This project deals with fingerprint biometrics. Describes the origin and significance of ridges. Project denote the significance and detection of singular points. The way of classication fingerprint to the vlase usány by the singular points. It contains a list of types of minutiae and their detection. There is basic methods for matching fingerprints. The minutae-based matching method is realize in program Matlab.

This thesis describes the anatomical characteristics of fingerprints and their applications in identifying the person. The theoretical part describes the importance of papillary lines on fingerprints, statistical analysis and pre-processing of images in particular. The practical section provides the necessary operations to compare fingerprints. The implementation was done in Matlab.

Magistro baigiamajame darbe nagrinėjama antrosios eilės tiesinė nehomogeninė diferencialinė lygtis intervale, kurio kairysis kraštas yra nagrinėjamosios lygties koeficientų ireguliarusis ypatingasis taškas. Ištirta sprendinių asimptotika ypatingojo taško aplinkoje ir išnagrinėti trys šios lygties kraštiniai uždaviniai, kurių formulavimas iš esmės priklauso nuo lygties parametro ženklo. / The present Master thesis analyses the second order linear differential equation in interval which left side coincides with irregular singular point of this equation. The asymptotics of the solutions in the neighbourhood of singular point is investigated and three boundary value problems, statement of which principally depends on equation parameter sign, have been analyzed.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao valdomiro rocha.pdf: 314603 bytes, checksum: 4b3ce4fc794c5e8d84afda16d62058d9 (MD5) Previous issue date: 2010-03-05 / The problem of destingnishing whether a monodromic critical point with imaginary eigenvalues of a family of a planar analitical vector field is a center or a focus was already solved by Lyapunov. This is the famous center-focus problem which was solved by calculating the so-called Lyapunov constants and see whether or not they are zero. We present a few ways to calculate them acording the approaches that they use: camputation of a Lyapunov function; use of normal forms; computation of the power of expansion of a solution in polar coordinates; use of the algebraic structure of Lyapunov constants; method of Lyapunov-Schmit and Melnikov functions. Despite all of the above the centerfocus problem for a simple family as the cube is resisting all attempts at solution. For this reason the centers, we propose to grade the in three levels in order to make the problem more feasible. / O problema de decidir se um ponto singular monodrômico com autovalores imaginários para uma família analítica de um campo de vetores planares é um centro ou um foco foi resolvido por Lyapunov. Este é o famoso problema centro- foco, que foi resolvido calculando as chamadas constantes de Lyapunov e verificar se elas são ou não nulas. Existem métodos diferentes de calculá-las dependendo da aproximação a ser utilizada: cálculo da função de Lyapunov; uso de formas normais; cálculo da potência na expansão da solução em coordenadas polares; uso da estrutura algébrica das constantes de Lyapunov; método de Lyapunov-Schmit e funções de Melnikov. Apesar de todos os métodos acima o problema centro-foco para uma família simples, como a cúbica, tem resisitido a todas as tentativas de solução, por isto classificamos os centros em três níveis para tornar o problema mais viável.

Finding a topologically accurate approximation of a real planar algebraic curve is a classic problem in Computer Aided Geometric Design. Algorithms describing the topology search primarily the singular points and are usually based on algebraic techniques applied directly to the curve equation. In this thesis we propose a more geometric approach, taking into account the subsequent high-precision approximation. Our algorithm is primarily based on the identification and approximation of smooth monotonous curve segments, which can in certain cases cross the singularities of the curve. To find the characteristic points we use not only the primary algebraic equation of the curve but also, and more importantly, its implicit support function representation. Using the rational Puiseux series, we describe local properties of curve branches at the points of interest and exploit them to find their connectivity. The support function representation is also used for an approximation of the segments. In this way, we obtain an approximate graph of the entire curve with several nice properties. It approximates the curve within a given Hausdorff distance. The actual error can be measured efficiently. The ap- proximate curve and its offsets are piecewise rational. And the question of topological equivalence of the...

