Nous démontrons une version d'un théorème d'Heckman permettant de préciser le lien qui unit la théorie des représentations des groupes compacts à celle des matrices aléatoires à valeurs dans l'algèbre de Lie du groupe compact connexe K et dont la loi est K-invariante.<br />Les groupes de Lie classiques, qu'on note K(n), sont les ensembles de matrices unitaires de taille n*n à entrées dans le corps des réels, des complexes ou des quaternions. Pour chacun d'eux, nous étudions plus précisément deux types d'ensembles invariants. Le premier est l'ensemble k(n) - algèbre de Lie de K(n) - muni de la mesure gaussienne. Les règles de branchement classiques nous permettent de calculer la loi des mineurs principaux des matrices de ces ensembles. Le deuxième est une généralisation de l'ensemble unitaire de Laguerre (LUE). Au sein de la théorie des représentations, celle des cristaux de Kashiwara nous permet d'étudier cet ensemble. <br />Pickrell a montré que dans le cas complexe la limite d'une famille consistante de mesures K(n)-invariantes sur k(n) est ergodique si et seulement si elle est la loi d'une combinaison linéaire de matrices indépendantes de type Gaussien ou Laguerre. Nous montrons que son résultat reste vrai pour les autres groupes de Lie classiques.<br />La généralisation du LUE que nous proposons est obtenue en considérant des sommes de matrices aléatoires de rang un. L'étude de ces perturbations et des mineurs principaux fait apparaître des processus entrelacés. Nous montrons qu'une large classe d'entre eux sont déterminantaux et donnons leur noyau de corrélation.

Cette thèse traite de la résolution numérique des équations de Fredholm de seconde espèce faiblement singulières, posées dans un espace de Banach. Les méthodes décrites ici sont appliquées plus particulièrement dans le cas de l'espace des fonctions continues sur un intervalle compact et dans le cas de l'espace des fonctions intégrables, au sens de Lebesgue, sur un intervalle compact. Le premier chapitre fixe brièvement le cadre théorique de cette étude. Différents types de convergence d'une suite d'opérateurs dans un espace de Banach complexe, ainsi que leurs propriétés, y sont notamment rappelés. Le deuxième chapitre est consacré à la description et à l'analyse de deux méthodes d'approximation de rang fini sur lesquelles sont appliqués trois schémas de raffinement itératif. Des majorations des erreurs relatives associées à chaque méthode et dans chacun des espaces fonctionnels considérés y sont déduites, ainsi que les taux de convergence des schémas de raffinement correspondants. Une description détaillée de la mise en \oe uvre de ces derniers est donnée. Le troisième chapitre traite de l'application de ces méthodes à la résolution numérique de l'équation de transfert. Cette équation intervient au sein d'un problème beaucoup plus vaste (émanant de la théorie du transfert) dont une brève description est donnée dans le cadre particulier des atmosphères stellaires. Des expériences numériques, portant sur la validation des méthodes proposées et sur des cas ayant un sens astrophysique, sont présentées. La fin de ce chapitre est consacrée à la description de méthodes asymptotiques de décomposition du domaine permettant de surmonter la difficulté de résoudre cette équation lorsque le paramètre d'intégration varie dans un intervalle très large, ce qui est le cas dans certaines applications astrophysiques.

Soit p un nombre premier. Cette thèse est une contribution à la théorie des représentations modulo p des groupes réductifs p-adiques, jusque là essentiellement centrée sur le groupe linéaire général GL(n) défini sur un corps local non archimédien F complet pour une valuation discrète, de caractéristique résiduelle p et de corps résiduel fini. L'originalité de nos travaux réside notamment dans le fait qu'ils concernent d'autres groupes : nous nous intéressons en effet à la description des classes d'isomorphisme des représentations modulo p de groupes formés des F-points d'un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé de rang semi-simple égal à 1 sur F. Une place particulière est accordée au groupe spécial linéaire SL(2) et au groupe unitaire quasi-déployé non ramifié en trois variables U(2,1). Dans ces deux cas, nous montrons que les classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles admissibles à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique p se scindent en deux familles : les représentations non supersingulières et les représentations supersingulières. Nous décrivons complètement les représentations non supersingulières, et montrons que la notion de supersingularité est équivalence à la notion de supercuspidalité apparaissant dans la théorie complexe. Nous donnons aussi une description explicite des représentations supersingulières de SL(2,Q_{p}), ce qui nous permet de définir dans ce cas une correspondance de Langlands locale semi-simple modulo p compatible à celle construite par Breuil pour GL(2). Nous généralisons ensuite les méthodes utilisées jusqu'alors pour obtenir la description des représentations non supercuspidales de G(F) lorsque G est un groupe réductif connexe défini, quasi-déployé, et rang semi-simple égal à 1 sur F. Elle fait apparaître trois familles deux à deux disjointes de représentations : les caractères, les représentations de la série principale et celles de la série spéciale. Nous terminons par une classification des modules à droite simples sur la pro-p-algèbre de Hecke-Iwahori H de SL(2,F). On déduit en particulier que l'application qui envoie une représentation lisse modulo p de SL(2,F) sur son espace de vecteurs invariants sous l'action du pro-p-sous-groupe d'Iwahori induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphisme des représentations lisses irréductibles non supersingulières de SL(2,F) et l'ensemble des classes d'isomorphisme des H-modules à droite simples non supersinguliers. Cette bijection s'étend aux objets supersinguliers lorsque l'on suppose que F = Q_{p}, ce qui est de bon augure dans la recherche d'une équivalence de catégories analogue à celle obtenue par Ollivier dans le cadre de la théorie existant pour GL(2, Q_{p}).

