Diss.--Economics--University of Turku, 1993. / Bibliogr. p. 86-92.

Cette these est dedie a l'etude dynamique des applications rationnelles des espaces projectifs. Elle se decompose en 5 chapitres. Le premier traite de problemes locaux et presente la classification analytique et formelle d'une classe de germes super-attractifs. Dans la deuxieme partie est demontre que le courant de Green d'une application rationnelle quelconque n'a de singularites importantes qu'aux points d'indetermination de l'application. Dans la troisieme partie le cas particulier des applications sur les espaces multi-projectifs en dimension deux est traite. Dans la quatrieme partie, on demontre un theoreme optimal pour la convergence des preimages d'une courbe vers le courant de Green, ce dans le cas des applications birationnelles du plan. Enfin la derniere partie est dedie a l'etude de quelques exemples.

Thèse (de maîtrise)--Université Laval, 2002. / Bibliogr.: f. 37-38. Publié aussi en version électronique.

Diss.--Wirtschaft--Essen--Univ., 1995. / Notes bibliogr. Bibliogr p. 181-194.

On réfléchit à une façon de déterminer une fraction rationnelle postcritiquement finie à conjugaison par une transformation de Möbius près, à l'aide de graphes planaires finis munis de la dynamique de l'application. Étant donné une telle fraction rationnelle f, on définit un ensemble G(f) de classes d'équivalences de graphes admissibles (des graphes planaires finis invariants, connexes, qui contiennent l'ensemble postcritique de f). On montre que si G(f) est non vide, alors f et g sont conjuguées par une transformation de Möbius si et seulement si l'intersection entre G(f) et G(g) est non vide. Cela nous amène à réfléchir à la construction de graphes admissibles pour une fraction rationnelle postcritiquement finie. On montre qu'une intersection non vide entre les bords de deux composantes de Fatou périodiques contient au moins un point périodique. On construit des graphes admissibles pour certains éléments de la famille des fractions rationnelles quadratiques dont l'un des deux points critiques est l'image de l'autre, avec des techniques utilisables dans de nombreuses autres familles. / We think of a way to determine a postcritically finite rational map up to Möbius conjugacy, using planar finite graphs fitted with the dynamics of themap. Givensuch a rational map f, we define a set G(f)of equivalence classes of admissible graphs (invariant, connected planar finite graphs containing the postcritical set). We show that if G(f) is non-empty, then f and g are Möbius conjugate if and only if G(f)nG(g) unequal Ø. This leads us to think about the construction of admissible graphs for a postcritically finite rational map. We show that a non-empty intersection between the boundaries of two periodic Fatou components contains at least one periodic point. We construct admissible graphs for some elements of the family of quadratic rational maps whose one of the two critical points is the image of the other, with technics usable in a lot of other families.

