Ce mémoire résume mes travaux dans 3 domaines reliés au "chaos quantique". J'y aborde tout d'abord les questions de répartition spatiale des fonctions propres de systèmes quantiques classiquement chaotiques. Dans une seconde partie, je résume mes travaux sur la distribution des résonances pour les systèmes de diffusion dont l'ensemble des trajectoires captées est fractal, et supporte une dynamique chaotique. Enfin, je mentionne des résultats obtenus sur les transformations chaotiques bruitées: l'étude du spectre, et de la relaxation vers l'équilibre de tels systèmes.

L'objectif principal de ce travail de thèse concerne l'étude mathématique et la résolution numérique de modèles quantiques de transport électronique dans les nanostructures semiconductrices. Le modèle quantique que nous utilisons est celui de Schrödinger. On a pris en considération deux approches. Une première approche monobande où deux modèles unidimensionnels stationnaires sont étudiés. Le premier que nous abordons prend en compte la variation de la masse effective en fonction du matériau semi-conducteur. C'est le modèle Schrödinger avec masse variable. Le second est un modèle où les effets non paraboliques dans la relation de dispersion vecteur d'onde-énergie sont pris en compte. C'est le modèle Kohn-Luttinger. La deuxième approche est de type bibande obtenue à partir du modèle de Kane qui lui aussi découle de la méthode k.P. On le notepar le modèle Schrödinger deux bandes. La partie théorique renferme des résultats d'existence de solutions ( l'aide du théorème de point fixe de Leray Schauder) et de comportement asymptotique. Dans les différents cas, nous avons dérivé des conditions aux bords transparentes. Nous avons établi un résultat concernant la limite semiclassique lorsque $\hbar $ tend vers zéro du modèle stationnaire unidimensionnel Schrödinger avec masse variable. Nous avons montré l'existence et l'unicité de solutions sauf peut-être pour une suite de valeurs d'énergie correspondant à des valeurs propres du spectre discret de l'opérateur de Kohn-Luttinger. Nous montrons l'existence de solutions du modèle Schrödinger à deux bandes dans le cas non-linéaire (le champ électrostatique est calculé auto-consistant). Finalement, dans la partie numérique, nous avons utilisé des éléments finis Hermitiens pour Kohn-Luttinger et une méthode de différences finies pour le modèle Schrödinger à deux bandes. Dans les deux cas, pour le système couplé nous avons utilisé un schéma itératif type Gummel. Nous avons pu réaliser des simulations numériques de dispositifs type diode à effet tunnel résonnant intra-bande RTD ( resp. inter-bande RITD) pour décrire l'approche monobande (resp. bibande). Nous avons obtenu les caractéristiques courant-tension, les coefficients de transmission et le profil des densités de charge électronique.

Depuis Ruelle, puis Rugh, Baladi, Tsujii, Liverani et d'autres, on sait que la fuite vers l'équilibre statistique dans de nombreux systèmes dynamiques chaotiques est gouvernée par le spectre de résonances de Ruelle de l'opérateur de transfert. A la suite de récents travaux de Faure, Sjöstrand et Roy, cette thèse propose une approche semiclassique de systèmes dynamiques chaotiques de type partiellement expansifs. Une partie du mémoire est consacrée aux extensions d'applications expansives vers des groupes de Lie compacts, en se reistreignant essentiellement aux extensions vers le groupe spécial unitaire SU(2). On se sert de la théorie des états cohérents pour les groupes de Lie, développée dans les années 70 par Perelomov et Gilmore, pour mettre en oeuvre les outils semiclassiques et la théorie des résonances de Helfer et Sjöstrand. On en déduira une estimation de Weyl et un gap spectral pour les résonances de Ruelle prouvant que la fuite vers l'équilibre statistique dans ces modèles est gouvernée par un opérateur de rang fini (en accord avec les résultats obtenus par Tsujii pour les semi-flots partiellement expansifs). On étend ensuite cette approche aux modèles "ouverts" pour lesquels la dynamique présente un ensemble captif de Cantor. On montrera l'existence d'un spectre discret de résonances de Ruelle et on prouve une loi de Weyl fractale, analogue classique du théorème de Lin-Guillopé-Zworski pour les résonances du laplacien hyperbolique sur les surfaces à courbure négative constante. On montre aussi un gap spectral asymptotique. On expliquera pourquoi ces modèles semblent être des objets d'étude adaptés pour approcher des questions importantes et difficiles du chaos classique ou quantique. On pense en particulier au problème de la minoration du nombre de résonances, étudié dans le contexte des applications quantiques par Nonnenmacher et Zworski.