Cette thèse étudie deux approches différentes visant à réduire la taille de la clé publique des cryptosystèmes à base de codes correcteurs. Une première idée en ce sens est l'utilisation de familles de codes à haute capacité de correction, comme les codes géométriques. Depuis l'attaque de Sidelnikov et Shestakov, on sait qu'un attaquant peut retrouver la structure d'un code de Reed-Solomon utilisé dans la clé publique. Nous avons réussi à adapter aux courbes hyperelliptiques la méthode d'attaque développée par Minder contre les codes elliptiques. Nous sommes notamment en mesure d'attaquer en temps polynomial le système de Janwa et Moreno développé sur des codes géométriques de genre 2 ou plus. Une seconde idée est l'utilisation de codes correcteurs pour la métrique rang. Celle-ci complique énormément les attaques par décodage, qui ne peuvent plus utiliser une fenêtre d'information pour tenter de décoder. On peut ainsi se prémunir des attaques par décodage en utilisant une clé publique de faible taille. Dans cette optique, nous présentons un cryptosystème à clé publique basé sur le problème de reconstruction de polynômes linéaires. Nous montrons que notre système est rapide, utilise des clés de taille raisonnable, et résiste à toutes les attaques connues dans l'état de l'art.

Nous nous intéressons à un aspect quantitatif du dix-septième problème de Hilbert : construire une famille de polynômes en deux variables, à coefficients réels, de degré 8 en l'une des deux variables qui sont positifs mais ne sont pas somme de trois carrés de fractions rationnelles.<br /><br />Comme expliqué par Huisman et Mahé, un polynôme donné P en deux variables à coefficients réels, totalement positif, unitaire, sans facteur carré et de degré multiple de 4 en l'une des variables est une somme de trois carrés de fractions rationnelles si et seulement si la jacobienne d'une certaine courbe hyperelliptique (associée à P) possède un point ”antineutre”.<br /><br />Grâce à ce critère, et en suivant une méthode de Cassels, Ellison et Pfister, nous résolvons notre problème : à l'aide d'une 2-descente, nous montrons que la jacobienne associée à un certain polynôme positif est de rang de Mordell-Weil nul, puis nous vérifions que cette jacobienne n'a aucun point de torsion antineutre.

