Le but de cette thèse est de développer une méthode de volumes finis qui s'applique à une classe de maillages beaucoup plus grande que celle des méthodes classiques, limitées par des conditions d'orthogonalité très restrictives. On construit des opérateurs différentiels discrets agissant sur les trois maillages décalés nécessaires à la construction de la méthode. Ces opérateurs vérifient des propriétés discrètes analogues à celles des opérateurs continus. La méthode est tout d'abord appliquée au problème divergence-rotationnel qui peut etre considéré comme une brique du problème de Stokes. Ensuite, le problème de Stokes est discrétisé avec diverses conditions aux limites. Par ailleurs, il est bien connu que lorsque le domaine est polygonal et non-convexe, l'ordre de convergence des méthodes numériques se dégrade. Par conséquent, nous avons étudié sous quelles conditions un raffinement local approprié permet de restaurer l'ordre de convergence optimal. Enfin, nous avons discrétisé le problème non-linéaire de Navier-Stokes, en utilisant la formulation rotationnelle du terme de convection, associée à la pression de Bernoulli. Par un algorithme itératif, nous sommes amenés à résoudre un problème de point-selle à chaque itération, pour lequel nous testons quelques préconditionneurs issus des éléments finis, que l'on adapte (quand c'est possible) à la méthode. Chaque problème est illustré par des cas tests numériques sur des maillages "arbitraires", tels que des maillages fortement non-conformes.

Un polyèdre fuchsien de l'espace hyperbolique est une surface polyédrale invariante sous l'action d'un groupe fuchsien d'isométries (c.a.d. un groupe d'isométries qui laissent globalement invariante une surface totalement géodésique et sur laquelle il agit de manière cocompacte). La métrique induite sur un polyèdre fuchsien convexe est isométrique à une métrique hyperbolique avec des singularités coniques de courbure singulière positive sur une surface compacte de genre $>1$. On démontre que ces métriques sont en fait réalisées par un unique polyèdre fuchsien convexe (modulo les isométries globales). Ce résultat étend un théorème célèbre de A.D. Alexandrov. <br />On montre aussi que chaque métrique à courbure constante avec des courbures singulières négatives sur une surface compacte de genre $>1$ peut-être réalisée par un unique polyèdre ``fuchsien'' convexe dans un espace modèle lorentzien.<br />Finalement on présente des extensions possibles de ces résultats, ce qui amène à des énoncés généraux sur la réalisation de métriques sur les surfaces.

Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées comme les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme.<br /><br />Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine C^n. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : |grad_Wf(z)|_W est minoré. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs controlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur.<br /><br />Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lê et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale.<br /><br />Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine C^n.

L’objectif principal de cette thèse est divisée en deux parties. La première partie est consacrée à l’étude du problème, { −Δu + u = 0 dans Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ sur ∂Ω, (0.1) où Ω est un ouvert régulier borné de ℝᴺ, g(·) est une fonction continue qui vérifie la condition du signe s · g(s) ≥ 0, dans certains modèles on ajoute l’hypothèse g(·) croissante, et finalement μ est une mesure bornée sur ∂Ω. Certains de nos résultats sont valables lorsque Ω := ℝᴺ+ . On commencera par montrer l’existence de solution de (0.1) lorsque μ est une fonction de L1(∂Ω), et cela sans ajouter une hypothèse supplémentaire sur g(·). Puis, on étudiera (0.1) lorsque μ est une mesure de Radon sur ∂Ω, dans ce contexte, le problème (0.1) pourra ne pas admettre une solution, et des conditions apparaissent sur g(·) et sur μ pour assurer l’existence d’une solution. On montrera l’existence de solutions lorsque, g(·) est une non-linéarité sous-critique en dimension N supérieure ou égale à trois, et lorsque g(·) satisfait l’hypothèse de singularité faible sur le bord en dimension N égale à deux (voir Chapitre 2 pour définitions). / The main aim of this thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the problem, { −Δu + u = 0 in Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ on ∂Ω, (0.3) where Ω is a bounded regular domain of ℝᴺ, g(·) is a continuous function that satisfies the sign condition s · g(s) ≥ 0, in some model case we will assume that g(·) is increassing, and finally μ is a bounded measure on ∂Ω. Some of our results remain true when Ω := ℝᴺ+ . We will start by proving the existence of a solution of (0.3) when μ is an L1(∂Ω) function, and this independently of the nonlinearity g(·) that satisfies the previous hypothesis. Then, we will study (0.3) when μ is a Radon measure on ∂Ω. In such a context, some new conditions appear on g(·) and μ that assure the existence of a solution. We will prove the existence of a solution when g(·) is a sub-critical nonlinearity in dimension N larger or equal to three, and when g satisfies the weak singularity assumption on the boundary in case N equals two (see Chapter 2 for the definitions).

