Nous présentons quelques contributions à la simulation et à l'analyse de discrétisation de processus, avec leurs applications notamment en finance. Nous avons regroupé nos travaux selon 4 thèmes: 1. statistique des processus avec observations discrètes; 2. couverture en temps discret en finance; 3. sensibilités d'espérances; 4. analyses d'erreurs de discrétisation. Le premier chapitre sur la statistique des processus est assez indépendant du reste. En revanche, les trois autres chapitres correspondent à une cohérence et une progression dans les questions soulevées. Néanmoins au fil de la lecture, on remarquera des liens entre les quatre parties: différentiation par rapport à des domaines et amélioration de simulation de temps de sortie, sensibilités d'espérances et statistique asymptotique avec le calcul de Malliavin, sensibilités d'espérances et analyse d'erreur etc... Les preuves des résultats s'appuient notamment sur les outils du calcul de Malliavin, des martingales, des Équations aux Dérivées Partielles et de leurs liens avec les Équations Différentielles Stochastiques.

Ce document synthétise mes contributions à l'étude de discrétisation des processus avec sauts, et à la modélisation du risque de liquidité et du risque de saut dans les marchés financiers. Chapitre 2 regroupe les résultats plus théoriques dans le domaine de discrétisation des processus stochastiques avec sauts, avec notamment une étude de l'erreur de discrétisation des stratégies de couverture, et des nouveaux schémas de simulation des équations différentielles stochastiques dirigées par des processus de Lévy. Chapitre 3 présente et étudie via le contrôle stochastique un problème d'optimisation d'investissement et de consommation dans les marchés financiers illiquides. Chapitre 4 contient des travaux plus appliqués sur la modélisation du risque de saut dans les stratégies d'assurance de portefeuille, les produits dérivés, et les marchés d'électricité.

Les qualités des VCSELs (coût, encombrement, intégration, etc...) en font un émetteur incontournable des liaisons datacom, aussi bien que des liaisons analogiques pour applications embarquées. Nous avons établi un système d'équations propres aux VCSELs AlGaAs à émission monomode, incluant les phénomènes de bruit d'intensité. Ce modèle est étendu aux VCSELs à émission multimode pour lesquels l'interaction entre les modes par un phénomène de "spectral hole-burning" est responsable d'une élévation du niveau de RIN (Relative Intensity Noise) aux basses fréquences. Partant des équations d'évolution linéarisées monomodes et bi-modes, nous avons parallèlement développé un schéma électrique équivalent incluant des sources équivalentes de bruit en tension et en courant. La réalisation d'un banc de mesure de bruit de faible puissance pour VCSELs sous pointes et VCSELs fibrés en boîtiers nous ont permis de caractériser le comportement en bruit de ces diodes laser et de valider les résultats de simulation du modèle pour différentes structures de VCSELs à diaphragme d'oxyde sur une très large bande de fréquences jusqu'à 10 GHz. Finalement, prenant en compte les phénomènes non-linéaires des interactions photons-électrons dans la zone active, nous avons modélisé le report du bruit d'intensité basse fréquence du laser vers le signal hyperfréquence modulant directement le VCSEL. La caractérisation du bruit de 10 Hz à 1 MHz de la fréquence du signal de référence transmis par une liaison optoélectronique ayant un VCSEL pour émetteur a validé notre modèle de dégradation de la pureté spectrale.

L'hétérogénéité des nuages de couche limite est la somme de la variabilité 3D de l'eau nuageuse et de la variabilité microphysique décrivant les distributions dimensionnelles locales des gouttelettes. L'impact radiatif de ces variabilités est étudié d'une part sur le calcul de l'albédo d'une maille de modèle de grande échelle (GCM), et d'autre part sur la restitution des paramètres nuageux par satellite. La méthode employée utilise conjointement des simulations LES, 2 schémas extrêmes d'entraînement/mélange et un modèle de transfert radiatif 3D. Les résultats sont contraints par comparaison à des mesures in-situ et de télédétection. Il est montré que la variabilité microphysique est la source principale d'incertitude tant pour le calcul de l'albédo dans les GCM que pour la restitution des paramètres nuageux microphysiques. Elle peut conduire à une surestimation importante de l'effet indirect des aérosols dans les GCM et une sous-estimation importante de sa mesure par télédétection.

