Nous faisons dans la première partie de ce document l'analyse de dispersion d un modèle linéaire de shallow-water. Notre étude est basée sur l analyse de Fourier. Le schéma temporel utilisé est celui d' Adams-Bashforth à trois pas. La discrétisation en espace est faite avec les paires d'éléments finis P₁NC - P₁ et RT₀ . La relation de dispersion obtenue avec chacune de ces deux paires d éléments finis permet de représenter graphiquemen le module des racines et de faire une étude de stabilité. Nous présentons dans la deuxième partie un théorème d'existence de solution d un modèle 2-D de sédimentation couplant un système de Saint-Venant avec une équation de transport de sédiments. Cette partie est composée de deux chapitres. Dans le premier chapitre on établit le modèle couplé. On intègre les équations tridimensionnelles de Navier-Stokes sur la hauteur de la colonne d '~au tenant compte d 'une bathymétrie variable en espace et en temps. Ceci nous permet d 'obtenir la partie Saint-Venant du modèle. Une équation de transport de sédiments relative à la bathymétrie sera couplée au système de Saint-Venant obtenu. Dans le chapitre 4 nous démontrons un t héorème d 'existence de solution du modèle couplé. La résolution théorique du modèle couplé se fait en posant le problème dans des espaces de dimension finie. Puis nous résolvons le problème de dimension finie associé en utilisant un théorème de point fixe de Brouwer. Enfin, nous montrons que les limites des suites de solutions du problème de dimension finie satisfont les équations du modèle couplé initial. Une étude numérique d'un modèle couplé plus général que celui présenté théoriquement dans les chapitres 3 et 4 est faite au chapitre 5. les schémas discrets en temps d'Euler implicite et de Crank Nicholson sont utilisés et trois triplets d'éléments finis sont explorés dans cette partie numérique. Il s'agit des triplets suivants: P₁ - P₁ - P₁ ' P₂ - P₁ - P₁ et MINI - P₁·

Dans ce travail on s'intéresse à la résolution des équations de Saint -Venant par la méthode des éléments finis. Deux tests numériques sont présentés en utilisant deux paires d 'éléments finis : P₁NC - P₁ et RT0 - P₀. Lorsque le systèrne d'équations de Saint-Venant admet une solution analytique, cette solution est comparée avec celle obtenue par la méthode numérique pour montrer la robustesse de ces éléments finis.

La modélisation des écoulements en milieux naturels tels que les rivières, les lacs et les océans, fait souvent intervenir un système d'équations aux dérivées partielles dit de Saint-Venant. La plupart des méthodes numériques utilisées pour résoudre les équations de Saint-Venant générent des modes purement numériques en approximant les ondes de type inertie-gravité. Les modes parasites les plus dangereux sont les modes stationnaires. Ils conduisent généralement à des solutions erronées. Ce travail propose une étude des modes stationnaires résultants de la discrétisation des équations de Saint-Venant par des méthodes aux différences finies et d'éléments finis. Nous privilégions une approche de type algèbre linéaire au lieu de celle de type Fourier largement utilisée. Nous introduisons une nouvelle nomenclature des modes parasites qui dépasse largement celle utilisée jusqu'à présent et généralement restreinte aux seuls modes parasites pression. Enfin l'approche de type algèbre linéaire utilisée ici nous permet de tirer quelques conclusions préliminaires quant à la manifestation des modes parasites sur des maillages non structurés.