Dans le cadre du traitement statistique du signal, la plupart des algorithmes couramment utilisés reposent sur l'utilisation de la matrice de covariance des signaux étudiés. En pratique, ce sont les versions adaptatives de ces traitements, obtenues en estimant la matrice de covariance à l'aide d'échantillons du signal, qui sont utilisés. Ces algorithmes présentent un inconvénient : ils peuvent nécessiter un nombre d'échantillons important pour obtenir de bons résultats. Lorsque la matrice de covariance possède une structure rang faible, le signal peut alors être décomposé en deux sous-espaces orthogonaux. Les projecteurs orthogonaux sur chacun de ces sous espaces peuvent alors être construits, permettant de développer des méthodes dites rang faible. Les versions adaptatives de ces méthodes atteignent des performances équivalentes à celles des traitements classiques tout en réduisant significativement le nombre d'échantillons nécessaire. Par ailleurs, l'accroissement de la taille des données ne fait que renforcer l'intérêt de ce type de méthode. Cependant, cet accroissement s'accompagne souvent d'un accroissement du nombre de dimensions du système. Deux types d'approches peuvent être envisagées pour traiter ces données : les méthodes vectorielles et les méthodes tensorielles. Les méthodes vectorielles consistent à mettre les données sous forme de vecteurs pour ensuite appliquer les traitements classiques. Cependant, lors de la mise sous forme de vecteur, la structure des données est perdue ce qui peut entraîner une dégradation des performances et/ou un manque de robustesse. Les méthodes tensorielles permettent d'éviter cet écueil. Dans ce cas, la structure est préservée en mettant les données sous forme de tenseurs, qui peuvent ensuite être traités à l'aide de l'algèbre multilinéaire. Ces méthodes sont plus complexes à utiliser puisqu'elles nécessitent d'adapter les algorithmes classiques à ce nouveau contexte. En particulier, l'extension des méthodes rang faible au cas tensoriel nécessite l'utilisation d'une décomposition tensorielle orthogonale. Le but de cette thèse est de proposer et d'étudier des algorithmes rang faible pour des modèles tensoriels. Les contributions de cette thèse se concentrent autour de trois axes. Un premier aspect concerne le calcul des performances théoriques d'un algorithme MUSIC tensoriel basé sur la Higher Order Singular Value Decomposition (HOSVD) et appliqué à un modèle de sources polarisées. La deuxième partie concerne le développement de filtres rang faible et de détecteurs rang faible dans un contexte tensoriel. Ce travail s'appuie sur une nouvelle définition de tenseur rang faible et sur une nouvelle décomposition tensorielle associée : l'Alternative Unfolding HOSVD (AU-HOSVD). La dernière partie de ce travail illustre l'intérêt de l'approche tensorielle basée sur l'AU-HOSVD, en appliquant ces algorithmes à configuration radar particulière: le Traitement Spatio-Temporel Adaptatif ou Space-Time Adaptive Process (STAP).

Les conflits de rang sont en France aux XVIIème et XVIIIème siècle une source abondante de contentieux. Si leur dimension sociale et symbolique a été étudiée, leur dimension juridique a moins retenu l’attention. Une approche phénoménologique des rangs, des préséances, des hiérarchies, des conflits dont ils sont l’occasion et de leurs voies de règlement en montrent la nature conflictuelle, juridique et judiciaire. A l’examen, les cérémonies et les actes où s’exprime la puissance publique (audiences publiques des souverains, lits de justice, entrées royales et principales cérémonies de l’information), révèlent le caractère constitutionnel avant la lettre de cette matière, la perméabilité entretenue entre le signe de l’autorité, que l’on peut résumer par le rang, et l’autorité elle-même. En regard, les éléments de doctrine contemporains, pour précieux qu’ils soient, laissent perplexe. Pauvre ou silencieuse, la doctrine semble pécher par prudence. L’autorité du précédent y est tacitement reconnue tandis que la puissance discrétionnaire d’un souverain démiurge indiscrètement exaltée. Cependant, l’époque n’est pas pour autant privée de toute pensée des rangs adéquate à son objet. La littérature contemporaine montre que la hiérarchie constitue pour le public cultivé de l’époque un schème fondamental, une structure implicite du discours. Ce que la doctrine s’efforce de taire et que les sources contemporaines révèlent est le travail concurrent de deux matrices à l’oeuvre dans l’Etat royal à l’âge classique, la contradiction croissante entre la souveraineté et la hiérarchie. / Conflicts of rank in France in the 17th and 18th centuries were an abundant source of litigation. If their social and symbolic dimensions have already been studied, their legal dimension has attracted less attention. A phenomenological approach to ranks, precedencies, and hierarchies, as well as their ensuing conflicts and subsequent outcomes reveal their contentious, legal and judicial character. Upon examination, the ceremonies and acts during which public authority (the sovereigns' public audiences, parliamentary sessions presided over by the king, royal entrances, and the main ceremonies of information) expressed itself reveal a constitutional character before the very existence of such a document, as well as the permeability maintained between the sign of authority - as assumed by rank - and the authority itself. On the other hand, the elements of contemporary doctrine, as precious as they may be, remain perplexing. Poor or lacking, doctrine seems to be exceedingly cautious. The authority of the precedent is tacitly recognized whereas the demiurge sovereign's discretionary power indiscreetly exalted. However, the era was hardly lacking in any adequate thought as to ranks. The contemporary literature shows that the hierarchy constituted a fundamental scheme or an implicit structure of discourse for the educated public at the time. What doctrine seeks to silence and what contemporary sources reveal is the competition of two matrices at work in the royal State of the Classical Age, the growing contradiction between sovereignty and hierarchy.