Cette thèse porte sur les méthodes numériques pour les équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires dégénérées, ainsi que pour des problèmes de contrôle d'EDP non-linéaires résultants d'un nouveau problème de transport optimal. Toutes ces questions sont motivées par des applications en mathématiques financières. La thèse est divisée en quatre parties. Dans une première partie, nous nous intéressons à la condition nécessaire et suffisante de la monotonie du $\theta$-schéma de différences finies pour l'équation de diffusion en dimension un. Nous donnons la formule explicite dans le cas de l'équation de la chaleur, qui est plus faible que la condition classique de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). Dans une seconde partie, nous considérons une EDP parabolique non-linéaire dégénérée et proposons un schéma de type ''splitting'' pour la résoudre. Ce schéma réunit un schéma probabiliste et un schéma semi-lagrangien. Au final, il peut être considéré comme un schéma Monte-Carlo. Nous donnons un résultat de convergence et également un taux de convergence du schéma. Dans une troisième partie, nous étudions un problème de transport optimal, où la masse est transportée par un processus d'état type ''drift-diffusion'' controllé. Le coût associé est dépendant des trajectoires de processus d'état, de son drift et de son coefficient de diffusion. Le problème de transport consiste à minimiser le coût parmi toutes les dynamiques vérifiant les contraintes initiales et terminales sur les distributions marginales. Nous prouvons une formule de dualité pour ce problème de transport, étendant ainsi la dualité de Kantorovich à notre contexte. La formulation duale maximise une fonction valeur sur l'espace des fonctions continues bornées, et la fonction valeur correspondante à chaque fonction continue bornée est la solution d'un problème de contrôle stochastique optimal. Dans le cas markovien, nous prouvons un principe de programmation dynamique pour ces problèmes de contrôle optimal, proposons un algorithme de gradient projeté pour la résolution numérique du problème dual, et en démontrons la convergence. Enfin dans une quatrième partie, nous continuons à développer l'approche duale pour le problème de transport optimal avec une application à la recherche de bornes de prix sans arbitrage des options sur variance étant donnés les prix des options européennes. Après une première approximation analytique, nous proposons un algorithme de gradient projeté pour approcher la borne et la stratégie statique correspondante en options vanilles.

L'objectif de cette thèse est de proposer une méthode permettant d'optimiser la stratégie de maintenance d'un système multi-composants. Cette nouvelle stratégie doit être adaptée aux conditions d'utilisation et aux contraintes budgétaires et sécuritaires. Le vieillissement des composants et la complexité des stratégies de maintenance étudiées nous obligent à avoir recours à de nouveaux modèles probabilistes afin de répondre à la problématique. Nous utilisons un processus stochastique issu de la Fiabilité Dynamique nommé processus markovien déterministe par morceaux (Piecewise Deterministic Markov Process ou PDMP). L'évaluation des quantités d'intérêt (fiabilité, nombre moyen de pannes...) est ici réalisée à l'aide d'un algorithme déterministe de type volumes finis. L'utilisation de ce type d'algorithme, dans ce cadre d'application, présente des difficultés informatiques dues à la place mémoire. Nous proposons plusieurs méthodes pour repousser ces difficultés. L'optimisation d'un plan de maintenance est ensuite effectuée à l'aide d'un algorithme de recuit simulé. Cette méthodologie a été adaptée à deux systèmes ferroviaires utilisés par la SNCF, l'un issu de l'infrastructure, l'autre du matériel roulant.

L'objet de ce mémoire est l'analyse des schémas de subdivision, outil de modélisation de surface lisse multi-résolution. Nos travaux se sont tout d'abord consacrés à l'étude du comportement géométrique de ces surfaces au voisinage des sommets extraordinaires du maillage de contrôle. La géométrie d'une surface de subdivision présente un comportement complexe au voisinage de ces sommets, et ces effets parfois néfastes sont pour certains encore mal connus. Nous avons proposé un cadre d'évaluation du comportement géométrique d'une surface de subdivision à travers une mesure de qualité adaptée : le gradient de courbure absolue. Nous avons ensuite proposé un espace de visualisation adapté à l'analyse du voisinage d'un sommet extraordinaire.Celui-ci étant indépendant du schéma de subdivision utilisé, ce cadre d'analyse nous permet de les comparer. Nos travaux se sont alors portés sur une analyse fréquentielle polaire des comportements géométriques, en tenant compte de leurs caractéristiques radiales et angulaires par rapport à la topologie du voisinage d'un sommet extraordinaire. Notre analyse étend les études existantes pour l'évaluation des comportements géométriques de cet outil de modélisation. De plus, nous avons proposé un systàme de description de la phase de subdivision topologique d'un schéma de subdivision. Notre systàme prend la forme d'un codage compact et flexible, il généralise les descriptions existantes. Ce codage permet la description des phases topologiques de tous les schémas de subdivision connus, ainsi que de nombreuses autres.