Cette thèse est consacrée à la modélisation mathématique du flux sanguin dans les artères en présence de la sténose à cause de l'athérosclérose. L'athérosclérose est une maladie vasculaire complexe caractérisée par la formation d'une plaque menant au rétrécissement de l'artère. Elle est responsable des crises cardiaques et des accidents vasculaires cérébraux. Quels que soient les nombreux facteurs de risque identifiés - cholestérol et lipides, pression, régime alimentaire malsain et obésité - seuls des facteurs mécaniques et hémodynamiques peuvent donner une cause précise de cette maladie. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le modèle mathématique tridimensionnel décrivant l'introduction entre le sang et la paroi artérielle. Le modèle consiste à coupler la dynamique du flux sanguin donnée par les équations de Navier-Stokes formulées dans le cadre Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) avec les équations élastodynamiques décrivant l'élasticité de la paroi artérielle considérée comme un matériau hyperélastique modélisé par la loi de comportement non-linéaire de Saint Venant-Kirchhoff en tant que système d'interaction fluide-structure. Théoriquement, nous prouvons l'existence et l'unicité locale dans le temps de la solution pour ce système lorsque le fluide est supposé être un fluide homogène Newtonien incompressible et que la structure est décrite par la loi de comportement non-linéaire quasi-incompressible de Saint Venant-Kirchhoff. Les résultats sont établis en utilisant l'outil clé; le théorème du point fixe. La deuxième partie est consacrée à l'analyse numérique de ce modèle. Le sang est considéré comme un fluide non-Newtonien dont le comportement et les propriétés rhéologiques sont décrits par le modèle de Carreau, tandis que la paroi artérielle est un matériau homogène incompressible décrit par les équations élastodynamiques quasi-statiques. Les simulations sont effectuées dans l'espace à deux dimensions R^2 à l'aide du logiciel FreeFem ++ en utilisant la méthode des éléments finis. Nous nous concentrons sur l'étude de la viscosité, de la vitesse et des contraintes de cisaillement maximale. En outre, nous visons à localiser les zones de recirculation qui sont formées à la suite de l'existence de la sténose. En se basant sur de ces résultats, nous procédons à la détection de la zone de solidification où le sang passe de l'état liquide à un matériau de type gelée. Ensuite, nous spécifions que le sang solidifié est un matériau élastique linéaire qui obéit à la loi de Hooke et qui subit à une force de surface externe représentant la contrainte exercée par le sang sur la zone de solidification. Les résultats numériques concernant le sang solidifié sont obtenus en résolvant les équations d'élasticité linéaires à l'aide de FreeFem ++. Nous analysons principalement la déformation de cette zone ainsi que les contraintes de cisaillement la paroi. Les résultats obtenus vont nous permettre de proposer une hypothèse pour la formulation d'un modèle de rupture. / This thesis is devoted to the mathematical modeling of the blood flow in stenosed arteries due to atherosclerosis. Atherosclerosis is a complex vascular disease characterized by the build up of a plaque leading to the narrowing of the artery. It is responsible for heart attacks and strokes. Regardless of the many risk factors that have been identified- cholesterol and lipids, pressure, unhealthy diet and obesity- only mechanical and hemodynamic factors can give a precise cause of this disease. In the first part of the thesis, we introduce the three dimensional mathematical model describing the blood-wall setting. The model consists of coupling the dynamics of the blood flow given by the Navier-Stokes equations formulated in the Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) framework with the elastodynamic equations describing the elasticity of the arterial wall considered as a hyperelastic material modeled by the non-linear Saint Venant-Kirchhoff model as a fluid-structure interaction (FSI) system. Theoretically, we prove local in time existence and uniqueness of solution for this system when the fluid is assumed to be an incompressible Newtonian homogeneous fluid and the structure is described by the quasi-incompressible non-linear Saint Venant-Kirchhoff model. Results are established relying on the key tool; the fixed point theorem. The second part is devoted for the numerical analysis of the FSI model. The blood is considered to be a non-Newtonian fluid whose behavior and rheological properties are described by Carreau model, while the arterial wall is a homogeneous incompressible material described by the quasi-static elastodynamic equations. Simulations are performed in the two dimensional space R^2 using the finite element method (FEM) software FreeFem++. We focus on investigating the pattern of the viscosity, the speed and the maximum shear stress. Further, we aim to locate the recirculation zones which are formed as a consequence of the existence of the stenosis. Based on these results we proceed to detect the solidification zone where the blood transits from liquid state to a jelly-like material. Next, we specify the solidified blood to be a linear elastic material that obeys Hooke's law and which is subjected to an external surface force representing the stress exerted by the blood on the solidification zone. Numerical results concerning the solidified blood are obtained by solving the linear elasticity equations using FreeFem++. Mainly, we analyze the deformation of this zone as well as the wall shear stress. These analyzed results will allow us to give our hypothesis to derive a rupture model.