Topological defects are distinguished objects in vector fields that occur in a wide range of applications, ranging from material sciences to cosmology to bio-medical imaging and fingerprint recognition. This thesis considers topological point defects, also known as singular points, of two-dimensional vector fields. Besides Euclidean vectors as representation of modulus and direction, this also includes nematic vectors that equally have a modulus but direction is replaced with a head-to-tail symmetric orientation. In both case, a singular point or topological defect is an isolated discontinuity in an otherwise continuous vector field. It is characterized by its index or topological charge, which attains integer values for polar and half-integer values for nematic vector fields. There are different yet equivalent approaches to define the index. They either base on homology groups and the Brouwer degree, or on the first fundamental group and the mapping degree, or relatedly on lifting of a loop path enclosing the singular point. The definition by lift used here translates changes in the vector field along a path into a summed change in orientation angle. This translates to topological defects in discretized vector fields, where topological charge is calculated as sum of finite angle differences along a loop path between discretization points. On closer inspection, this calculation is an estimation, and is guaranteed to yield the correct estimate only with additional assumptions, for example when the underlying continuous-domain vector field is smooth and sampled at sufficiently high spatial resolution. Otherwise, arbitrary locations and charges of topological defects are possible, which yield exactly the same discretized vectors by the periodicity of representative orientation angles. Besides, the estimated topological charge depends discontinuously on each of the discrete input vectors and exhibits discrete jumps. As application data typically is subject to noise and uncertainty, this raises the question how reliable are topological defects identified in it. The present thesis quantifies, how large perturbations of a vector field are admissible without alteration of topological defects and charges. To that end, it introduces a robustness measure for each edge in a discretization grid that are combined along loop paths. Replacing critical edges of minimal robustness within a loop path by other path segments around a minimally larger area allows targeted increase of robustness. This data-dependent method called expansion over the critical edge is iterated until a user-set robustness is satisfied. The final areas of this algorithm are shown to have minimal size and therefore maximal spatial resolution, which also adapts to the local quality of data. The areas are also given as the faces in the graph of sufficiently robust edges after deleting all vertices of degree 1 (leaves) and all their connected edges. The minimal robust areas turn out to be nested by inclusion according to their robustness threshold. This allows to tradeoff detection robustness of topological charges versus their localization accuracy, both within a selection of pre-defined loop path shapes, and for free data-dependent expansion over the critical edge. Differently from defect identification by pattern matching, there is no restriction on the charge detectable. Besides, the robustness is shown to detect the size of unordered cores of defects. Robust defect areas indicate possible defect dynamics comprising motion, defect pair generation and annihilation already from single time point data. The robustness is also applicable to irregular discretization grids thanks to its graph theoretic characterization, and an extension to curved surfaces is foreseeable. The robust data-dependent defect identification is exemplified on microscopy images of the fruit fly Drosophila melanogaster. During Dorsal Closure, a developmental process, a cell sheet called amnioserosa contracts in highly regulated manner, whereby forces are actively generated and propagated along filamentous proteins like actin. Thereby, activity level and visco-elastic properties of the tissue are linked to the topological defects in the actin orientation field. Robust detection of these reveals that the sum over robust charges is clearly positive in the hundreds, whereas the overall sum of charge without robustness consideration fluctuates around zero. Numerous charges are observed, but $\pm 1/2$ dominate and confirm the amnioserosa as nematic material despite polar molecular constituents like actin. The sizes of robust defects span three orders of magnitude, and the largest defects follow the shapes of biological cells. The size distribution decays by a power law with the power for positive defects being more negative. Time courses show slightly higher speed of motion for +1/2 defects than for -1/2 defects, an order of magnitude above material flow velocity. Experiments with a genetic modification in the protein Crumbs had shown excess contraction of the amnioserosa cell layer during development. Comparing defect velocity of these embryos to wildtype suggests that viscosity and rotational viscosity increase stronger than activity level. This hypothesis remains to be tested in a combination of experiments and simulations, yet it would not have been generated in the first place without consideration of robust defects. More generally, the presented robustness measure and optimal data-dependent identification of topological defects could benefit the analysis of defects in discretized vector fields in a variety of disciplines. The optimal data-dependent identification allows for example to calculate error distributions for charge and localization of defects. The size, shape, and nested inclusion of robust defects constitute new observables, that generate numerous follow-up questions already for the fruit fly and enable novel analyses.:1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Application fields of topological defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Challenges of noisy, discretized vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Thesis contribution and outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Polar and nematic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Isomorphism between polar and nematic vectors in two dimensions . 