Les applications rationnelles sont des objets fondamentaux en géométrie algébrique. Elles sont utilisées pour décrire certains objets géométriques, tels que la représentation paramétrique d'une variété algébrique rationnelle. Plus récemment, les applications rationnelles sont apparues dans des contextes d'informatique pour l'ingénierie, dans le domaine de la modélisation de formes, en utilisant des méthodes de conception assistée par ordinateur pour les courbes et les surfaces. Des paramétrisations des courbes et des surfaces sont utilisées de manière intensive afin décrire des objets dans la modélisation géométrique, tel que structures des voitures, des avions. Par conséquent, l'étude des applications rationnelles est d'intérêt théorique dans la géométrie algébrique et l'algèbre commutative, et d'une importance pratique dans la modélisation géométrique. Ma thèse étudie les images et les fibres des applications rationnelles en relation avec les équations des algèbres de Rees et des algèbres symétriques. Dans la modélisation géométrique, il est important d'avoir une connaissance détaillée des propriétés géométriques de l'objet et de la représentation paramétrique avec lesquels on travaille. La question de savoir combien de fois le même point est peint (c'est-à-dire, correspond à des valeurs distinctes du paramètre), ne concerne pas seulement la variété elle-même, mais également la paramétrisation. Il est utile pour les applications de déterminer les singularités des paramétrisations. Dans les chapitres 2 et 3, on étudie des fibres d'une application rationnelle de P^m dans P^n qui est génériquement finie sur son image. Une telle application est définie par un ensemble ordonné de (n+1) polynômes homogènes de même degré d. Plus précisément, dans le chapitre 2, nous traiterons le cas des paramétrisations de surfaces rationnelles de P^2 dans P^3, et y donnons une borne quadratique en d pour le nombre de fibres de dimension 1 de la projection canonique de son graphe sur son image. Nous déduisons ce résultat d'une étude de la différence du degré initial entre les puissances ordinaires et les puissances saturées. Dans le chapitre 3, on affine et généralise les résultats sur les fibres du chapitre précédent. Plus généralement, nous établissons une borne linéaire en d pour le nombre de fibres (m-1)-dimensionnelles de la projection canonique de son graphe sur son image, en utilisant des idéaux de mineurs de la matrice jacobienne.Dans le chapitre 4, nous considérons des applications rationnelles dont la source est le produit de deux espaces projectifs.Notre principal objectif est d'étudier les critères de birationalité pour ces applications. Tout d'abord, un critère général est donné en termes du rang d'une couple de matrices connues sous le nom "matrices jacobiennes duales". Ensuite, nous nous concentrons sur des applications rationnelles de P^1 x P^1 vers P^2 en bidegré bas et fournissons de nouveaux critères de birationalité en analysant les syzygies des équations de définition de l'application; en particulier en examinant la dimension de certaines parties bigraduées du module de syzygies. Enfin, les applications de nos résultats au contexte de la modélisation géométrique sont discutées à la fin du chapitre. / Rational maps are fundamental objects in algebraic geometry. They are used to describe some geometric objects,such as parametric representation of rational algebraic varieties. Lately, rational maps appeared in computer-engineering contexts, mostly applied to shape modeling using computer-aided design methods for curves and surfaces. Parameterized algebraic curves and surfaces are used intensively to describe objects in geometric modeling, such as car bodies, airplanes.Therefore, the study of rational maps is of theoretical interest in algebraic geometry and commutative algebra, and of practical importance in geometric modeling. My thesis studies images and fibers of rational maps in relation with the equations of the symmetric and Rees algebras. In geometric modeling, it is of vital importance to have a detailed knowledge of the geometry of the object and of the parametric representation with which one is working. The question of how many times is the same point being painted (i.e., corresponds to distinct values of parameter), depends not only on the variety itself, but also on the parameterization. It is of interest for applications to determine the singularities of the parameterizations. In the chapters 2 and 3, we study the fibers of a rational map from P^m to P^nthat is generically finite onto its image. More precisely, in the second chapter, we will treat the case of parameterizations of algebraic rational surfaces. In this case, we give a quadratic bound in the degree of the defining equations for the number of one-dimensional fibers of the canonical projection of the graph of $\phi$ onto its image,by studying of the difference between the initial degree of ordinary and saturated powers of the base ideal. In the third chapter, we refine and generalize the results on fibers of the previous chapter.More generally, we establish a linear bound in the degree of the defining equations for the number of (m-1)-dimensional fibers of the canonical projection of its graph onto its image, by using ideals of minors of the Jacobian matrix.In the fourth chapter, we consider rational maps whose source is a product of two subvarieties, each one being embedded in a projective space. Our main objective is to investigate birationality criteria for such maps. First, a general criterion is given in terms of the rank of a couple of matrices that came to be known as "Jacobian dual matrices". Then, we focus on rational maps from P^1 x P^1 to P^2 in very low bidegrees and provide new matrix-based birationality criteria by analyzing the syzygies of the defining equations of the map, in particular by looking at the dimension of certain bigraded parts of the syzygy module. Finally, applications of our results to the context of geometric modeling are discussed at the end of the chapter.