De façon générale, la physique des collisions concerne l'étude des phénomènes induits par l'interaction de particules en mouvement. En physicochimie moléculaire et en physique atomique, cadres dans lesquels s'inscrit cette thèse, les interactions mises en jeu sont coulombiennes et les partenaires de la collision sont des espèces atomiques ou moléculaires, neutres ou chargées. Celles-ci sont susceptibles de subir au cours de la collision des modifications importantes de leur cortège électronique, à la source même de processus secondaires variés présentant un grand intérêt, par exemple, dans la modélisation de systèmes complexes tels que les plasmas, les milieux astrophysiques ou biologiques. Notre étude s'appuie sur une description théorique semi-classique non-perturbative des processus multi-électroniques au cours de collisions atomiques et moléculaires, à des énergies telles que la vitesse relative des partenaires est comparable à celle de leur électrons de valence. Dans deux systèmes " benchmark " (H+ - Li , He - H2+), nous avons mis en évidence respectivement l'existence de couplages complexes entre voies de réaction impliquant les électrons internes et de valence du lithium et des phénomènes d'interférences et de diffraction d'ondes de matière. Nous avons également étudié des systèmes de collision plus complexes impliquant le carbone, en analysant tout particulièrement des phénomènes multi-électroniques (collisions C(+) - He) - hors approximation des électrons indépendants - et multi-centriques (collisions proton-graphène). Pour ce dernier système, les résultats obtenus ont permis de mettre en évidence les principes d'une nouvelle technique d'imagerie de matériaux 2D. / In general, the Physics of collisions concerns the study of phenomena induced by the relative motion of interacting particles. In chemical physics and atomic physics, which are the area covered by this PhD, the interactions are Coulombic and the colliding partners are atoms or molecules which can be neutral or charged. During the collision, they are likely to undergo important modifications of their electronic environment, which can be the source of various secondary processes that are of great interest, for example, in the modelling of complex systems such as plasmas or astrophysical and biological media. Our study is based on a close-coupling semi-classical description of the multielectronic processes occurring in the course of atomic and molecular collision at impact energy such as the relative velocity of the partners are of the same order of magnitude than the classical velocity of their valence electrons. We have studied two ?benchmark? systems (H+ - Li , He ? H2+), for which we have respectively highlighted the existence of couplings between channels involving inner and outer-shell electrons of lithium, and, wave matter interferences and diffraction phenomena. We have also studied more complex colliding systems involving the carbon nucleus in analyzing multielectronic (C(+) ? He collisions) and multicentric (proton-graphene collisions) phenomena. For the latter system, the results obtained have allowed us to bring out the principles of a new two-dimensional material imaging technique.

