic length. In this limit, it is known that the Laughlin wave function at the filling factor 1/q is reduced to a one dimensional crystal in the lowest Landau level orbitals where one every q orbitals is occupied. We Taylor expand the Hamiltonian when the circumference is small compare to the magnetic length in order to study an intermediate limit. When only the first four terms of the development are kept, it is possible to find exact representations of the ground state with "squeezing" operators or matrix products. We also find similar representations for quasiholes, quasielectrons and the magnetorton branch. These results have been published in the article Phys. Rev. B 85, 155116 (2012). In the chapter 4 and 5 I focus onto the gapless chiral edge excitations of FQH phases. I present a microscopic study of those edges states in the cylindrical geometry where quasiparticles are able to tunnel between edges. I first study the principal FQH phase at the filling fraction 1/3 whose ground state is well described by the Laughlin wave function in the chapter 4. For an energy scale lower than the bulk gap, the effective theory is given by a very peculiar one dimensional electron fluid localized at the edge: a chiral Luttinger liquid. Using numerical exact diagonalizations, we study the spectrum of edge modes formed by the two counter-propagating edges on each side of the cylinder. We show that the two edges combine to form a non-chiral Luttinger liquid, where the current term reflects the transfer of quasiparticles between edges. This allows us to estimate numerically the Luttinger parameter for a small number of particles and find it coherent with the one predicted by X. G. Wen theory. We published this work in Phys. Rev. B 86, 115214 (2012). I then analyze edge modes of the FQH phase at filling fraction 5/2 in the chapter 5. From a Conformal Field Theory (CFT) based construction, Moore and Read (Nucl. Phys. B, 1991) proposed that the essential physics of this phase is described by a paired state of composite fermions. A striking property of this state is that emergent excitations braid with non-Abelian statistics. When localized along the edge, those excitations are described through a chiral boson and a Majorana fermion. In the cylinder geometry, we show that the spectrum of edge excitations is composed of all conformal towers of the IsingxU(1) model. In addition, with a Monte Carlo method, we estimate the various scaling dimensions for large systems (about 50 electrons), and find them consistent with the CFT predictions.In the last chapter of my manuscript, I present a work that I did in UBC (Vancouver) in collaboration with Marcel Franz onto quantum spin Hall phases in graphene induced by adatoms. In this system, adatoms induce a spin orbit coupling for electrons in the graphene sheet and create some disorder which might be responsible for destruction the spectral gap. We show in this chapter and in the article [Phys. Rev. B 89, 201410(R) (2014)] that the spectral gap remains open for a realistic range of parameters. In addition, with analytical computations in the low energy approximation and numerical exact diagonalizations, we find characteristic signal in the local density of states highlighting the presence of topological gap. This signal might be observed in scanning tunneling spectroscopy experiments.