Soit $X$ une variété algébrique de Gorenstein à singularités rationnelles. Une résolution des singularités crépante de $X$ est souvent considérée comme une résolution des singularités minimales de $X$. Malheureusement, les résolutions crépantes sont très rares. Ainsi, les variétés déterminantielles de matrices anti-symétriques n'admettent jamais de résolution crépante des singularités. Dans cette thèse, on discutera de diverses notions de résolutions catégoriques crépantes développées par Alexander Kuznetsov. Conjecturalement, ces résolutions doivent être minimale du point de vue catégorique. On introduit dans ce manuscrit la notion de résolution magnifiques des singularités et on montre que tout variété munie d'une telle résolution admet une résolution catégorique faiblement crépante. On en déduit que toutes les variétés déterminantielles (carrées, symétriques et anti-symétriques) admettent des résolutions catégoriques faiblement crépantes. Finalement, on s'intéressera à des hypersurfaces quartiques issues du carré magique de Tits-Freudenthal. On ne peut pas construire de résolution magnifique des singularités pour de telles hypersurfaces, mais on montrera qu'elles admettent tout de même des résolutions catégorique faiblement crépantes des singularités. Ce résultat devrait s'avérer intéressant pour la construction de duales projectives homologiques de certaines Grassmaniennes symplectiques sur les algèbres de composition. / Let $X$ be an algebraic variety with Gorenstein rational singularities. A crepant resolution of $X$ is often considered to be a minimal resolution of singularities for $X$. Unfortunately, crepant resolution of singularities are very rare. For instance, determinantal varieties of skew-symmetric matrices never admit crepant resolution of singularities. In this thesis, we discuss various notions of categorical crepant resolution of singularities as defined by Alexander Kuznetsov. Conjecturally, these resolutions are minimal from the categorical point of view. We introduce the notion of wonderful resolution of singularities and we prove that a variety endowed with such a resolution admits a weakly crepant resolution of singularities. As a corollary, we prove that all determinantal varieties (square, as well as symmetric and skew-symmetric) admit weakly crepant resolution of singularities. Finally, we study some quartics hypersurfaces which come from the Tits-Freudenthal magic square. Though they do no admit any wonderful resolution of singularities, we are still able to prove that they have a weakly crepant resolution of singularities. This last result should be of interest in order to construct homological projective duals for some symplectic Grassmannians over the composition algebras.

