University, Diss., 2007--Frankfurt (Main). / Zsfassung in engl. und dt. Sprache.

Heidelberg, Univ., Diss., 2006.

Heidelberg, Univ., Diss., 2007.

In this thesis I explore the interplay of geometry and quantum information theory via the holographic principle, with a specific focus on geometric phases in quantum systems like two interacting qubits, and how they relate to entanglement measures and Hilbert space factorisation. I establish geometric phases as an indicator for Hilbert space factorsiation, both in an abstract sense using von Neumann operator algebras as well as applied to the eternal black hole within the AdS/CFT correspondence. For the latter case I show that geometric phases allow to diagnose non-factorisation from a boundary point of view. I also introduce geometric quantum discord as a second geometric measure for non-factorisation and reveals its potential implications for the study of black hole microstates. / In dieser Arbeit untersuche ich das Zusammenspiel von Geometrie und Quanteninformation mit Hilfe des holografischen Prinzips. Dabei konzentriere ich mich besonders auf geometrische Phasen in Quantensystemen wie zwei wechselwirkenden Qubits und darauf, wie sie mit Verschränkungsmaßen und Hilbert-Raum-Faktorisierung zusammenhängen. Ich führe geometrische Phasen als Indikator für die Faktorisierung des Hilbert-Raums ein, sowohl in einem abstrakten Sinne unter Verwendung von von Neumann-Operator-Algebren als auch angewandt auf das ewige Schwarze Loch im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. im zweiten Fall zeige ich, dass geometrische Phasen es erlauben, die Nicht-Faktorisierung von der Randperspektive aus zu diagnostizieren. Außerdem führe ich die geometrische Quantendiskordanz als zweites geometrisches Maß für die Nicht-Faktorisierung ein und zeige ihre möglichen Auswirkungen auf die Untersuchung von Mikrozuständen Schwarzer Löcher auf.

Zusammenfassung In den letzten Jahren haben Schwarze Löcher viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, insbesondere wegen ihrer ungewöhlichen quantentheoretischen Eigenschaften. Ein in diesem Zusammenhang interessantes Modell ist das geeichte SL(2,R)/U(1)-Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modell, das im Rahmen der Stringtheorie als Euklidisches zweidimensionales Schwarzes Loch interpretiert werden kann. Die vorliegende Arbeit analysiert die klassischen Eigenschaften dieses Modells, um so die Grundlage für quantentheoretische Untersuchungen zu schaffen. Ausgangspunkt ist eine allgemeine Betrachtung über geeichte Wess-Zumino-Novikov-Witten-Modelle (WZNW-Modelle). Herkömmlicherweise werden sie mit Hilfe von Eichfeldern formuliert, deren Bewegungsgleichungen rein algebraisch sind. In der vorliegenden Arbeit werden die Eichfelder aus den Modellen eliminiert. Dabei entsteht eine Klasse von nichtlinearen integrablen konformen Feldtheorien, für deren Bewegungsgleichung eine explizite Lax-Paar-Darstellung abgeleitet wird. Diese Ergebnisse werden auf das geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell spezialisiert. Zum Vergleich wird auch die Eliminierung des Eichfeldes durch explizite Pfadintegration untersucht, die jedoch aufgrund mathematischer Ambiguitäten nicht zu einem abschließenden Ergebnis geführt wird. Das klassische geeichte SL(2,R)/U(1)-WZNW-Modell wird sowohl in einem unendlich ausgedehnten Minkowski-Raum als auch mit räumlich periodischen Randbedingungen untersucht. Letzteres ist für die stringtheoretische Interpretation des Modells wichtig. Es werden die nichtlinearen Bewegungsgleichungen und ihre allgemeine Lösung angegeben. Diese enthält Parameterfunktionen. Es wird ein Verfahren abgeleitet, um die Parameterfunktionen aus vorgegebenen Anfangsbedingungen zu bestimmen. Mit Hilfe dieses Verfahrens werden die Poissonklammern der Parameterfunktionen aus den kanonischen Poissonklammern der physikalischen Felder berechnet. Es wird gezeigt, daß es eine nichtlokale kanonische Transformation der nichtlinearen physikalischen Felder auf freie Felder gibt. Die entsprechende Bäcklund-Transformation wird angegeben. / Abstract In recent years, Black Holes have attracted much attention, in particular, because of their unusual quantum-theoretical properties. An interesting model, in this context, is the SL(2,R)/U(1) gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten model, which can be interpreted stringtheoretically as Euclidean two-dimensional Black Hole. The present dissertation analyzes the classical properties of this model, in order to prepare the basis for quantum-theoretical investigations. First, gauged Wess-Zumino-Novikov-Witten (WZNW) models are intoduced in general. Usually, they are formulated including gauge fields, whose equations of motion are purely algebraic. In the present dissertation, the gauge fields are eliminated from the models. A class of non-linear integrable field theories arises, whose equations of motion can be represented by Lax pairs explicitly. These results are specialized to the SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model. For comparison, the elimination of the gauge field by explicit path integration is also investigated. But due to mathematical ambiguities, this investigation does not lead to a final result. The classical SL(2,R)/U(1) gauged WZNW model is investigated in an infinitely extended Minkowski space-time as well as with spatially periodic boundary conditions. The latter is important for the stringtheoretical interpretation of the model. The non-linear equations of motion and their general solution are given. A procedure is derived to determine the parameter functions of the general solution from given initial conditions of the equations of motion. By means of this procedure the Poisson brackets of the parameter functions are calculated from the canonical Poisson brackets of the physical fields. It is shown that there is a non-local canonical transformation of the non-linear physical fields onto free fields. The corresponding Backlund transformation is presented.

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