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude d'un modèle de transport de sédiments en nous plaçant sous deux angles d'approche différents. L'un concerne la modélisation numérique du problème et propose une méthode de résolution numérique basée sur un solveur de Riemann approché pour le système de Saint-Venant-Exner qui reste un des systèmes les plus répandus pour traiter le transport sédimentaire par charriage. Ce dernier repose sur un couplage du modèle hydraulique de Saint-Venant et du modèle morphodynamique d'Exner. Le point essentiel de la méthode proposée se situe au niveau du traitement du couplage de ce système. En effet, il existe deux stratégies; la première consiste à découpler la résolution de la partie fluide de la partie solide et les faire interagir à des instants donnés alors que la seconde considère une résolution couplée du système en mettant à jour conjointement les grandeurs hydrauliques et solides aux mêmes instants. Se posera alors la question du choix de la stratégie de résolution pour laquelle nous apporterons des éléments de réponses en comparant les deux approches. L'autre se concentre sur la mise en place d'une méthodologie pour l'étude des incertitudes liées au même modèle. Pour ce faire, nous proposons une formulation stochastique du système de Saint-Venant-Exner et nous cherchons à caractériser la variabilité des sorties par rapport aux paramètres d'entrée naturellement aléatoires. Cette première étude révélera la nécessité de revenir à un système de Saint-Venant avec un fond bruité pour étudier la sensibilité des grandeurs hydrauliques par rapport aux perturbations topographiques. / In this thesis, we are interested on the study of a sediment transport model through two different approaches. One of them concerns the numerical modelling of the problem and proposes a numerical problem-solving method based on an approximate Riemann solver for the Saint-Venant-Exner system which is one of the most common model to deal with sedimentary bed-load transport. This last one is based on a coupling between the hydraulic model of Saint-Venant and the morphodynamic model of Exner. The key point of the proposed method is the treatment of the coupling issue. Indeed, there exists two strategies; the first one consists on decoupling the resolution of the fluid part from the solid part and making them interact at fixed times whereas the second one considers a coupled approach to solve the system by jointly updating the hydraulic and solid quantities at same times. We then raise the issue of the choice of the strategy for which we suggest answers by comparing both approaches. The other one focuses on the development of a methodology to study the uncertainties related to the model previously mentioned. To this end, we propose a stochastic formulation of the Saint-Venant-Exner system and we look for characterizing the variabilities of the outputs in relation to the naturally random input parameters. This first study reveals the need for a return to the Saint-Venant system with a perturbed bed to understand the sensitivity of the hydraulic quantities on the topographical perturbations.

Dans une première partie, nous proposons une méthodologie innovante pour la comparaison d'images en ingénierie de réservoir. L'objectif est de pouvoir comparer des cubes sismiques obtenus par simulation avec ceux observés sur un champ pétrolier, dans le but de construire un modèle représentatif de la réalité. Nous développons une formulation fondée sur du filtrage, de la classification statistique et de la segmentation d'images. Ses performances sont mises en avant sur des cas réalistes. Dans une seconde partie, nous nous intéressons aux méthodes de recalage d'images utilisées en imagerie médicale pour mettre en correspondance des images. Nous introduisons deux nouveaux modèles de recalage fondés sur l'élasticité non linéaire, où les formes sont appréhendées comme des matériaux de type Saint Venant-Kirchhoff et Ciarlet-Geymonat. Nous justifions théoriquement l'existence de solutions ainsi que la résolution numérique. Le potentiel de ces méthodes est illustré sur des images médicales. / In a first part, we propose an innovative methodology for image matching in the context of reservoir simulation. In order to build a model consistent with data collected on the field, we need to evaluate the error between seismic cubes obtained by simulation and seismic cubes acquired in the oil field. Using image processing tools, we develop a new formulation of the error. The application of this new formulation on synthetic reservoir cases demonstrates its efficiency. In a second part, we address the issue of designing two theoretically well-motivated registration models capable of handling large deformations since they are based on nonlinear elasticity. The shape to be matched are viewed as Ciarlet-Geymonat materials for the first model and as Saint-Venant Kirchhoff materials for the second one. We investigate the efficiency of the proposed matching model for the registration of mouse brain gene expression data to a neuroanatomical mouse atlas.

