On s'intéresse à l'analyse et la simulation du comportement itératif de réseaux d'automates et plus particulièrement des réseaux d'automates à seuil (avec éventuellement introduction d'une période de réfraction). On donne, on approfondit des résultats concernant la longueur du cycle limite, le nombre de pas nécessaires pour l'atteindre, ainsi que l'organisation spatiale des cellules dans le cycle.

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique de réseaux de régulation génétique et métabolique. Une étude détaillée d'un réseau particulier, l'opéron lactose, nous permet de mettre en évidence les principales difficultés de la modélisation quantitative de tels systèmes. Dans ce domaine, la théorie des systèmes hybrides constitue un outil de modélisation pertinent, qui nous permet de proposer un modèle de l'opéron lactose reproduisant les principales caractéristiques de son comportement telles qu'elles sont connues aujourd'hui. Deux approches qualitatives sont ensuite envisagées. Une approche discrète, basée sur la théorie des réseaux d'automates booléens, est tout d abord présentée. Nous abordons dans ce cadre la question de l'identification de réseaux, en proposant notamment une preuve ainsi qu'une implémentation de l'algorithme d'inférence de réseaux booléens REVEAL. Nous faisons également une analyse de la complexité et de l'efficacité de cet algorithme. Enfin, nous proposons l'étude d une classe de systèmes différentiels comportant des lois de puissance, les S-systèmes. Ces systèmes présentent des propriétés intéressantes d'approximation locale de systèmes provenant des sciences du vivant. Nous proposons un algorithme itératif basé sur les S-systèmes dont le but est de trouver les points d'équilibre positifs d'un système dynamique quelconque, ainsi qu'une approximation locale de ce système autour de ces points d'équilibre. Cette approximation sous forme de lois de puissance offre une alternative à la technique classique de linéarisation. Nous appliquons cet algorithme à l'étude d'une partie d'un système métabolique chez la plante Arabidopsis thaliana.

Cette thèse présente des méthodes et des algorithmes pour l'évaluation de performance de modèles avec très grands espace d'états décrits par des formalismes de haut niveau. Parmi les différents formalismes couramment utilisés, on se place dans le cadre des Réseaux d'Automates Stochastiques (SAN). Le formalisme SAN se caractérise par la représentation de très grands systèmes par la composition de sous-systèmes (automates), où ces automates interagissent entre eux par des événements synchronisants ou des taux et des probabilités fonctionnels. <br /><br />La première partie de cette thèse s'intéresse au calcul des indices de performances transitoires pour des grands modèles. Lorsqu'on calcule des indices de performances transitoires, tel que la disponibilité ponctuelle, la méthode d'uniformisation est la plus souvent utilisée. Cependant le nombre d'itérations vecteur-matrice peut être très grand ce qui devient critique pour de très grands modèles. Des méthodes de détection du régime stationnaire peuvent réduire le coût de calcul en arrêtant les itérations lorsque le régime stationnaire est atteint. Dans cette thèse, nous proposons une adaptation et une comparaison de différentes méthodes de détection du régime stationnaire lorsque la matrice est stockée sous un format tensoriel. Les méthodes sont comparées selon deux critères : nombre d'itérations et précision des résultats.<br /><br />Dans la deuxième partie, nous présentons le formalisme SAN à temps discret. La définition formelle du formalisme SAN présentée dans cette thèse nous permet de définir la sémantique des modèles en temps discret que nous souhaitons exploiter. Nous définissons une nouvelle algèbre tensorielle (appelée Algèbre Tensorielle compleXe - ATX) capable d'exprimer cette sémantique. Pour cela, trois opérateurs sont définis afin de décrire différents comportement d'un système, tels que la simultanéité, la concurrence et le choix. Enfin, le principal apport de cette thèse réside dans la définition d'une formule tensorielle (appelée Descripteur discret) qui utilise cette nouvelle algèbre pour représenter un modèle SAN à temps discret de façon compacte. Nous montrons que ce descripteur discret permet aisément de générer la chaîne de Markov représentée par le modèle SAN.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'influence des conditions de bords dans les réseaux d'automates booléens à seuil, qui sont des objets mathématiques discrets classiquement utilisés pour modéliser les systèmes de régulation biologiques. L'objectif est de mettre en évidence que les éléments déterminant les bords de ces réseaux, que l'on peut rapprocher dans le contexte biologique de potentiels électriques, d'hormones ou encore de micro-ARN, sont des composants d'un système dont l'effet peut être primordial sur le comportement de ce dernier. Cet objectif est atteint en suivant deux axes distincts. Le premier consiste à montrer les liens entre l'influence des conditions de bord et les transitions de phase émergeant du comportement asymptotique de réseaux théoriques, à savoir des réseaux d'automates cellulaires. Le deuxième axe se focalise sur les systèmes biologiques réels et développe l'idée selon laquelle les conditions de bord dans ces systèmes ont une influence particulière sur les bassins d'attraction des systèmes dynamiques par lesquels ces systèmes sont modélisés.