Cette thèse s’inscrit dans la problématique générale de la caractérisation et de la classification des systèmes. Plus précisément, nos contributions s’orientent vers les applications robotiques et, plus particulièrement, vers la classification de manipulateurs. Les algorithmes et méthodologies proposés dans ce document s’appuient sur plusieurs théories mathématiques dont la théorie des singularités et l’Analyse par Intervalles, qui sont formalisés dans la première partie de cette Thèse.Classifier des systèmes induit deux objectifs que sont la formalisation des éléments communs aux systèmes dans la même classe ainsi que leur détection formelle et pratique. Ainsi, ce mémoire compile, pour chacun dans un chapitre dédié, nos contributions vis-à-vis de ces deux objectifs associés à la classification. Une méthodologie générale est proposée, afin de distinguer plusieurs sous ensembles singuliers caractéristiques et génériquement non vides. Cette méthodologie est illustrée pour des fonctions entre espaces de même dimension, allant de 1à 3. Chaque application met en lumière des propriétés différentes de la méthodologie générale proposée.Complémentairement, chacune de ces applications mène à la conception d’algorithmes, basé sur l’Analyse par Intervalles, mettant en œuvre cette méthodologie.Complémentairement à la détection de points d’intérêt,nous présentons une méthodologie générale pour définir un objet combinatoire codant le comportement d’une fonction. Cette méthodologie s’appuie sur la détection préalable d’ensembles d’intérêt dont les topologies sont invariantes pour l’équivalence choisie. Ces développements ouvrent vers de nombreuses perspectives futures qui concluent ce mémoire. / This thesis is within the scope of the general problematic of characterizing and classifying systems. More precisely, our contributions are aimed toward robotic applications and, more particularly, at the classification of manipulators. The algorithms and methodologies proposed in this document are based upon several mathematical theories including Singularity Theory and Interval Analysis, which are formalized in the first part of this Phd Thesis report. Classifying systems induces two objectives that are the formalization of the elements commons to systems in the same class as well as their formal and practical detection. Then, this report compiles, for each one in a dedicated chapter, our contributions regarding these two objectives associated with the classification. A general methodology is proposed, with the objective to distinguish several characteristic singular subsets that prove to be generically not empty. This methodology is illustrated for functions between spaces of the same dimension, ranging from 1 to 3. Each application highlights different properties that are admitted by the proposed general methodology. Furthermore, each of these applications leads to the conception of severalalgorithms, based on Interval Analysis, that enforce the proposed methodology. Complementarily to the detection of interest points, we introduce a general methodology to define a combinatorial object encoding the behavior of a function. This methodology is based on the preliminary detection of interest sets whose topologies are invariant for the chosen equivalence. These developments open up to numerous future perspectives that conclude this report.

Le procédé de placement de fibres automatisé (AFP) a démontré depuis longtemps ses nombreux atouts pour la fabrication de grandes structures de géométries complexes et variées en matériaux composites. Cependant, un des freins de ce procédé est lié aux singularités pouvant apparaitre lors de l’optimisation des trajectoires de drapage. Dans le cadre de ces travaux de recherche, il a été entrepris de déterminer l’influence de la présence de ces singularités tant au niveau de la microstructure que des propriétés mécaniques. Des singularités de nature et de géométrie différentes telles que des gaps et overlaps ont ainsi été introduites volontairement au sein de stratifiés en carbone – époxy drapées par le procédé de placement de fibres automatisé. Leur influence sur différentes configurations d’empilement a été mesurée grâce à la réalisation de nombreux essais mécaniques permettant de déterminer les propriétés dans le plan (traction, compression et cisaillement plan) et des propriétés hors axes (cisaillement interlaminaire, délaminage en mode 1 et en mode 2). Ces premiers essais réalisés à l’échelle d’éprouvette ont été étendus à l’échelle d’une plaque en composite sollicitée sous pression afin de se rapprocher d’un élément de structure. L’ensemble des résultats a mis en évidence un effet local des singularités qui peut être accentué ou non en fonction des conditions de mise en oeuvre. En effet, la présence d’une contre plaque lors de l’étape de cuisson en autoclave permet un mouvement de la matière qui, en fonction de ses propriétés intrinsèques, entraîne une cicatrisation complète ou partielle des singularités diminuant ainsi leur influence. La connaissance des limitations du procédé de placement de fibres automatisé peut permettre d’ouvrir de nouvelles perspectives d’avenir et de challenge dans la fabrication de structures composites. De nouvelles possibilités de drapage de matériaux biocomposites réalisés à partir de fibres de lin et de matières thermoplastiques sont ainsi envisagées à la fin de ces travaux. / Automated fibre placement (AFP) shows great potential for the manufacture of large complex composite structures. However, one of the factors limiting more widespread applications of this process is the appearance of singularities when lay-up trajectories are optimized. In this study the influence of geometrical singularities has been studied, both in terms of microstructure and mechanical properties. Different types of singularity, gaps and overlaps, have been deliberately introduced into carbon - epoxy laminates by AFP. Their influence has been evaluated by mechanical testing, both in-plane (tension, compression, shear), and out of plane (interlaminar shear, mode I and mode II delamination). A test has then been developed to simulate the response of a small structure, by transverse pressure loading of plates with and without singularities. Overall, the results show a local effect of these defects on the microstructure which can be accentuated by manufacturing conditions. The use of a caul plate allows local material movements which can result in healing of defects during autoclave cure. The understanding of the AFP process acquired here has enabled new possibilities for manufacturing to be developed. A preliminary study of flax fibre reinforced thermoplastic has been performed, which shows promise for the development of complex biocomposite structures.