Thesis (MScEng)--Stellenbosch University, 2014. / ENGLISH ABSTRACT: This research project focuses on sanitary sewer systems. When performing an analysis of a sewer drainage system with known constraints, an appropriate model needs to be chosen depending on the objectives of the analysis. Uncertainties are also present in the analysis of sewer drainage systems. The uncertainties and the errors in hydraulic models need to be understood and considered. The required level of accuracy and the type of hydraulic problem that needs to be solved may alter the complexity of the hydraulic model used to solve a drainage system. The wide variety of available simulation models further complicates model selection. With various models available, selecting the most appropriate model for a particular drainage system simulation is important. The various models for sewer drainage system analysis can be categorised in different ways. For example, it is possible to categorise models according to their purpose, which could be evaluation, design or planning. Evaluation models are mainly used to test whether existing systems or planned systems are adequate and require the highest hydraulic detail. Design models are used to determine the size of conduits within a drainage system and require moderate levels of hydraulic detail. Planning models are primarily used for strategic planning and decision making for urban or regional drainage systems and require the least amount of hydraulic detail. An understanding of the available models is required in order to choose the most suitable simulation model for the desired purpose. Some models are derived from the Saint-Venant equations of flow. The most detailed models are typically referred to as fully dynamic wave models and utilise all the components of the Saint-Venant flow equations. By removing terms from the Saint-Venant equations a kinematic wave model can be created. Some less complex models ignore basic principles of hydraulics in order to make assumptions that simplify the process of simulating flows. In this thesis three different models were compared: a detailed model using fully dynamic flow equations, a simplified model using kinematic wave equations and a basic model using contributor hydrograph routing equations. For the drainage system analysis SWMM-EXTRAN was used as the fully dynamic wave model, SWMM-TRANSPORT was used as the kinematic wave model and SEWSAN was used as the contributor hydrograph model. Two drainage systems situated in South Africa were used as case studies and are referred to as Drainage System A and Drainage System B in this thesis. The actual flow rate was recorded at two points with flow loggers, one in each of the two systems. The flow rate was continually recorded at 1 hour intervals for the period 1 July 2010 to 9 July 2010 in Drainage System A as well as in Drainage System B. The same input parameters were used for each model allowing the modelled flow rates to be compared to the measured flow rates. The models provided peak flow results that were within 2% of the measured peak flow rates and the modelled mean flows were within 8.5% of the measured mean flows in most situations. However, when rapidly varied flows occurred the kinematic wave and contributor hydrograph models returned conservative results as they were unable to account for hydraulic effects such as acceleration. The effect of acceleration became most pronounced up and downstream of drop structures and sections where the slope changed considerably. The kinematic wave and contributor hydrograph models were therefore unable to accurately simulate surcharge conditions. The results suggest that the fully dynamic wave model can be used in all scenarios. The kinematic wave model can be used for a design analysis if no hydraulic structures occur in the system. The contributor hydrograph model should not be used for an evaluation analysis, but can be used for a design analysis if a relatively high level of confidence in the parameter set exists and no areas of rapidly varying flow or hydraulic structures exist within the system. / AFRIKAANSE OPSOMMING: Hierdie navorsing projek is gefokus op riool dreineringsisteme. Wanneer ʼn analise van ʼn riool dreineringsisteem met bekende beperkinge onderneem word, moet ʼn