9 2.2 Homotopy, and (universal) covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Homotopies and the degree of mappings in the sense of homotopies . 19 2.2.2 Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Defect identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Index and topological charge in continuous domains . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Definition of topological charge by lift . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Differential expressions for topological charge . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Topological charge in discrete domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Correct discretization by sufficiently fine discretization . . . . . . . . 53 3.3 Topological charge estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Comparison: defect identification by loop paths . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1 ... equals fixed-size stencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2 ... equals convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 ... resembles “diffusive topological charge” . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.4 ... does not improve by larger stencil size . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.5 ... is linked to local maxima of azimuthal change . . . . . . . . . . . 68 3.4.6 ... differs from nematic order parameter thresholds . . . . . . . . . . 68 3.4.7 ... differs from matching with template patterns . . . . . . . . . . . 70 3.4.8 ... extends to irregular and unstructured data . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Discontinuous dependence of defects on discretized vector fields . . . . . . . 72 4 Robustness of defect identification and topological charge estimation in discrete domains . . . 75 4.1 Robustness between two discretization points . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Robustness of a discrete loop path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Magnitude-aware robustness for non-normalized vector fields . . . . . . . . 102 4.4 Robustness for fixed path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1 Robustness of fixed-shape identification for noise-free defects . . . . 117 4.4.2 Robustness of fixed-shape identification for noisy defects . . . . . . . 120 4.5 Data-dependent path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.1 Expansion over the critical edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.2 Graph-theoretic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.4 Detection of defect core size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.5 Estimation of defect motion from still images . . . . . . . . . . . . . 143 4.5.6 Estimation of defect pair annihilation and generation, respectively, from still images . . . 145 4.5.7 Application to irregular grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.6 Comparison of defect identification methods from a robustness point of view 148 4.7 Extensions of the robustness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.7.1 ... to two-dimensional manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.7.2 ... to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Application to Dorsal Closure in Drosophila embryos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Dorsal Closure in the fruit fly Drosophila melanogaster . . . . . . . . . . . . 164 5.1.1 Cytoskeleton, motor proteins, and cell junctions . . . . . . . . . . . 164 5.1.2 Active gel models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1.3 Image acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1.4 Orientation estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2 Topological charge analysis by robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Robustness threshold of edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Sizes of robust areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.3 Total topological charge in the field of view . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.4 Sum of robust charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.3 Further observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 Comparison of robust defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4.1 ... to microscopic defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4.2 ... to image preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Towards parameter estimation from defect dynamics . . . . . . . . . . . . . 202 5.5.1 The amnioserosa as an active nematic material . . . . . . . . . . . . 202 5.5.2 Defect tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.3 Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6 Conclusions and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 / Topologische Defekte sind abgegrenzte Objekte in Vektorfeldern, die in einer großen Bandbreite von Anwendungsfeldern auftreten. Diese reichen von den Materialwissenschaften über Kosmologie und bio-medizinische Bildgebung bis zur Erkennung von Fingerabdrücken. Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich mit topologischen Punkt-Defekten, auch bekannt als singuläre Punkte, in zwei-dimensionalen Vektorfeldern. Neben Euklidischen Vektoren als Darstellung von Betrag und Richtung umfasst das auch nematische Vektoren, die genauso einen Betrag haben, aber deren Richtungsinformation symmetrisch zwischen “vorn” und “hinten” ist. In beiden Fällen ist ein singulärer Punkt oder topologischer Defekt als isolierte Unstetigkeit in einem ansonsten stetigen Vektorfeld definiert. Er wird durch seinen Index oder die topologische Ladung charakterisiert, die ganzzahlige Werte für polare Felder annimmt, und halb-zahlige in nematischen Feldern. Es gibt verschiedene, jedoch äquivalente Weisen, den Index zu definieren. Sie basieren entweder auf Homologiegruppen und dem Brouwer'schen Abbildungsgrad, oder auf der Fundamentalgruppe und deren Abbildungsgrad, oder damit verbunden auf der Hochhebung eines geschlossenen Pfades um den singulären Punkt. Hier wird die Definition mittels Hochhebung verwendet, welche die Änderung des Vektorfeldes entlang eines Pfades in eine summierte Änderung des Orientierungswinkels übersetzt. Dies überträgt sich zu diskretisierten Vektorfeldern, wo die topologische Ladung als Summe über endliche Winkeldifferenzen entlang eines Pfades zwischen Diskretisierungspunkten berechnet wird. Diese Berechungsweise ist bei genauer Betrachtung eine Schätzung, und ihre Korrektheit nur unter zusätzlichen Bedingungen garantiert, zum Beispiel wenn ein zugrundeliegendes Vektorfeld mit kontinuierlichem Definitionsbereich glatt ist und mit hinreichender räumlicher Auflösung abgetastet wurde. Aufgrund der periodischen Darstellung jedes Vektors durch Orientierungswinkel sind andernfalls beliebige Positionen und Ladungen von topologischen Defekten möglich, die zu exakt den gleichen diskretisierten Vektoren führen. Außerdem hängt der Schätzwert der topologischen Ladung nicht kontinuierlich von jedem einzelnen der diskreten Vektoren ab, sondern weist diskrete Sprünge auf. Da Anwendungsdaten meist mit Messunsicherheiten behaftet oder verrauscht sind, steht die Frage, wie verlässlich die darin identifizierten Defekte sind. Die vorliegende Dissertation quantifiziert, wie groß die Störungen eines Vektorfeldes sein dürfen, ohne dass sich topologische Defekte und Ladungen ändern. Dafür wird ein Robustheitsmaß eingeführt, zunächst für jede Kante in einem Diskretisierungsgitter, und darauf basierend für Pfade. Das ermöglicht, die Robustheit der Defekt-Identifizierung gezielt zu erhöhen: Kritische Kanten mit der kleinsten Robustheit innerhalb eines Pfades werden durch andere Pfadstücke ersetzt, die eine minimal größere Fläche begrenzen. Diese datenabhängige “Erweiterung über die kritische Kante” (expansion over the critical edge) wird wiederholt, bis eine benutzerdefinierte Robustheit erreicht ist. Es wird gezeigt, dass die finalen Flächen dieses iterativen Algorithmus minimale Größe und damit höchste räumliche Auflösung haben, die sich zudem lokal an die Qualität der Daten anpasst. Die Flächen ergeben sich auch aus dem Graphen aller hinreichend robusten Kanten durch Löschen aller Knoten vom Grad 1 (Blätter) und der damit verbundenen Kanten. Es stellt sich damit heraus, dass die minimalen robusten Flächen je nach Robustheitsgrenze per Inklusion verkettet sind. Das erlaubt, die Robustheit für die Identifizierung topologischer Ladungen gegen die räumliche Genauigkeit abzuwägen, sowohl innerhalb von vorgegebenen Pfadformen, als auch für die freie, datenabhängige Erweiterung über die kritische Kante. Dabei gibt es — anders als bei Methoden der Defekt-Identifizierung mittels Muster-Erkennung — keine Beschränkung für die detektierbare Ladung. Außerdem wird gezeigt, dass man mit dem Robustheitsmaß die Größe von ungeordneten Kernen der Defekte bestimmen kann. Sogar die mögliche Dynamik von Defekten mit Bewegung, Paarbildung und -auslöschung wird aus den robusten Flächen eines einzelnen Zeitpunktes erkennbar. Die graphentheoretische Darstellung erlaubt dabei auch die Anwendung auf unstrukturierten Diskretisierungsgitter, und eine Erweiterung auf gekrümmte Flächen ist absehbar. Die robuste, datenabhängige Identifizierung von Defekten wird exemplarisch auf Mikroskopie-Bilder der Fruchtfliege Drosophila melanogaster angewendet. Während der Dorsal Closure, einem Entwicklungsprozess, zieht sich eine Zellschicht namens Amnioserosa auf genau regulierte Weise zusammen, wobei die wirkenden Kräfte entlang von Filamenten wie Aktin aktiv erzeugt und übertragen werden. Dabei sind der Aktivitätsgrad und viskoelastische Eigenschaften des Gewebes mit den topologischen Defekten im Orientierungsfeld des Aktins verknüpft. Deren robuste Identifizierung zeigt, dass die Summe der robusten Ladungen eindeutig positiv ist mit dreistelligen Werten, während die Gesamtladung ohne Beachtung der Robustheit um Null schwankt. Es werden zahlreiche Ladungen beobachtet; aber $\pm 1/2$ dominieren und bestätigen die Amnioserosa als nematisches Material, obwohl die molekularen Bestandteile wie Aktin polar sind. Die Größen von robusten Defekten umfassen drei Zehnerpotenzen, und die größten Defekte folgen der Form biologischer Zellen. Die Größenverteilung fällt nach einem Potenzgesetz ab, mit stärkerer negativer Potenz für positive Defekte. Zeitreihen zeigen geringfügig höhere Geschwindigkeit von +1/2 Defekten als von -1/2 Defekten, und deutlich über der Geschwindigkeit des Materialflusses. In Experimenten mit Modifikation im Gen des Proteins Crumbs wurde beobachtet, dass sich die Zellschicht der Amnioserosa in der Entwicklung übermäßig zusammenzieht. Ein Vergleich der Defektgeschwindigkeiten zwischen diesen Embryonen und Wildtyp führt zu der Hypothese, dass die Mutation die Viskosität und die Rotationsviskosität stärker steigen lässt als den Aktivitätsgrad. Diese Hypothese muss jedoch noch durch eine Kombination von Experimenten und Simulationen überprüft werden. Sie wäre aber ohne die Betrachtung von robusten Defekten gar nicht erst möglich gewesen. Das vorgestellte Robustheitsmaß könnte allgemein für vielfältige Disziplinen bei der Analyse topologischer Defekte in diskretisierten Vektorfeldern nützen. Auf Basis der optimalen datenabhängige Identifizierung kann zum Beispiele eine Fehlerrechnung für die Ladung und Lage von Defekten durchgeführt werden. Die Größen, Formen und Inklusionsketten von robusten Defekten bilden interessante neue Beobachtungsgrößen, die allein im Fall der Fruchtfliege zahlreiche weiterführende Fragen aufwerfen und bisher unbekannte Untersuchungen ermöglichen.:1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Application fields of topological defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Challenges of noisy, discretized vector fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Thesis contribution and outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Mathematical background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Polar and nematic vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Isomorphism between polar and nematic vectors in two dimensions . 