L'espace de modules Mgbar des courbes stables de genre g est un object central en géométrie algébrique. Du point de vue de la géométrie birationelle, il apparaît naturel se demander si Mgbar est de type générale. Harris-Mumford et Eisenbud-Harris ont montré que Mgbar est de type générale pour un genre g>=24 et g=22. Le cas g=23 est encore misterieux. Dans les dix dernières années une nouvelle approche a émergé, dans l'essai de clarifier ça : l'idée est celle de considérer de recouvrement fini de Mgbar qui sont des espaces de modules de courbes stables munies d'une structure additionnelle comme un l-recouvrement (racine l-ième du fibré trivial) ou un fibré l-spin (racine l-ième du fibré canonique). Ces espaces ont la propriété que la transition au type générale se produit à un genre inférieur. Dans ce travail nous voulons généraliser cette approche de deux façons : - un étude de l'espace de modules des courbes avec une racine d'une puissance quelconque du fibré canonique ; - un étude de l'espace de modules des courbes avec un G-recouvrement pour un quelconque G groupe fini. Pour définir ces espaces de modules nous utilisons la notion de courbe twisted (voir Abramovich-Corti-Vistoli). Le résultat fondamental obtenu est qu'il est possible de décrire le lieu singulier de ces espaces de modules par la notion de graphe dual d'une courbe. Grace à cette analyse, nous pouvons developper des calculs dans l'anneau tautologique des espaces, et en particulier nous conjecturons que l'espace de modules des courbes avec un S3-recouvrement est de type générale pour genre impaire g>=13. / The moduli space Mgbar of genus g stable curves is a central object in algebraic geometry. From the point of view of birational geometry, it is natural to ask if Mgbar is of general type. Harris-Mumford and Eisenbud-Harris found that Mgbar is of general type for genus g>=24 and g=22. The case g=23 keep being mysterious. In the last decade, in an attempt to clarify this, a new approach emerged: the idea is to consider finite covers of Mgbar that are moduli spaces of stable curves equipped with additional structure as l-covers (l-th roots of the trivial bundle) or l-spin bundles (l-th roots of the canonical bundle). These spaces have the property that the transition to general type happens to a lower genus. In this work we intend to generalize this approach in two ways: - a study of moduli space of curves with any root of any power of the canonical bundle; - a study of the moduli space of curves with G-covers for any finite group G. In order to define these moduli spaces we use the notion of twisted curve (see Abramovich-Corti-Vistoli). The fundamental result obtained is that it is possible to describe the singular locus of these moduli spaces via the notion of dual graph of a curve. Thanks to this analysis, we are able to develop calculations on the tautological rings of the spaces, and in particular we conjecture that the moduli space of curves with S3-covers is of general type for odd genus g>=13.