geskikte model gekies word afhangende van die doelwitte van die analise. Onbekendes is ook teenwoordig in die analise van riool dreineringsisteme. Dit word belangrik dat die onsekerhede en die foute in hidroliese modelle moet verstaan en oorweeg word. Die verwagte vlak van akkuraatheid en die tipe hidroliese probleem wat opgelos moet word mag die ingewikkeldheid van die hidroliese probleem, wat gebruik word om ʼn rioolsisteem op te los, verander. Die wye verskeidenheid van beskikbare simulasie modelle bemoeilik verder die keuse van ʼn model. Met etlike modelle beskikbaar vir seleksie, is die mees geskikte model vir ʼn spesifieke dreineringsisteem simulasie belangrik. Die verskeie modelle vir riool dreineringsisteem analise kan op verskillende wyses gekategoriseer word. Byvoorbeeld, dit is moontlik om modelle te kategoriseer volgens hulle doel, wat evaluasie, ontwerp en beplanning kan wees. Evaluasiemodelle word hoofsaaklik gebruik om te toets of huidige of beplande sisteme voldoende is en of hulle die hoogs moontlike hidroliese besonderhede benodig. Ontwerpmodelle word gebruik om die grootte van ʼn leipyp binne ʼn rioolsisteem te bepaal en benodig matige vlakke van hidroliese besonderhede. Beplanningsmodelle word hoofsaaklik gebruik vir strategiese beplanning en besluitneming vir stedelike en landelike rioolsisteme en benodig die laagste vlak van hidroliese data. ʼn Begrip van die beskikbare modelle is nodig om ʼn keuse te maak rakende die mees geskikte simulasie model vir die verlangde doelwit. Sommige modelle is afkomstig van die Saint-Venant vergelykings van vloei. Die mees gedetailleerde modelle word tipies na verwys as die volledige dinamiese golf modelle en benut alle komponente van die Saint-Venant vloei vergelykings. Deur die verwydering van terme van die Saint-Venant vergelykings kan ʼn kinematiese golf model daargestel word. Sommige minder gekompliseerde modelle ignoreer die basiese beginsels van hidrologie om aannames te maak wat die proses van golf simulering vereenvoudig. In hierdie tesis is drie verskillende modelle vergelyk; ʼn gedetailleerde model wat volledige dinamiese vloeivergelykings gebruik; ʼn vereenvoudigde model wat kinematiese golfvergelykings gebruik en ʼn basiese model wat bydraende hidroliese versending vergelykings. Vir die dreineringsisteem analise was SWMM-EXTRAN gebruik as die volledige dinamiese golfmodel, SWMM-TRANSPORT was gebruik as die kinetiese golfmodel en SEWSAN was gebruik as die bydraende hidroliese model. Twee dreineringsisteme in Suid-Afrika was gebruik as gevallestudies en word na verwys as Dreineringsisteem A en Dreineringsisteem B. Die werklike vloeikoers was aangeteken by twee punte met vloeimeters, een in elk van die sisteme. Die vloeikoers was deurlopend opgeteken met 1 uur tussenposes vir die periode 1 Julie 2010 tot 9 Julie 2010 in Dreinering Sisteem A sowel as Dreinering Sisteem B. Dieselfde inset parameters was gebruik vir elke model wat dit moontlik gemaak het dat die gemoduleerde vloeikoerse met die gemete vloeikoerse vergelyk kon word. Die modelle het spits vloeiresultate voorsien wat binne 2% van die gemete spits vloeikoerse was en, in die meeste situasies, dat die gemoduleerde gemiddelde vloei binne 8.5% van die gemete gemiddelde vloei was. Wanneer vinnig varierende vloei voorgekom het, die kinetiese golf and bydraende hidrograaf modelle konserwatiewe resultate gelewer het, aangesien hulle nie in staat was om hidroliese effekte soos versnelling te verklaar nie. Die effek van versnelling was op sy duidelikste stroomopwaarts en stroomafwaarts onder valstrukture en by gedeeltes waar die helling aansienlik verander het. Die kinetiese golf en bydraer hidrograaf modelle was gevolglik nie in staat om oorladingsomstandighede akkuraat te simuleer nie. Die resultate wys dat die volledige dinamiese vloeimiddel gebruik kan word in alle omstandighede. Die kinematiese vloeimiddel kan gebruik word vir ʼn ontwerp analise indien geen hidroliese struktuur in die sisteem voorkom nie. Die bydraer hidrograaf model behoort nie gebruik te word vir ʼn evaluerings analise nie, maar kan gebruik word vir ʼn ontwerp analise indien ʼn relatiewe hoë vlak van vertroue in die parameter stel bestaan en geen area van vinnig veranderende vloei of hidroliese strukture binne die sisteem bestaan nie.

