The present paper is devoted to the fast solution of boundary integral equations on unstructured meshes by the Galerkin scheme. On the given mesh we construct a wavelet basis providing vanishing moments with respect to the traces of polynomials in the space. With this basis at hand, the system matrix in wavelet coordinates can be compressed to $\mathcal{O}(N\log N)$ relevant matrix coefficients, where $N$ denotes the number of unknowns. The compressed system matrix can be computed within suboptimal complexity by using techniques from the fast multipole method or panel clustering. Numerical results prove that we succeeded in developing a fast wavelet Galerkin scheme for solving the considered class of problems.

Die Mikrosystemtechnik entwickelt sehr kleine Sensoren und Aktuatoren, deren Größe wie der Name schon sagt in Mikrometern gemessen werden kann. Die meist aus Silizium gefertigten Bauteile werden durch Dotierung elektrisch leitfähig. Die so erzeugten Elektroden können nun mittels elektrostatischer Kräfte bewegt werden. Für die numerische Simulation dieser System ist die Kenntnis der Kapazität dieser Elektrodenanordnungen notwendig. In den folgenden Kapiteln wird eine Möglichkeit der Bestimmung der Kapazitätsmatrix für solche Elektrodenanordnungen aufgezeigt. Dazu werden wir zunächst im Kapitel 2 einige Begriffe der Elektrostatik definieren und ihre Zusammenhänge erläutern. Danach werden wir im Kapitel 3 eine Randintegralgleichung herleiten mit deren Hilfe eine Bestimmung der Kapazitätsmatrix möglich ist. Um diese Gleichung zu Lösen werden wir sie im Kapitel 4 diskretisieren. Diese Diskretisierung wird zu einem vollbesetzten Gleichungssystem führen. Das Lösen dieses Gleichungssystems ist relativ teuer, daher wird in den Kapiteln 5 und 6 eine Approximation erläutert, die den Speicherbedarf und Rechenaufwand reduziert. Im Kapitel 7 werden wir die Fehler, welche durch die Diskretisierung und die Approximation entstehen, näher untersuchen. Abschließend werden wir im Kapitel 8 die Kapazitätsmatrizen einiger Beispiele berechnen und mit früheren Berechnungsergebnissen vergleichen.

