The thesis consists of three papers of the author. In the first paper, it is shown that the sets of Fréchet subdifferentiability of Lipschitz functions on a Banach space X are Borel if and only if X is reflexive. This answers a ques- tion of L. Zajíček. In the second paper, a problem of G. Debs, G. Godefroy and J. Saint Raymond is solved. On every separable non-reflexive Banach space, equivalent strictly convex norms with the set of norm-attaining func- tionals of arbitrarily high Borel class are constructed. In the last paper, binormality, a separation property of the norm and weak topologies of a Ba- nach space, is studied. A result of P. Holický is generalized. It is shown that every Banach space which belongs to a P-class is binormal. It is also shown that the asplundness of a Banach space is equivalent to a related separation property of its dual space. 1

Die vorliegende Arbeit ist ein Beitrag auf dem Gebiet der theoretischen Chemie und beschäftigt sich mit der Entwicklung effizienter Berechnungsmethoden für die Elektronendichte und die Energie des Grundzustands molekularer und periodischer Systeme im Rahmen der Kohn-Sham-Dichtefunktionaltheorie (Kohn-Sham-DFT) und unter Verwendung von lokalen Basisfunktionen. Im Vordergrund steht dabei die einheitliche Beschreibung von Molekülen und ausgedehnten Systemen beliebiger Periodizität (zum Beispiel Volumenkristalle, dünne Filme und Polymere) mit einfachen Algorithmen bei einem hohen Maß an numerischer Genauigkeit und Recheneffizienz. Dafür hat der Verfasser bewährte molekulare Simulationsmethoden in neuartiger Form auf periodische Randbedingungen erweitert und zu einer vollständigen DFT-Methode vereint. Von diesen Methoden ist das völlig neue Konzept für die RI-Methode (resolution of identity, Zerlegung der Einheit), die auf den Coulomb-Term angewendet wird, die Schlüsseltechnologie in dieser Arbeit. Ein Merkmal der Methode ist, dass sie ausschließlich im direkten Raum arbeitet. Neben der RI-Methode wurden weitere methodische Ansätze entwickelt werden, um eine gute Speicher- und Zeiteffizienz der gesamten DFT-Methode zu gewährleisten. Dazu gehören die Komprimierung der speicherintensiven Dichte- und Kohn-Sham-Matrizes und die numerische Integration des Austausch-Korrelationsterms durch die Anwendung eines adaptiven, numerischen Integrationsschemas. Die vorgestellten Methoden werden zum Prototypen eines RI-DFT-Programms zusammengefügt. Dieses Programm ermöglicht die Berechnung von single point-Energien am Gamma-Punkt für Systeme mit abgeschlossenen Schalen. Anhand von Berechnungen werden die numerische Genauigkeit und Effizienz bewertet. Das Programm bildet die Basis für ein effizientes und leistungsfähiges DFT-Programm, das Moleküle und periodische Systeme methodisch einheitlich und numerisch genau behandelt. / This work contributes to the field of theoretical chemistry and is aimed at the development of efficient methods for computation of the electron density and the energy belonging to the ground state of molecular and periodic systems. It is based on the use of Kohn Sham density functional theory (Kohn Sham DFT) and local basis functions. In this scope, the molecular and the periodic systems of any dimensionality (e.g., bulk crystals, thin films, and polymers) are treated on an equal footing using methods which are easy to implement, numerically accurate, and highly efficient. For this, the author has augmented established methods of molecular simulations for their use with periodic boundary conditions applying novel techniques. These methods have been combined to a complete DFT method. Among these methods, the innovative approach for the RI (resolution of identity) method applied to the Coulomb term represents the key technology of this work. As a striking feature, this approach operates exclusively in real space. Although the RI method is the chief ingredient, the development of further methods is required to achieve overall efficiency for the consumption of storage and time. One of these methods is used to compress the density and Kohn Sham matrices. Moreover, numerical integration of the exchange-correlation term has been improved applying an adaptive numerical integration scheme. The methods presented in this thesis are combined to the prototype of an RI-DFT program. Using this program single point energies on the gamma point can be calculated for systems with closed shells. Calculations have been performed and the results are used to assess the accuracy and efficiency achieved. This program forms the foundation of an efficient and competitive DFT code. It works numerically accurate and treats molecules and periodic systems on an equal footing.

Capítulo 1. Después de estudiar algunos preliminares sobre familias adecuadas de conjuntos, formulamos y probamos algunas equivalencias, cada una de ellas son una condición suficiente para que la familia defina un conjunto compacto de Gul'ko. Damos una caracterización de conjunto compacto de Gul'ko en términos de emparejamiento con un conjunto $\mathcal{K}$-analítico. Capítulo 2. Estudiamos propiedades de los espacios de Banach débilmente Lindelöf determinados no-separables. Damos una caracterización por medio de la existencia de un generador proyeccional full sobre él. Estudiamos algunos aspectos sobre sistemas biortogonales en espacios de Banach. Usando técnicas de resoluciones proyeccionales de la identidad, probamos una extensión de un resultado de Argyros y Mercourakis. Capítulo 3. En el espacio $(c_0(\Gamma),\|\cdot\|_\infty)$, con $\Gamma\in\mathbb{R}$, damos una norma equivalente estrictamente convexa. Capítulo 4. Consideramos una caracterización de los subespacios de espacios de Banach débilmente compactamente generados, en términos de una propiedad de cubrimiento de la bola unidad por medio de conjuntos $\epsilon$-débilmente compactos. Reemplazamos este concepto por otro más preciso que llamamos $\epsilon$-débilmente auto-compactos, este concepto permite una mejor descripción. Capítulo 5. Damos condiciones intrínsecas, necesarias y suficientes para que un espacio de Banach sea generado por $c_0(\Gamma)$ o $\ell_p(\Gamma)$ para $p\in(1,+\infty)$. Ofrecemos una nueva demostración de un resultado de Rosenthal, sobre operadores de $c_0(\Gamma)$ en un espacio de Banach. / González Correa, AL. (2008). Compacta in Banach spaces [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/8312