Cette thèse porte sur le problème de la diffration acoustique par un obstacle et sa résolution numérique par la méthode des éléments finis de frontière. Dans les trois premiers chapitres, on s'intéresse au cas où l'obstacle possède des singularités géométriques. Nous traitons le cas particulier des singularités de bord, courbes ouvertes en dimension 2, et surfaces ouvertes en dimension 3. Nous introduisons un formalisme qui permet de retrouver les bonnes propriétés de la méthode pour des objets réguliers. Une fonction de poids est définie sur les objets diffractant, et les opérateurs intégraux usuels (simple-couche et hypersingulier) sont renormalisés de manière adéquate par ce poids. Des préconditioneurs sont proposés sous la forme de racines carrées d'opérateurs locaux. En dimension 2, nous proposons une analyse théorique et numérique complète du problème. Nous montrons en particulier que les opérateurs intégraux renormalisés font partie d'une classe d'opérateurs pseudo-différentiels sur des courbes ouvertes, que nous introduisons et étudions ici. Le calcul pseudo-différentiel ainsi développé nous permet de calculer des paramétrices des les opérateurs intégraux qui correspondent aux versions continues de nos préconditionneurs. En dimension 3, nous montrons comment ces idées se généralisent théoriquement et numériquement dans le cas pour des surfaces ouvertes. Dans le dernier chapitre, nous introduisons une nouvelle méthode de calcul rapide des convolutions par des fonctions radiales en dimension 2, l'une des tâches les plus coûteuses en temps dans la méthode des éléments finis de frontière. Notre algorithme repose sur l'algorithme de transformée de Fourier rapide non uniforme, et est la généralisation un algorithme analogue disponible en dimension 3, la décomposition creuse en sinus cardinal. / In this thesis, we are concerned with the numerical resolution of the problem of acoustic waves scattering by an obstacle in dimensions 2 and 3, with the boundary element method. In the first three chapters, we consider objects with singular geometries. We focus on the case of objects with edge singularities, first open curves in the plane, and then open surfaces in dimension 3. We present a formalism that allows to restore the good properties that held for smooth objects. A weight function is defined on the scattering object, and the usual layer potentials (single-layer and hypersingular) are adequately rescaled by this weight function. Suitable preconditioners are proposed, that take the form of square roots of local operators. In dimension 2, we give a complete theoretical and numerical analysis of the problem. We show in particular that the weighted layer potentials belong to a class of pseudo-differential operators on open curves that we define and analyze here. The pseudo-differential calculus thus developed allows us to compute parametrices for the weighted layer potentials, which correspond to the continuous versions of our preconditioners. In dimension 3, we show how those ideas can be extended theoretically and numerically, for the particular case of the scattering by an infinitely thin disk. In the last chapter, we present a new method for the rapid evaluation of discrete convolutions by radial functions in dimension 2. Such convolutions represent a computational bottleneck in the boundary element methods. Our algorithm relies on the non-uniform fast Fourier transform and generalizes to dimension 2 an analogous algorithm available in dimension 3, namely the sparse cardinal sine decomposition.

Les méthodes d’intégration de jauge, telle que l’intégrale de Pfeffer sur les ensembles bornés de périmètre fini sont particulièrement adaptées à l’étude des grands théorèmes d’intégration que sont le Théorème Fondamental de l’Analyse, le Théorème de la Divergence et le Théorème de Stokes. Dans cette thèse, ces outils sont transposés à l’intégration sur des domaines singuliers, vus comme des courants entiers au sens de Federer et Fleming. On obtient un critère d’effaçabilité pour les singularités des courants considérés : les courants ayant un ensemble singulier de contenu de Minkowski relatif fini satisfont un Théorème de Stokes général, c’est le cas notamment des courants définissables dans une structure o-minimale quelconque, c’est aussi le cas de courants minimiseurs de masse sans singularité au bord. A contrario, on construit un courant de dimension 2 dans ℝ3 ayant un ensemble singulier réduit à un point, qui ne vérifie pas ce Théorème de Stokes général.Cette thèse contient aussi les définitions de méthodes d’intégration non absolument convergentes sur tout courant entier de dimension 1, ainsi que sur les courants entiers de dimension quelconque dans un espace euclidien dont les singularités sont effaçables. / Methods of gauge integration, like those developped by W. F. Pfeffer on bounded sets of finite perimeter, are well suited to the study of integration theorems, such as the Fundamental Theorem of Calculus, The Divergence Theorem and Stokes’ Theorem. In this thesis, Pfeffer Integration is transposed to the context of integral currents in the sense of Federer and Fleming. Not all integral currents are adapted to this type of gauge integration and a criterion on the singular set of the current is obtained. Well behaved currents include all 1-dimensional integral currents, integral currents definable in an o-minimal structure and mass minimizing integral currents whenever the boundary singularities are controlled. All those currents are shown to satisfy a general Stokes’ Theorem. On the other hand, an example is given of an integral current of dimension 2 in ℝ3 with only one singular point, which does not satisfy such a general Stokes-Cartan Theorem. This thesis also contains the definitions of non-absolutely convergent integrations methods on 1-dimensionalintegral currents as well as on integral currents of any dimension in Euclidean space, whenever their singular set has controlled relative Minkowski content.