Für die Optimierung akustischer Eigenschaften von Räumen ist die Verbesserung deren numerischer Simulationen von entscheidender Bedeutung. Im unteren Frequenzbereich hängt in vielen Fällen die Qualität der Lösungen stark von der Kenntnis akustischer Wandadmittanzen ab. Die vorliegende Arbeit umfasst die Entwicklung und Untersuchung verschiedener auf deterministischen Diskretisierungen des akustischen Randwertproblems basierender Formulierungen zur globalen Bestimmung frequenzabhängiger Admittanzparameter. Mit Admittanzen kann das Reflexions- und Absorptionsverhalten von Wänden quantifiziert werden. Der vorgestellte Ansatz der globalen Admittanzbestimmung in Innenräumen ermöglicht die Berücksichtigung schrägen Schalleinfalls. Die Methode sieht ein Experiment vor, bei dem das Schallfeld mit Mikrofonen abgetastet, alle vorhandenen Schallquellen bestimmt sowie die Geometrie des akustischen Raumes erfasst werden. Mit den in der Arbeit entwickelten Algorithmen wird eine globale Admittanzverteilung für den gesamten Rand aus diesen Daten berechnet. Mit Hilfe erfolgreich identifizierter Admittanzverläufe sollen Simulationen niederfrequenter Wellenausbreitungen in Räumen auch komplizierter Geometrien und Oberflächenbeschaffenheiten durch Hinzunahme von Admittanzrandbedingungen ermöglicht und verbessert werden. Die Bestimmung von Wandadmittanzen aus partiell bekannten Schalldruckwerten wird mathematisch als inverses Problem eingeordnet. Für die inversen Algorithmen werden die Methoden der Randelemente (BE) und der finiten Elemente (FE) zur Diskretisierung des akustischen Randwertproblems verwendet. Aus den Gleichungen der BE-Diskretisierung lässt sich ein schlecht konditioniertes, aber dafür lineares Gleichungssystem für das inverse Problem finden, während die FE-basierte Formulierung ein nichtlineares, aufgrund der Komplexität des Problems meist ebenfalls schlecht konditioniertes Optimierungsproblem darstellt. Ein wesentliches Ergebnis dieser Arbeit ist die Gegenüberstellung der linearen und nichtlinearen Algorithmen des inversen Problems in Hinblick auf deren Herleitungen, die umgesetzten Berechnungsverfahren und der sich stark unterscheidenden Lösungsqualitäten. Untersuchungen der Admittanzrekonstruktion an zwei- und dreidimensionalen theoretischen Modellen verdeutlichen die Einflüsse der Modellgenauigkeit, des Messumfanges und des Messrauschens auf die Ergebnisse der inversen Algorithmen. Anhand der Anwendung auf Messdaten eines bei Brüel & Kjaer durchgeführten Experimentes wird das inverse Verfahren der globalen Admittanzbestimmung einem Praxistest unterzogen. / Reflection and absorption of sound waves on boundaries play a determining role for the optimization of acoustical properties in closed rooms. Above all the geometry and dynamic behavior of the wall structure are responsible for it. These boundary terms are quantifiable within the scope of numerical acoustics by the so-called admittance boundary conditions of the acoustical boundary value problem. Especially at low frequencies the quality of acoustical simulation depends strongly on the recognition of boundary admittances. The present work includes the development of two different inverse algorithms based on deterministic discretization methods for the global determination of frequency-dependent boundary admittance parameters. The approach of global determination of admittances allows to take account for non-perpendicular wave incident. For the method to work an experiment shall be initially conducted. In that process all present sound sources and microphone arrays scanning the sound field must be located and measured and a model of the geometry of the room needs to be created. The developed algorithms calculate then a global admittance distribution based on this data. Using successfully identified admittance characteristics as admittance boundary condition, low frequency simulation in rooms of complex geometry and arbitrary consistency of the surface shall be improved. Identifying boundary admittances out of partially measured sound pressure data is classifiable as inverse acoustic problem. In order to develop inverse formulations the acoustical boundary value problem is discretized by means of the Boundary Element and the Finite Element Method. The inverse formulation of the Boundary Element equations composes an ill-posed but linear system of equations. In contrast, based on Finite Elements only a nonlinear optimization problem can be set up that often features a bad condition due to the complexity of the inverse problem. The comparison of these linear and nonlinear algorithms of the inverse acoustic problem of global determination of boundary admittances in respect of derivation, implemented solution techniques and differing solution qualities states an essential result of this work. The investigation of admittance reconstruction at two and three-dimensional theoretical models reveal the influences of model accuracy, measurement expense and noise on measured data onto the results of both inverse algorithms. Finally, the problem of global admittance determination is subjected to experimentally obtained data (at Brüel & Kjaer) in order to check for practical applicability.