Cette thèse consiste a modéliser un réseau neuronal situe en aval de la cochlee, qui constitue les premières couches de traitement des signaux de la parole issus du système auditif périphérique. Le cadre général du travail présente concerne la modélisation mathématique du réseau de neurones en question, la description de la machine massivement parallèle hypercube FPS T-40 utilisée comme outil de nos simulations, l'implantation du modèle neuronal sur cette machine parallèle et enfin les réalisations et interprétations de résultats de simulation. Ces travaux sont présentés en quatre chapitres comme suit: le premier chapitre s'inscrit dans le cadre général des réseaux de neurones, en commençant par les premiers modèles fondes sur des réseaux dits d'automates a seuil conçus par W. S. Mcculloch et W. Pitts des 1943, des réseaux d'automates cellulaires conçus par J. Von Neumann des 1948, etc... Le deuxième chapitre introduit la mesure de Gibbs, champs aléatoires et modèles de réseaux (déterministes et stochastiques). Puis, il présente l'étude du probleme d'ergodicité des réseaux de neurones probabilistes. Le troisième chapitre concerne l'environnement technique ou nos simulations de réseaux de neurones ont été effectuées. Il consiste en une description générale du principe du parallélisme et en une présentation détaillée de la machine massivement parallèle hypercube FPS T-40. Enfin, le quatrième chapitre comprend l'implantation de l'algorithme du réseau de neurones sur la machine massivement parallèle hypercube FPS T-40, l'expérimentation numérique et l'interprétation des résultats numériques. Ensuite, on a représente graphiquement ces résultats, a l'aide de mesures statistiques adéquates résumant le comportement dynamique du réseau, sur station de travail vinix (ordinateur spécialisé dans le traitement d'images)

Cette thèse propose des techniques numériques visant à optimiser les méthodes itératives d'évaluation de performances de modèles Markoviens. Ces techniques s'appliquent à des modèles où la matrice de transition de la chaîne de Markov associée est stockée sous un format tensoriel. Particulièrement, le formalisme des réseaux d'automates stochastiques est employé pour la description des modèles. L'évaluation de performances cherchée est la détermination de l'état stationnaire de la chaîne de Markov (\emph(résolution)). De ce fait, les propriétés de l'algèbre tensorielle généralisée sont proposées et démontrées de façon à établir la base nécessaire aux algorithmes de résolution introduits. Le principal apport de cette thèse réside dans l'efficacité des ces algorithmes, qui est obtenue avec l'accélération des méthodes itératives. Ceci est fait à deux niveaux: la réduction du coût de chaque itération; et la réduction du nombre d'itérations nécessaire à la convergence. La multiplication d'un vecteur par une matrice sous format tensoriel (produit vecteur-descripteur) est l'opération de base des itérations. L'efficacité de cette opération est le premier objectif à atteindre. Le deuxième objectif est l'implémentation des méthodes de la puissance, d'Arnoldi et GMRES dans ses versions standards et pré-conditionnées de façon a minimiser le nombre d'itérations sans trop augmenter le coût de chaque itération. La totalité des concepts introduits est alors utilisée dans le logiciel PEPS 2.0. Plusieurs exemples pratiques de modèles en réseaux d'automates stochastiques ont été mesurés sur PEPS 2.0 pour illustrer les résultats de cette thèse.