L’objet de cette thèse concerne les propriétés du groupe symétrique à travers deux problèmes. Le premier consiste à étudier l’action du groupe symétrique sur la fraction (...). En appliquant certaines opérations sur les graphes et les cartes, nous donnons des algorithmes et des formules combinatoires pour déterminer complètement la fraction réduite suivante : (...). L’auteur C. Greene a introduit cette fraction rationnelle pour généraliser des identités liées a la règle de Murnaghan-Nakayama. Nous utilisons (...) pour établir un nouvel algorithme de décomposition en éléments simples à l’aide des graphes. Dans la seconde partie, nous cherchons a développer les puissances paires du Vandermonde au moyen de fonctions symétriques. En particulier, nous proposons une écriture hyperdéterminantale des coefficients du développement des puissances paires du Vandermonde dans la base des fonctions de Schur. Nous obtenons plusieurs identités reliant les puissances paires du Vandermonde et les polynômes de Jack. Puis nous introduisons une q-déformation des puissances paires du Vandermonde que nous exprimons grâce aux polynômes de Macdonald / The main purpose of this document is the symmetric group. In particular, we study the two following problems. First, the symmetric group acts naturally on the rational function (…), by permuting the variables. With the help of some operations on the graphs, we give algorithms and combinatorial formulas allowing us to compute the reduced fraction (…). The author C. Greene has introduced these rational functions in the aim to generalize some identities related to the Murnaghan-Nakayama rules. We use these properties to give an original algorithm to perform partial decompositions of fractions with the help of graphs. In the second problem, we study the expansion of the even powers of the Vandermonde in several basis of symmetric functions. In this part, we give identities between symmetric functions and hyperdeterminants and we use them to obtain an hyperdeterminental expression of the coefficients in Schur’s basis. We investigate also the relation between the even powers of the Vandermonde and Jack’s functions. Finally, we introduce a q-deformation of the even powers of the Vandermonde and we relate it to some specialisations of Macdonald’s polynomials

Dans l'espace $\mathcal{M}_d$ des modules des fractions rationnelles de degré $d$, le lieu de bifurcation est le support d'un $(1,1)$-courant positif fermé $T_{\textup{bif}}$ appelé \emph{courant de bifurcation}. Ce courant induit une mesure $\mu_{\textup{bif}}=(T_{\textup{bif}})^{2d-2}$ dont le support est le siége de bifurcations maximales. Notre principal résultat est que le support de $\mu_{\textup{bif}}$ est de dimension de Hausdorff totale $2(2d-2)$. Il s'ensuit que l'ensemble des fractions rationnelles de degré $d$ possédant $2d-2$ cycles neutres distincts est dense dans un ensemble de dimension de Hausdorff totale. Remarquons que jusqu'alors, seule l'existence de telles fractions rationnelles (Shishikura) était connue. Mentionnons que pour notre démonstration, nous établissons au préalable que les fractions rationnelles $(2d-2)$-Misiurewicz appartiennent au support de $\mu_{\textup{bif}}$. \par Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thése, traite de l'espace $\mathcal{M}_2$. Nous montrons que, dans ce cas, le courant $T_{\textup{bif}}$ se prolonge naturellement á $\p^2$ en un $(1,1)$-courant positif fermé dont nous calculons les nombres de Lelong. Nous montrons aussi que le support de la mesure $\mu_{\textup{bif}}$ est non-borné dans $\mathcal{M}_2$.

Ce mémoire d'habilitation présente des travaux qui développent une approche matricielle de la théorie de l'élimination et l'illustrent au travers d'applications à la modélisation géométrique. Cette approche matricielle, qui correspond essentiellement à un changement de représentation, permet de livrer des problèmes géométriques à la puissance des algorithmes d'algèbre linéaire numérique. Le premier chapitre traite de la représentation matricielle implicite d'une hypersurface rationnelle dans un espace projectif et propose une nouvelle méthode pour traiter le problème d'intersection entre une courbe et une surface rationnelles dans l'espace projectif de dimension trois. Le deuxième chapitre propose une représentation matricielle implicite d'une courbe rationnelle dans un espace projectif de dimension arbitraire, représentation qui est illustrée par un algorithme répondant au problème d'intersection entre deux courbes rationnelles. Le dernier chapitre est dédié à une approche matricielle du test d'irréductibilité de Ruppert qui conduit au raffinement du dénombrement des fibres réductibles dans un pinceau d'hypersurfaces algébriques génériquement irréductible.

Dans cette thèse, on étudie comment la positivité du fibré tangent d'une variété projective complexe infl uence la géométrie de la variété sous-jacente. Dans la première partie, on étudie les variétés (principalement les surfaces) dont le fibré tangent est pseudo-effectif. Dans la deuxième partie on montre que pour un entier strictement positif p, si la puissance tensorielle p-ème du fibré tangent d'une variété projective contient la puissance p-ème d'un fibré en droites ample, alors la variété est isomorphe à un espace projectif ou à une quadrique.