Für die Optimierung akustischer Eigenschaften von Räumen ist die Verbesserung deren numerischer Simulationen von entscheidender Bedeutung. Im unteren Frequenzbereich hängt in vielen Fällen die Qualität der Lösungen stark von der Kenntnis akustischer Wandadmittanzen ab. Die vorliegende Arbeit umfasst die Entwicklung und Untersuchung verschiedener auf deterministischen Diskretisierungen des akustischen Randwertproblems basierender Formulierungen zur globalen Bestimmung frequenzabhängiger Admittanzparameter. Mit Admittanzen kann das Reflexions- und Absorptionsverhalten von Wänden quantifiziert werden. Der vorgestellte Ansatz der globalen Admittanzbestimmung in Innenräumen ermöglicht die Berücksichtigung schrägen Schalleinfalls. Die Methode sieht ein Experiment vor, bei dem das Schallfeld mit Mikrofonen abgetastet, alle vorhandenen Schallquellen bestimmt sowie die Geometrie des akustischen Raumes erfasst werden. Mit den in der Arbeit entwickelten Algorithmen wird eine globale Admittanzverteilung für den gesamten Rand aus diesen Daten berechnet. Mit Hilfe erfolgreich identifizierter Admittanzverläufe sollen Simulationen niederfrequenter Wellenausbreitungen in Räumen auch komplizierter Geometrien und Oberflächenbeschaffenheiten durch Hinzunahme von Admittanzrandbedingungen ermöglicht und verbessert werden. Die Bestimmung von Wandadmittanzen aus partiell bekannten Schalldruckwerten wird mathematisch als inverses Problem eingeordnet. Für die inversen Algorithmen werden die Methoden der Randelemente (BE) und der finiten Elemente (FE) zur Diskretisierung des akustischen Randwertproblems verwendet. Aus den Gleichungen der BE-Diskretisierung lässt sich ein schlecht konditioniertes, aber dafür lineares Gleichungssystem für das inverse Problem finden, während die FE-basierte Formulierung ein nichtlineares, aufgrund der Komplexität des Problems meist ebenfalls schlecht konditioniertes Optimierungsproblem darstellt. Ein wesentliches Ergebnis dieser Arbeit ist die Gegenüberstellung der linearen und nichtlinearen Algorithmen des inversen Problems in Hinblick auf deren Herleitungen, die umgesetzten Berechnungsverfahren und der sich stark unterscheidenden Lösungsqualitäten. Untersuchungen der Admittanzrekonstruktion an zwei- und dreidimensionalen theoretischen Modellen verdeutlichen die Einflüsse der Modellgenauigkeit, des Messumfanges und des Messrauschens auf die Ergebnisse der inversen Algorithmen. Anhand der Anwendung auf Messdaten eines bei Brüel & Kjaer durchgeführten Experimentes wird das inverse Verfahren der globalen Admittanzbestimmung einem Praxistest unterzogen. / Reflection and absorption of sound waves on boundaries play a determining role for the optimization of acoustical properties in closed rooms. Above all the geometry and dynamic behavior of the wall structure are responsible for it. These boundary terms are quantifiable within the scope of numerical acoustics by the so-called admittance boundary conditions of the acoustical boundary value problem. Especially at low frequencies the quality of acoustical simulation depends strongly on the recognition of boundary admittances. The present work includes the development of two different inverse algorithms based on deterministic discretization methods for the global determination of frequency-dependent boundary admittance parameters. The approach of global determination of admittances allows to take account for non-perpendicular wave incident. For the method to work an experiment shall be initially conducted. In that process all present sound sources and microphone arrays scanning the sound field must be located and measured and a model of the geometry of the room needs to be created. The developed algorithms calculate then a global admittance distribution based on this data. Using successfully identified admittance characteristics as admittance boundary condition, low frequency simulation in rooms of complex geometry and arbitrary consistency of the surface shall be improved. Identifying boundary admittances out of partially measured sound pressure data is classifiable as inverse acoustic problem. In order to develop inverse formulations the acoustical boundary value problem is discretized by means of the Boundary Element and the Finite Element Method. The inverse formulation of the Boundary Element equations composes an ill-posed but linear system of equations. In contrast, based on Finite Elements only a nonlinear optimization problem can be set up that often features a bad condition due to the complexity of the inverse problem. The comparison of these linear and nonlinear algorithms of the inverse acoustic problem of global determination of boundary admittances in respect of derivation, implemented solution techniques and differing solution qualities states an essential result of this work. The investigation of admittance reconstruction at two and three-dimensional theoretical models reveal the influences of model accuracy, measurement expense and noise on measured data onto the results of both inverse algorithms. Finally, the problem of global admittance determination is subjected to experimentally obtained data (at Brüel & Kjaer) in order to check for practical applicability.

This paper presents three new coupling methods for interior penalty discontinuous Galerkin finite element methods and boundary element methods. The new methods allow one to use discontinuous basis functions on the interface between the subdomains represented by the finite element and boundary element methods. This feature is particularly important when discontinuous Galerkin finite element methods are used. Error and stability analysis is presented for some of the methods. Numerical examples suggest that all three methods exhibit very similar convergence properties, consistent with available theoretical results.