Les systèmes méandriformes construisent, à long terme, des architectures sédimentaires composées de corps poreux disséminés dans un volume de sédiments peu perméables. Ces corps sont susceptibles de contenir des ressources naturelles. Afin d'optimiser leur exploitation, il importe d'estimer la répartition et la connectivité de ces corps. À cet effet, Mines-Paristech développe Flumy, un logiciel de modélisation par processus de ces architectures . Cette thèse vise à améliorer la simulation de la migration dans Flumy en introduisant une influence.Pour cela, trois différents modèles ont été reliés entre eux et comparés. Le premier (modèle à pente constante) est celui actuellement en place dans Flumy, héritier des travaux de [Ikeda 1981] et dans lequel la pente de la surface du cours d'eau est constante. Le deuxième (modèle à pente variable) fut proposé par [Lopez 2003]. Il attribue à la surface libre la pente locale de la topographie. Enfin, un dernier modèle (modèle Saint Venant) a été élaboré en modifiant le précédent. L'écoulement moyen, initialement calculé sous une surface libre connue, est désormais obtenu par résolution des équations de Saint Venant sur un fond connu. Ces trois modèles ont été appliqués à la migration à long terme de méandres libres. Les modèles à pente constante et à pente variable ont également été utilisés pour reproduire les méandres confinés de deux rivières canadiennes, la Beaver et la Red Deer.Les résultats montrent un développement plus réaliste des méandres simulés avec le modèle à pente variable que de ceux simulés avec le modèle à pente constante. Cette amélioration est observable dans les méandres isolés (ralentissement de la vitesse d'extension) et dans les trains de méandres (confinement en ceintures de méandres). Le modèle à pente variable permet également une meilleure reproduction de la morphologie des méandres confinés. L'utilisation du modèle Saint Venant apporte les mêmes améliorations dans la simulation des méandres libres, quoique moins prononcées. Il permet surtout de construire une surface libre physique sur une grande variété de fonds, résolvant ainsi une limite identifiée dans le modèle à pente variable.

This analysis is an expansion of research done by Rollin Hotchkiss during his Ph.D work. The research uses fluid flow, sediment transport, and perturbation theory to predict where scour will occur in a variable-width channel. The resulting equations also determine equilibrium scour depth based upon the stream bed elevation derived from a dimensionless bed slope equation. Hotchkiss perturbed the width of the channel using a second order Taylor Series perturbation but neglected second order terms. The present work follows the same procedures as Hotchkiss but maintains the second order terms. The primary purpose is to examine how the additional terms impact the final equilibrium scour depth and location results. The results of this research show a slight variation from the previous work. With respect to a hypothetical case, there was not a significant amount of change, thereby verifying that scour migrates downstream with an increase in discharge. Interestingly, the comparison shows a slight increase in sediment discharge through the test reach analyzed. Supplementary to previous research, values of scour depth and location in terms of distance from the start of channel-width perturbation are provided; at the lowest discharge maximum scour occurs 4% of a wavelength upstream of the narrowest portion, and at the highest discharge maximum scour occurs at the narrowest point. Additionally, a one-dimensional HEC-RAS sediment transport model and a two- dimensional SRH flow model were compared to the analytical results. Results show that the model output of the HEC-RAS model and the SRH model adequately approximate the analytical model studied. Specifically, the results verify that maximum scour depth transitions downstream as discharge increases.

Etude physique des ondes longues. Origine du système de Saint Venant. Résolution numérique par une methode de différences finies dans le cas unidimensionnel et pour un domaine parabolique. Traitement numérique du cas bidimensionnel en utilisant une methode d'éléments finis pour les variables d'espace et de différences finies, pour la variable temps. Problème d'un fluide visqueux : établissement de l'existence et de l'unicité de la solution. Etude théorique du probleme des ondes longues semi-linéarisées dans un fluide parfait.