Ce travail de thèse est consacré à la modélisation et à la simulation numérique des transitions de phase liquide-vapeur. L'étude effectuée se découpe en deux randes parties: une première où on étudie les phénomènes de transition de phase avec une loi d'état de type Van Der Waals (perte de monotonie de la loi d'état) et une deuxième partie où on choisit une approche alternative avec deux loi d'états. La première partie consiste à étudier les critères visqueux classiques de sélection des solutions du système d'équations utilisé lorsque la loi d'état n'est pas monotone. Les critères classiques ne sélectionnant pas des solutions a priori physiques, un critère plus récent est introduit: le critère visco-capillaire. L'utilisation de ce critère avec un solveur de Riemann exact (sous la contrainte de trouver le zéro d'une fonction non linéaire) permet d'obtenir des résultats mais avec un coût de calcul trop élevé. Une approche alternative est alors envisagée avec deux lois d'états (une pour chaque phase). A l'aide d'un procédé de minimisation de l'action hamiltonienne, un modèle bifluide de changement de phase est proposé. Celui-ci respecte alors le second principe de la thermodynamique. Deux sous-systèmes en sont déduits à l'aide d'un procédé de retour à l'équilibre: mécanique dans un premier temp puis mécanique et thermodynamique dans un deuxième temps. Malgré la faible hyperbolicité du dernier sous-système obtenu, des schémas numériques stables basés sur une méthode de splitting sont proposés. On montre alors que le système ainsi obtenu est naturellement capable de nucléer des bulles de vapeur dans du liquide.

Les travaux développés dans cette thèse portent la transformée en ondelettes 2D non-séparable appliquée dans le domaine de la compression d'images. L'implémentation en schéma lifting réduit la complexité de la transformée. Notre premier objectif consiste à factoriser un banc de filtres bidimensionnels non-séparables en schéma lifting quinconce. La solution apportée s'applique aux filtres à symétrie octogonale. Nous proposons une implémentation au fil de l'eau du schéma lifting quinconce. Les coûts de l'implémentation et le gain en mémoire et en complexité par rapport au filtrage par banc de filtres sont évalués. Le second objectif consiste à définir un schéma lifting en fonction des propriétés statistiques de l'image. Le but est de définir un schéma optimisant les performances, en adéquation avec les méthodes d'allocation de débit. Ces méthodes ont pour objectif de fournir un algorithme de compression approprié et efficace pour des images directement échantillonnées en quinconce.

L'étude géologique du massif de fondation du futur barrage de Puylaurent (Massif Central français) a été menée en considérant que la connaissance de l'organisation structurale régionale est fondamentale pour l'interprétation des caractéristiques géotechniques du massif rocheux. Pour cela, les épisodes tectoniques qui ont faconné la région ont été analysés; ainsi ont été établis la genèse, la géométrie et les jeux des accidents résultants. Une étude structurale fine du massif rocheux cristallophyllien qui constitue la fondation du barrage a permis d'établir, outre la géométrie des déformations qu'il a subies, une filiation hiérarchique et chronologique avec les discontinuités régionales. L'existence éventuelle d'anisotropie de contraintes actuelles a été recherchée au moyen de mécanisme au foyer de séismes, de mesures de contraintes in situ et de mesures de vitesses sismisques. Celles-ci ont réussi à mettre en évidence une direction de sollicitation actuelle N*S à NNE-SSW. la confrontation des données géologiques et des résultats de travaux de reconnaissance (sondages, essais Lugeon, galeries) montre divers cas où une perméabilité élevée du massif de fondation est liée à l'orientation des sollicitations actuelles.