As shown by Dahmen, Harbrecht and Schneider, the fully discrete wavelet Galerkin scheme for boundary integral equations scales linearly with the number of unknowns without compromising the accuracy of the underlying Galerkin scheme. The supposition is a wavelet basis with a sufficiently large number of vanishing moments. In this paper we present several constructions of appropriate wavelet bases on manifolds based on the biorthogonal spline wavelets of A. Cohen, I. Daubechies and J.-C. Feauveau. By numerical experiments we demonstrate that it is worthwhile to spent effort on their construction to increase the performance of the wavelet Galerkin scheme considerably.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem schnellen Lösen von Randintegralgleichungen auf polygonalen oder polygonal approximierten Oberflächen basierend auf Wavelet-Galerkinverfahren. Ein besonderes Augenmerk gilt dabei der speziellen Problematik der diffusen Beleuchtungsgleichung. Während traditionelle Ansätze für Randintegralgleichungen zu vollbesetzten Systemmatrizen und damit zu einem quadratischen Aufwand führen, nutzen Waveletverfahren spezielle Multiskalenbasen, die eine Kompression der Systemmatrix zu einer dünnbesetzten Matrix und damit einen linear-logarithmischen Aufwand ermöglichen. In der Arbeit wird das H^2-Waveletverfahren als effiziente Umsetzung der Waveletverfahren auf polygonal approximierten Oberflächen basierend auf den Tausch-White-Wavelets entwickelt. Es stellt eine Kombination aus H^2-Techniken, bekannt von dem Gebiet der hierarchischen Matrizen, und rekusiven Wavelettechniken dar. Zum besseren Verständnis werden dazu innerhalb der Arbeit in eigenen Kapiteln das Wichtigste zu den Tausch-White-Wavelets, zu dem allgemeinen Waveletverfahren und der Waveletkompression sowie zu den H^2-Matrizen präsentiert, bevor das H^2-Waveletverfahren detailiert hergeleitet und der entsprechende linear-logarithmische Aufwand bewiesen wird. Der zweite Schwerpunkt der Arbeit liegt auf der diffusen Beleuchtungsgleichung. Die in ihr enthaltene Sichbarkeitsproblematik verhindertete bis jetzt die Anwendung moderner schneller Verfahren und die Reduktion der Kosten auf linear-logarithmischen Aufwand. Mit Hilfe der in dieser Arbeit neu entwickelten speziell auf die diffuse Beleuchtungsgleichung angepassten Waveletkompression ist es jedoch möglich ein dünnbesetzte Systemmatrix aufzustellen und im Bereich des Speichers den gewünschten linear-logarithmischen Aufwand zu erreichen. Alle in der Arbeit entwickelten Algorithmen sind detailiert dargestellt und mit numerische Ergebnissen unterlegt.

This paper presents three new coupling methods for interior penalty discontinuous Galerkin finite element methods and boundary element methods. The new methods allow one to use discontinuous basis functions on the interface between the subdomains represented by the finite element and boundary element methods. This feature is particularly important when discontinuous Galerkin finite element methods are used. Error and stability analysis is presented for some of the methods. Numerical examples suggest that all three methods exhibit very similar convergence properties, consistent with available theoretical results.:1. Introduction 2. Model Problem and Background 3. New Coupling Methods 4. Stability and Error Analysis 5. Numerical Examples 6. Summary A. Appendix

Galvanic corrosion is a destructive process between dissimilar metals. The present paper presents a constructed numerical test case to simulate galvanic corrosion of two dissimilar metals. This test case is used to study the accuracy of different implementations to track the dissolving anode boundary. One technique is to numerically simulate a mesh displacement based on the prescribed displacement at the anode boundary. The second method is to adjust only the boundary elements. Re-meshing after a certain number of time steps is applied to both implementations. They produce similar results for an electrical and electrochemical field problem. This work shows that mesh smoothing does not result in higher accuracy when modeling a moving anode front. Adjusting only the boundary elements is sufficient when frequent re-meshing is used.