Ce manuscrit est consacré à l'étude de la mécanique classique et la mécanique quantique en présence d'un champ magnétique. En mécanique classique, nous utilisons un Hamiltonien pour décrire la dynamique d'une particule chargée dans un domaine soumis à un champ magnétique. Nous nous intéressons ici à deux problèmes classiques de physique : le problème de confinement et le problème de scattering. Dans le cas quantique, nous étudions le problème spectral du laplacien magnétique au niveau semi-classique dans des domaines de dimension deux: sur une variété Riemanienne compacte à bord et dans ℝ ². En supposant que le champ magnétique ait un unique minimum strictement positif et non-dégénéré, nous pouvons décrire les fonctions propres par les méthodes WKB. Grâce au théorème spectral, nous pouvons estimer efficacement les vraies fonctions propres et les fonctions propres approchées localement proche du minimum du champ magnétique. Dans ℝ ², sous l'hypothèse additionnelle d'une symétrie radiale du champ magnétique, nous pouvons montrer que les fonctions propres du laplacien magnétique décroissent de manière exponentielle à l'infini avec une vitesse contrôlée par la fonction phase de la procédure WKB. De plus, les fonctions propres sont très bien approchées dans un espace à poids exponentiel. / This manuscript is devoted to classical mechanics and quantum mechanics, especially in the presence of magnetic field. In classical mechanics, we use Hamiltonian dynamics to describe the motion of a charged particle in a domain affected by the magnetic field. We are interested in two classical physical problems: the confinement and the scattering problem. In the quantum case, we study the spectral problem of the magnetic Laplacian at the semi-classical level, in two-dimensional domains: on a compact Riemmanian manifold with boundary and on ℝ ². Under the assumption that the magnetic field has a unique positive and non-degenerate minimum, we can describe the eigenfunctions by WKB methods. Thanks to the spectral theorem, we estimated efficiently the true eigenfunctions and the approximate eigenfunctions locally near the minimum point of the magnetic field. On ℝ ², with the additional assumption that the magnetic field is radially symmetric, we can show that the eigenfunctions of the magnetic Laplacian decay exponentially at infinity and at a rate controlled by the phase function created in WKB procedure. Furthermore, the eigenfunctions are very well approximated in an exponentially weighted space.

La méthode de diffusion inverse est la plus efficace dans la théorie des systèmes intégrables. Introduite dans les années soixantes, d'importants résultats ont été obtenus pour les problèmes de dimension 1+1 et notamment sur l'interaction de solitons. Depuis quelques années, l'intérêt est porté sur des problèmes de dimensions supérieures comme les équations de Davey-Sterwartson, une généralisation de l'équation intégrable de Schrödinger cubique non linéaire en dimension 1+1. Des études numériques en limite semi-classique de l'équation de Davey-Stewartson II (DSII) défocalisant, font apparaître des points communs avec le cas réduit unidimensionnel, par exemple sur l'existence d'ondes de choc dispersives : des conditions initiales lisses mènent à une région d'oscillations rapides et modulées dans le voisinage des chocs des solutions des équations non dispersives dotées des mêmes conditions initiales.Cette thèse donne les premières étapes pour l'étude analytique de ce problème basée sur la méthode de la transformée de diffusion inverse. Les deux types de méthodes, directe et inverse, pour l'équation de DSII permettent de réécrire le problème sous la forme des équations D-bar. On considère la transformée spectrale directe pour l'équation DSII avec des conditions initiales lisses en limite semi-classique. La transformée spectrale directe mène à un système de Dirac elliptique singulièrement perturbé en deux dimensions. On introduit une méthode de type BKW pour ce problème et on montre qu'il est bien défini pour des paramètres spectraux k ∈ ℂ dont les modules sont suffisamment grands en controllant la solution d'une équation eikonale non linéaire. Aussi cette méthode donne des résultats numériques précis pour de tels k en limite semi-classique. Ces résultats reposent sur la solution numérique du système de Dirac singulièrement perturbé et la solution numérique du problème eikonal.On résout le problème eikonal de manière explicite pout tout k dans le cas d'un potentiel particulier. Ces calculs donnent une explication sur le fait que l'on ne puisse pas appliquer la méthode BKW pour des valeurs de |k| plus petites. On présente une nouvelle méthode numérique pour calculer la solution du problème eikonal avec des valeurs de |k| suffisamment grandes.Les calculs numériques de la transformée spectrale directe offrent une manière d'analyser le système de Dirac singulièrement perturbé pour