Cette thèse est consacrée à l’étude des rangs matriciels et tensoriels des données multidimensionnelles, et au développement de méthodes d’estimation de ces rangs dans le cadre de la transformée en ondelettes. Pour cette étude, nous avons eu re-cours à la décomposition en paquets d’ondelettes et à l’algèbre multilinéaire. Une méthode d’optimisation stochastique bio-inspirée a été adaptée, avec pour objectif final de supprimer le bruit dans des images multidimensionnelles. Pour cela nous avons estimé les différentes valeurs des dimensions du sous-espace de tenseur pour tous les modes des coefficients des paquets d’ondelettes. Nous avons appliqué les méthodes de débruitage proposées à diverses images multidimensionnelles : images RGB, images multispectrales extraites d’images hyperspectrales de pièces métalliques, images par fluorescence des plantes, et images RX multispectrales. Finalement, une étude comparative a été réalisée avec trois principaux types d’algorithmes : d’une part, la méthode de Perona-Malik basée sur la diffusion ; deuxièmement, la troncature de HOSVD (Higher-Order Singular Value Decomposition) et MWF (Multiway Wiener Filtering) et troisièmement, un procédé basé sur la dé- composition en paquets d’ondelettes et MWF (Multiway Wiener Filtering), où les dimensions du sous-espace de signal sont estimées par un critère statistique plutôt que par une méthode d’optimisation. Les résultats sont prometteurs en termes de débruitage en réalité terrain. En définitive, nous aboutissons à un gain de temps avantageux durant le traitement des images hyperspectrales. / This thesis is devoted to study matrix and tensor ranks of multidimensional signalsand to the development of methods for estimating these ranks in the frameworkof the wavelet transform. For this study, we used the wavelet packet decompositionand the multilinear algebra. A bio-inspired stochastic optimization methodhas been adapted, with the ultimate objective of suppressing noise in multidimensionalimages. In order to ensure this, we have estimated the different values ofthe dimensions of the tensor subspace for all the modes of the coefficients of thewavelet packets.We have applied the proposed denoising methods to various multidimensionalimages: RGB images, multispectral images extracted from hyperspectralimages of metal parts, plant fluorescence images, and multispectral RX images.Finally, a comparative study was carried out with three main types of algorithms: onthe one hand, the Perona-Malik method based on diffusion; Second, the truncationof HOSVD and MWF, and thirdly, a method based on wavelet packet decompositionand MWF, where the dimensions of the signal subspace are estimated by a statisticalcriterion rather than by an optimization method. The results are promising in termsof denoising in grund truth. Ultimately, we achieve an advantageous time savingduring the acquisition of hyperspectral images.

On s'intéresse dans cette thèse à la complexité bilinéaire de la multiplication dans toute extension de degré $n$ d'un corps $F_{q}$ à $q$ éléments, qui est étroitement liée au rang de tenseur de la multiplication dans $F_{q^n}$. L'algorithme de type évaluation-interpolation, introduit par D.V et G.V Chudnovsky en 1987, est à la base des techniques algorithmiques fournissant actuellement les meilleures bornes uniformes et asymptotiques de la complexité bilinéaire. Pour obtenir ces meilleures bornes, la stratégie adoptée jusqu'à présent consistait à fixer le degré des places en augmentant le genre du corps de fonctions algébriques.Néanmoins, l'étude de la construction effective associée à ce type de stratégie fut jusqu'à présent négligée en raison d'un obstacle, lié à la construction du point de degré $n$, relevé par Shparlinski, Tsfasman et Vladut en 1992.On présente dans cette thèse une nouvelle stratégie qui consiste à fixer le genre du corps de fonctions algébriques tout en augmentant le degré des places.En appliquant cette stratégie aux corps de fonctions elliptiques, on montre d'une part que le rang de tenseur de la multiplication dans $F_{q^n}$ est quasi-linéaire en $n$, et d'autre part que la construction des algorithmes de multiplications bilinéaires issus de cette stratégie est réalisable en temps polynomial. On montre également comment construire explicitement ces algorithmes sur $F_{q^n}$, en les illustrant par un exemple. Enfin, on établit la première construction asymétrique de l'algorithme de type Chudnovsky. / In this thesis, we focus on the bilinear complexity of multiplication in any degree $n$ extension of the finite field $ F_{q}$, which is closely related to the tensor rank of multiplication in $ F_{q^n} $. The evaluation-interpolation type algorithm introduced by D.V and G.V Chudnovsky in 1987, is the basis of all algorithmic technique providing for now, the lower asymptotic and uniform bounds for the bilinear complexity.So far, the strategy to obtain these lower bounds was to fix the degree of places while increasing the genus of algebraic function fields. However, the study of the effective construction associated with this kind of strategy was until now neglected because of an obstacle related to the construction of a degree $n$ point, identified par Shparlinski, Tsfasman and Vladut in 1992. We present a new strategy which consists in fixing the genus of algebraic function fields while increasing the degree of places. Applying this strategy to the elliptic function fields, we show on the one hand that the tensor rank of multiplication in $ F_{q^n} $ is quasi-linear in $ n $, and on the other hand we prove that the construction of bilinear multiplication algorithms with this strategy is feasible in polynomial time. We also show how to construct explicitly these algorithms over $ F_{q^n} $ for large $n$ by illustrating the construction with an example. Finally, we establish the first asymmetric construction of the Chudnovsky type algorithm.