Cette thèse présente des méthodes et des algorithmes pour l'évaluation de performance de systèmes à grand espace d'états décrits par des formalismes de haut niveau. Parmi les différents formalismes de haut niveau normalement utilisés, nous nous sommes intéressés au formalisme des Réseaux d'Automates Stochastiques (SAN). Le formalisme SAN se caractérise par la modélisation de systèmes complexes, où un système est représenté par la composition de sous-systèmes (automates) qui interagissent entre eux. Cette interaction se réalise par l'occurrence des événements synchronisants ou des taux fonctionnels. Lorsqu'on calcule l'espace d'états atteignables de systèmes complexes, le principal problème qui surgit est l'explosion combinatoire de l'espace d'états du modèle. Dans la première partie de cette thèse, nous proposons des méthodes pour la génération de l'espace d'états atteignables de modèles compositionnels qui utilisent des taux fonctionnels. Nous utilisons les Diagrammes de Décision Multi-valués (MDD) pour représenter et manipuler les espaces d'états et le formalisme SAN pour la modélisation de systèmes. Un MDD est une structure de donnée arborescente qui permet de représenter et de manipuler de façon performante un très grand espace d'états. L'avancée par rapport à l'état de l'art a été de proposer de méthodes qui prennent en compte ces fonctions qui expriment des relations entre les composants des modèles. Des études d'exemples sont présentées afin d'illustrer les apports de ces méthodes. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à la résolution d'un modèle SAN à temps discret dont la matrice de transition est représentée par une formule tensorielle (appelée descripteur discret). A cet effet, nous présentons l'Algèbre Tensorielle compleXe (ATX) adaptée à la composition parallèle des SAN à temps discret pour la représentation du descripteur et nous démontrons des propriétés qui servent de base aux méthodes itératives pour la résolution de la chaîne de Markov associée au modèle SAN. Un des avantages de représenter un modèle SAN par un descripteur est la façon compacte par laquelle on peut représenter les transitions du modèle: on remplace une description dans un espace produit par un unique produit tensoriel portant sur des facteurs qui décrivent ce qui se passe sur une seule dimension (une composante du modèle SAN). Afin de profiter de cette représentation, nous présentons une méthode de multiplication d'un vecteur de probabilité par un descripteur discret adaptée à cette algèbre. Cette méthode vise à exploiter des propriétés du produit tensoriel complexe de façon à ce que la multiplication par un opérateur sur l'espace produit soit remplacée par une suite d'opérations qui manipulent des données de la taille d'une composante (et pour toutes les composantes).

Cette thèse s'intéresse aux évènements et aux ordonnancements d'évènements se produisant au sein de réseaux d'éléments conceptuels prédéterminés. Dans ces réseaux, les éléments, appelés plutôt "automates", s'incitent les uns les autres à changer d'état en accord avec des règles prédéfinies qui, précisément, définissent le (fonctionnement du) réseau. Lorsqu'un automate se conforme effectivement aux influences qu'il reçoit de la part des autres, on dit que son état est mis à jour. Les évènements élémentaires considérés sont les changements d'états des automates. Définir un mode de mise à jour pour l'ensemble des automates d'un réseau permet de sélectionner certains évènements parmi l'ensemble de ceux qui sont a priori possibles. Cela permet aussi d'organiser et d'ordonner les évènements les uns par rapport aux autres de façon, par exemple, à imposer que des évènements indépendants se produisent simultanément ou simplement, de manière assez rapprochée pour qu'aucun autre événement ne puisse se produire pendant leur occurrence. Informellement, les modes de mise à jour peuvent donc être interprétés comme l'expression d'influences extérieures au réseau interdisant certains changements, ou alors comme la formalisation d'une version relâchée et relative de l'écoulement de temps. Cette thèse propose d'étudier leur influence sur le comportement des réseaux. Et afin de distinguer cette influence de celle de la structure des réseaux, elle commence par mettre en évidence le rôle de certains motifs structurels. Après ça, elle s'intéresse en particulier à l'information "encodée" dans une séquence de mises à jour et à l'impact du synchronisme dans celles-ci.

Dans cette thèse, nous étudions l'influence d'un changement de mode d'itération sur les attracteurs d'un réseau d'automates booléens à seuil, outil mathématique discret classiquement utilisé pour modéliser les systèmes de régulation biologiques. L'objectif est de mettre en évidence l'importance du choix du mode d'itération pour la dynamique de ces réseaux, et en particulier pour les cycles limites atteints. Nous simulons tout d'abord la dynamique d'un échantillon non biaisé de réseaux, pour des tailles comprises entre un et sept nœuds. Les résultats des simulations montrent notamment que, lorsque la taille des réseaux croît, la dynamique de ces réseaux devient de plus en plus sensible au choix du mode d'itération. Nous démontrons ensuite un résultat théorique qui permet de déterminer, pour un réseau donné, l'ensemble des modes d'itération pour lesquels on observe des cycles limites, en fonction des cycles limites observés pour le mode parallèle.

Les chaînes de Markov facilitent l'analyse des performances des systèmes dynamiques dans de nombreux domaines d'application. Cette thèse présente le formalisme des réseaux d'automates stochastiques pour représenter des systèmes markoviens. Le principal objectif des travaux consiste à améliorer les méthodes existantes pour évaluer les performances de systèmes informatiques à grand espace d'états. Pour cela, nous introduisons le concept de réseaux d'automates stochastiques avec réplication, ainsi que des techniques pour simplifier le modèle étudié en réduisant la taille de l'espace d'états. Pour rechercher des indices de performances, on propose une amélioration de l'opération de base en tenant compte du fait que dans de nombreux modèles, la proportion d'états accessibles est faible. Les méthodes et algorithmes développés au cours de la thèse ont été implémentés dans le logiciel PEPS 2003. Des exemples numériques sont présentés pour illustrer les apports de cette thèse.