9 2.2 Homotopy, and (universal) covering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Homotopies and the degree of mappings in the sense of homotopies . 19 2.2.2 Lifting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Defect identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1 Index and topological charge in continuous domains . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1 Definition of topological charge by lift . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 Differential expressions for topological charge . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Topological charge in discrete domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Correct discretization by sufficiently fine discretization . . . . . . . . 53 3.3 Topological charge estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Comparison: defect identification by loop paths . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1 ... equals fixed-size stencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2 ... equals convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.3 ... resembles “diffusive topological charge” . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.4 ... does not improve by larger stencil size . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.5 ... is linked to local maxima of azimuthal change . . . . . . . . . . . 68 3.4.6 ... differs from nematic order parameter thresholds . . . . . . . . . . 68 3.4.7 ... differs from matching with template patterns . . . . . . . . . . . 70 3.4.8 ... extends to irregular and unstructured data . . . . . . . . . . . . . 71 3.5 Discontinuous dependence of defects on discretized vector fields . . . . . . . 72 4 Robustness of defect identification and topological charge estimation in discrete domains . . . 75 4.1 Robustness between two discretization points . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Robustness of a discrete loop path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Magnitude-aware robustness for non-normalized vector fields . . . . . . . . 102 4.4 Robustness for fixed path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1 Robustness of fixed-shape identification for noise-free defects . . . . 117 4.4.2 Robustness of fixed-shape identification for noisy defects . . . . . . . 120 4.5 Data-dependent path shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.1 Expansion over the critical edge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.5.2 Graph-theoretic characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.4 Detection of defect core size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.5 Estimation of defect motion from still images . . . . . . . . . . . . . 143 4.5.6 Estimation of defect pair annihilation and generation, respectively, from still images . . . 145 4.5.7 Application to irregular grids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.6 Comparison of defect identification methods from a robustness point of view 148 4.7 Extensions of the robustness measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.7.1 ... to two-dimensional manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.7.2 ... to higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5 Application to Dorsal Closure in Drosophila embryos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.1 Dorsal Closure in the fruit fly Drosophila melanogaster . . . . . . . . . . . . 164 5.1.1 Cytoskeleton, motor proteins, and cell junctions . . . . . . . . . . . 164 5.1.2 Active gel models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1.3 Image acquisition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1.4 Orientation estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.2 Topological charge analysis by robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.1 Robustness threshold of edges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.2.2 Sizes of robust areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.2.3 Total topological charge in the field of view . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2.4 Sum of robust charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.3 Further observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4 Comparison of robust defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4.1 ... to microscopic defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.4.2 ... to image preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Towards parameter estimation from defect dynamics . . . . . . . . . . . . . 202 5.5.1 The amnioserosa as an active nematic material . . . . . . . . . . . . 202 5.5.2 Defect tracking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.5.3 Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6 Conclusions and discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Abstract The dissertation considers a degree theory and the index of a critical point of demi-continuous, everywhere defined mappings of the monotone type. A topological degree is derived for mappings from a Banach space to its dual space. The mappings satisfy the condition (S+), and it is shown that the derived degree has the classical properties of a degree function. A formula for the calculation of the index of a critical point of a mapping A : X→X* satisfying the condition (S+) is derived without the separability of X and the boundedness of A. For the calculation of the index, we need an everywhere defined linear mapping A' : X→X* that approximates A in a certain set. As in the earlier results, A' is quasi-monotone, but our situation differs from the earlier results because A' does not have to be the Frechet or Gateaux derivative of A at the critical point. The theorem for the calculation of the index requires a construction of a compact operator T = (A' + Γ)-1Γ with the aid of linear mappings Γ : X→X and A'. In earlier results, Γ is compact, but here it need only be quasi-monotone. Two counter-examples show that certain assumptions are essential for the calculation of the index of a critical point.