In this work, the fast evaluation and reconstruction of multivariate trigonometric polynomials with frequencies supported on arbitrary index sets of finite cardinality is considered, where rank-1 lattices are used as spatial discretizations. The approximation of multivariate smooth periodic functions by trigonometric polynomials is studied, based on a one-dimensional FFT applied to function samples. The smoothness of the functions is characterized via the decay of their Fourier coefficients, and various estimates for sampling errors are shown, complemented by numerical tests for up to 25 dimensions. In addition, the special case of perturbed rank-1 lattice nodes is considered, and a fast Taylor expansion based approximation method is developed. One main contribution is the transfer of the methods to the non-periodic case. Multivariate algebraic polynomials in Chebyshev form are used as ansatz functions and rank-1 Chebyshev lattices as spatial discretizations. This strategy allows for using fast algorithms based on a one-dimensional DCT. The smoothness of a function can be characterized via the decay of its Chebyshev coefficients. From this point of view, estimates for sampling errors are shown as well as numerical tests for up to 25 dimensions. A further main contribution is the development of a high-dimensional sparse FFT method based on rank-1 lattice sampling, which allows for determining unknown frequency locations belonging to the approximately largest Fourier or Chebyshev coefficients of a function. / In dieser Arbeit wird die schnelle Auswertung und Rekonstruktion multivariater trigonometrischer Polynome mit Frequenzen aus beliebigen Indexmengen endlicher Kardinalität betrachtet, wobei Rang-1-Gitter (rank-1 lattices) als Diskretisierung im Ortsbereich verwendet werden. Die Approximation multivariater glatter periodischer Funktionen durch trigonometrische Polynome wird untersucht, wobei Approximanten mittels einer eindimensionalen FFT (schnellen Fourier-Transformation) angewandt auf Funktionswerte ermittelt werden. Die Glattheit von Funktionen wird durch den Abfall ihrer Fourier-Koeffizienten charakterisiert und mehrere Abschätzungen für den Abtastfehler werden gezeigt, ergänzt durch numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Zusätzlich wird der Spezialfall gestörter Rang-1-Gitter-Knoten betrachtet, und es wird eine schnelle Approximationsmethode basierend auf Taylorentwicklung vorgestellt. Ein wichtiger Beitrag dieser Arbeit ist die Übertragung der Methoden vom periodischen auf den nicht-periodischen Fall. Multivariate algebraische Polynome in Chebyshev-Form werden als Ansatzfunktionen verwendet und sogenannte Rang-1-Chebyshev-Gitter als Diskretisierungen im Ortsbereich. Diese Strategie ermöglicht die Verwendung schneller Algorithmen basierend auf einer eindimensionalen DCT (diskreten Kosinustransformation). Die Glattheit von Funktionen kann durch den Abfall ihrer Chebyshev-Koeffizienten charakterisiert werden. Unter diesem Gesichtspunkt werden Abschätzungen für Abtastfehler gezeigt sowie numerische Tests für bis zu 25 Raumdimensionen. Ein weiterer wichtiger Beitrag ist die Entwicklung einer Methode zur Berechnung einer hochdimensionalen dünnbesetzten FFT basierend auf Abtastwerten an Rang-1-Gittern, wobei diese Methode die Bestimmung unbekannter Frequenzen ermöglicht, welche zu den näherungsweise größten Fourier- oder Chebyshev-Koeffizienten einer Funktion gehören.