des valeurs de |k| si petites qu'il n'y a pas de solution globale au problème eikonal. On donne une analyse semi-classique rigoureuse sur la solution pour des potentiels radiaux en k = 0, ce qui donne une expression asymptotique du coefficient de réflexion pour k = 0 et suggère une structure annulaire pour la solution, ce qui peut être utilisé quand |k| ≠ 0 est petit. L'étude numérique suggère aussi que pour certains potentiels, le coefficient de réflexion converge simplement, quand ε ↓ 0, vers une fonction limite définie pour des valeurs de k pour lesquelles le problème eikonal n'a pas de solution globale. On propose que les singularités de la fonction eikonale jouent un rôle aussi similaire que les points tournants de la théorie unidimensionelle. / Inverse scattering is the most powerful tool in theory of integrable systems. Starting in the late sixties resounding great progress was made in (1+1) dimensional problems with many break-through results as on soliton interactions. Naturally the attention in recent years turns towards higher dimensional problems as the Davey-Stewartson equations, an integrable generalisation of the (1+1)-dimensionalcubic nonlinear Schrödinger equation. The defocusing Davey-Stewartson II equation, in its semi-classical limit has been shown in numerical experiments to exhibit behavior that qualitatively resembles that of its one-dimensional reduction, namely the generation of a dispersive shock wave: smooth initial data develop a zone rapid modulated oscillations in the vicinity of shocks of solutions for the corresponding dispersionless equations for the same initial data. The present thesis provides a first step to study this problem analytically using the inverse scattering transform method. Both the direct and inverse scattering transform for DSII can be expressed as D-bar equations. We consider the direct spectral transform for the defocusing Davey-Stewartson II equation for smooth initial data in the semi-classical limit. The direct spectral transform involves a singularly perturbed elliptic Dirac system in two dimensions. We introduce a WKB-type method for this problem and prove that it is well defined for sufficiently large modulus of the spectral parameter k ∈ ℂ by controlling the solution of an associated nonlinear eikonal problem. Further, we give numerical evidence that the method is accurate for such k in the semiclassical limit. Producing this evidence requires both the numerical solution of the singularly perturbed Dirac system and the numerical solution of the eikonal problem. We present a new method for the numerical solution of the eikonal problem valid for sufficiently large |k|. For a particular potential we are able to solve the eikonal problem in a closed form for all k, acalculation that yields some insight into the failure of the WKB method for smaller values of |k|. The numerical calculations of the direct spectral transform indicate how to study the singularly perturbed Dirac system for values of |k| so small that there is no global solution of the eikonal problem. We provide a rigorous semiclassical analysis of the solution for real radial potentials at k=0, which yields an asymptotic formula for the reflection coefficient at k = 0 and suggests an annular structure for the solution that may be exploited when |k| ≠ 0 is small. The numerics also suggest that for some potentials the reflection coefficient converges point-wise as ε ↓ 0 to a limiting function that is supported in the domain of k-values on which the eikonal problem does not have a global solution. We suggest that singularities of the eikonal function play a role similar to that of turning points in the one-dimensional theory.

ON ETUDIE DANS CETTE THESE CERTAINS PROBLEMES SPECTRAUX POUR DES OPERATEURS DESCHRODINGER. ON S'INTERESSE D'ABORD A LA LIMITE SEMI-CLASSIQUE POUR LE NOMBRE D'ETATS PROPRESDE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A N CORPS. ON UTILISE ENSUITE LE CROCHET DE DIRICHLET-NEUMANN POUR OBTENIR LA LIMITE SEMI-CLASSIQUE DES MOYENNES DE RIESZ DES VALEURS PROPRES DISCRETES POUR L'OPERATEUR DE SCHR¨ODINGER A N CORPS. ON CONSIDERE EGALEMENT LE POTENTIEL EFFECTIF DE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A N CORPS AVEC POTENTIEL DE COULOMB ET ON OBTIENT QU'IL A UNE DECROISSANCE CRITIQUE A L'INFINI. ON ETUDIE DONC L'OPERATEUR DE SCHRODINGER A POTENTIEL CRITIQUE. ON S'INTERESSE AU SEUIL POUR LA CONSTANTE DE COUPLAGE ET AU DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE DE LA RESOLVANTE DE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER, PUIS ON UTILISE CE DEVELOPPEMENT POUR ETUDIER LA LIMITE A BASSE ENERGIE DE LA DERIVEE DE LA FONCTION DE DECALAGE SPECTRAL POUR UNE PERTURBATION A DECROISSANCE CRITIQUE. FINALEMENT, ON UTILISE CE RESULTAT AVEC LE RESULTAT CONNU POUR LE DEVELOPPEMENT ASYMPTOTIQUE A HAUTE ENERGIE DE CETTE FONCTION DE DECALAGE SPECTRAL POUR OBTENIR LE THEOREME DE LEVINSON.

Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.

Depuis Ruelle, puis Rugh, Baladi, Tsujii, Liverani et d'autres, on sait que la fuite vers l'équilibre statistique dans de nombreux systèmes dynamiques chaotiques est gouvernée par le spectre de résonances de Ruelle de l'opérateur de transfert. A la suite de récents travaux de Faure, Sjöstrand et Roy, cette thèse propose une approche semiclassique de systèmes dynamiques chaotiques de type partiellement expansifs. Une partie du mémoire est consacrée aux extensions d'applications expansives vers des groupes de Lie compacts, en se reistreignant essentiellement aux extensions vers le groupe spécial unitaire SU(2). On se sert de la théorie des états cohérents pour les groupes de Lie, développée dans les années 70 par Perelomov et Gilmore, pour mettre en oeuvre les outils semiclassiques et la théorie des résonances de Helfer et Sjöstrand. On en déduira une estimation de Weyl et un gap spectral pour les résonances de Ruelle prouvant que la fuite vers l'équilibre statistique dans ces modèles est gouvernée par un opérateur de rang fini (en accord avec les résultats obtenus par Tsujii pour les semi-flots partiellement expansifs). On étend ensuite cette approche aux modèles "ouverts" pour lesquels la dynamique présente un ensemble captif de Cantor. On montrera l'existence d'un spectre discret de résonances de Ruelle et on prouve une loi de Weyl fractale, analogue classique du théorème de Lin-Guillopé-Zworski pour les résonances du laplacien hyperbolique sur les surfaces à courbure négative constante. On montre aussi un gap spectral asymptotique. On expliquera pourquoi ces modèles semblent être des objets d'étude adaptés pour approcher des questions importantes et difficiles du chaos classique ou quantique. On pense en particulier au problème de la minoration du nombre de résonances, étudié dans le contexte des applications quantiques par Nonnenmacher et Zworski. / Since the work of Ruelle, then Rugh, Baladi, Tsujii, Liverani and others, it is kown that the convergence towards statistical equilibrium in many chaotic dynamical systems is gouverned by the Ruelle spectrum of resonances of the so-called transfer operator. Following recent works from Faure, Sjöstrand and Roy, this thesis gives a semiclassical approach for partially expanding chaotic dynamical systems. The first part of the thesis is devoted to compact Lie groups extenstions of expanding maps, essentially restricting to SU(2) extensions. Using Perlomov's coherent state theory for Lie groups, we apply the semiclassical theory of resonances of Helfer and Sjöstrand. We deduce Weyl type estimations and a spectral gap for the Ruelle resonances, showing that the convergence towards equilibrium is controled by a finite rank operator (as Tsujii already showed for partially expanding semi-flows). We then extend this approach to "open" models, for which the dynamics exhibits a fractal invariant reppeler. We show the existence of a discrete spectrum of resonances and we prove a fractal Weyl law, the classical analogue of Lin-Guillopé-Zworski's theorem on resonances of non-compact hyperbolic surfaces. We also show an asymptotic spectral gap. Finally we breifly explain why these models are interseting "toy models" to explore important questions of classical and quantum chaos. In particular, we have in mind the problem of proving lower bounds on the number of resonances, studied in the context of open quantum maps by Nonnenmacher and Zworski.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux propriétés spectrales des opérateurs non-auto-adjoints aléatoires. Nous allons considérer principalement les cas des petites perturbations aléatoires de deux types des opérateurs non-auto-adjoints suivants :1. une classe d’opérateurs non-auto-adjoints h-différentiels Ph, introduite par M. Hager [32],dans la limite semiclassique (h→0); 2. des grandes matrices de Jordan quand la dimension devient grande (N→∞). Dans le premier cas nous considérons l’opérateur Ph soumis à de petites perturbations aléatoires. De plus, nous imposons que la constante de couplage δ vérifie e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), pour certaines constantes C, k > 0 choisies assez grandes. Soit ∑ l’adhérence de l’image du symbole principal de Ph. De précédents résultats par M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] et J. Sjöstrand [67] montrent que, pour le même opérateur, si l’on choisit δ ⪢ e(-1/Ch), alors la distribution des valeurs propres est donnée par une loi de Weyl jusqu’à une distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 du bord de ∑. Nous étudions la mesure d’intensité à un et à deux points de la mesure de comptage aléatoire des valeurs propres de l’opérateur perturbé. En outre, nous démontrons des formules h-asymptotiques pour les densités par rapport à la mesure de Lebesgue de ces mesures qui décrivent le comportement d’un seul et de deux points du spectre dans ∑. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à un point, nous prouvons qu’il y a une loi de Weyl à l’intérieur du pseudospectre,une zone d’accumulation des valeurs propres dûe à un effet tunnel près du bord du pseudospectre suivi par une zone où la densité décroît rapidement. En étudiant la densité de la mesure d’intensité à deux points, nous prouvons que deux valeurs propres sont répulsives à distance courte et indépendantes à grande distance à l’intérieur de ∑. Dans le deuxième cas, nous considérons des grands blocs de Jordan soumis à des petites perturbations aléatoires gaussiennes. Un résultat de E.B. Davies et M. Hager [16] montre que lorsque la dimension de la matrice devient grande, alors avec probabilité proche de 1, la plupart des valeurs propres sont proches d’un cercle. De plus, ils donnent une majoration logarithmique du nombre de valeurs propres à l’intérieur de ce cercle. Nous étudions la répartition moyenne des valeurs propres à l’intérieur de ce cercle et nous en donnons une description asymptotique précise. En outre, nous démontrons que le terme principal de la densité est donné par la densité par rapport à la mesure de Lebesgue de la forme volume induite par la métrique de Poincaré sur la disque D(0, 1). / In this thesis we are interested in the spectral properties of random non-self-adjoint operators. Weare going to consider primarily the case of small random perturbations of the following two types of operators: 1. a class of non-self-adjoint h-differential operators Ph, introduced by M. Hager [32], in the semiclassical limit (h→0); 2. large Jordan block matrices as the dimension of the matrix gets large (N→∞). In case 1 we are going to consider the operator Ph subject to small Gaussian random perturbations. We let the perturbation coupling constant δ be e (-1/Ch) ≤ δ ⩽ h(k), for constants C, k > 0 suitably large. Let ∑ be the closure of the range of the principal symbol. Previous results on the same model by M. Hager [32], W. Bordeaux-Montrieux [4] and J. Sjöstrand [67] show that if δ ⪢ e(-1/Ch) there is, with a probability close to 1, a Weyl law for the eigenvalues in the interior of the pseudospectrumup to a distance ⪢ (-h ln δ h) 2/3 to the boundary of ∑. We will study the one- and two-point intensity measure of the random point process of eigenvalues of the randomly perturbed operator and prove h-asymptotic formulae for the respective Lebesgue densities describing the one- and two-point behavior of the eigenvalues in ∑. Using the density of the one-point intensity measure, we will give a complete description of the average eigenvalue density in ∑ describing as well the behavior of the eigenvalues at the pseudospectral boundary. We will show that there are three distinct regions of different spectral behavior in ∑. The interior of the of the pseudospectrum is solely governed by a Weyl law, close to its boundary there is a strong spectral accumulation given by a tunneling effect followed by a region where the density decays rapidly. Using the h-asymptotic formula for density of the two-point intensity measure we will show that two eigenvalues of randomly perturbed operator in the interior of ∑ exhibit close range repulsion and long range decoupling. In case 2 we will consider large Jordan block matrices subject to small Gaussian random perturbations. A result by E.B. Davies and M. Hager [16] shows that as the dimension of the matrix gets large, with probability close to 1, most of the eigenvalues are close to a circle. They, however, only state a logarithmic upper bound on the number of eigenvalues in the interior of that circle. We study the expected eigenvalue density of the perturbed Jordan block in the interior of thatcircle and give a precise asymptotic description. Furthermore, we show that the leading contribution of the density is given by the Lebesgue density of the volume form induced by the Poincarémetric on the disc D(0, 1).