L’objectif principal de cette thèse concerne l’étude, la conception et la mise en œuvre numérique de schémas volumes finis associés aux solveurs de type Godunov. On s’intéresse à des systèmes hyperboliques de lois de conservation non linéaires, avec une attention particulière sur les équations d’Euler et les équations MHD idéale. Tout d’abord, nous dérivons un solveur de Riemann simple et véritablement multidimensionnelle, pouvant s’appliquer à tout système de lois de conservation. Ce solveur peut être considéré comme une généralisation 2D de l’approche HLL. Les ingrédients de base de la dérivation sont : la consistance avec la formulation intégrale et une utilisation adéquate des relations de Rankine-Hugoniot. Au final nous obtenons des expressions assez simples et applicables dans les contextes des maillages structurés et non structurés. Dans un second temps, nous nous intéressons à la préservation, au niveau discret, de la contrainte de divergence nulle du champ magnétique pour les équations de la MHD idéale. Deux stratégies sont évaluées et nous montrons comment le solveur de Riemann multidimensionnelle peut être utilisé pour obtenir des simulations robustes à divergence numérique nulle. Deux autres points sont abordés dans cette thèse : la méthode de relaxation pour un système Euler-Poisson pour des écoulements gravitationnels en astrophysique, la formulation volumes finis en coordonnées curvilignes. Tout au long de la thèse, les choix numériques sont validés à travers de nombreux résultats numériques. / The main objective of this thesis concerns the study, design and numerical implementation of finite volume schemes based on the so-Called Godunov-Type solvers for hyperbolic systems of nonlinear conservation laws, with special attention given to the Euler equations and ideal MHD equations. First, we derive a simple and genuinely two-Dimensional Riemann solver for general conservation laws that can be regarded as an actual 2D generalization of the HLL approach, relying heavily on the consistency with the integral formulation and on the proper use of Rankine-Hugoniot relations to yield expressions that are simple enough to be applied in the structured and unstructured contexts. Then, a comparison between two methods aiming to numerically maintain the divergence constraint of the magnetic field for the ideal MHD equations is performed and we show how the 2D Riemann solver can be employed to obtain robust divergence-Free simulations. Next, we derive a relaxation scheme that incorporates gravity source terms derived from a potential into the hydrodynamic equations, an important problem in astrophysics, and finally, we review the design of finite volume approximations in curvilinear coordinates, providing a fresher view on an alternative discretization approach. Throughout this thesis, numerous numerical results are shown.

Le présent travail est consacré à l’approximation numérique des solutions du modèle aux moments M1 pour le transfert radiatif. Il s’agit, ici, de développer des solveurs numériques performants et précis capables de prédire avec précision et robustesse des écoulements où le transfert radiatif joue un rôle essentiel. Dans ce sens, plusieurs méthodes numériques ont été envisagées pour la dérivation des schémas numériques de type solveur de Godunov. Une attention particulière a été portée sur les solveurs préservant les ondes de contact stationnaires. En particulier, un schéma de relaxation et un solveur HLLC sont présentés dans ce travail. Pour chacun de ces solveurs, la robustesse de la méthode a été établie (positivité de l’énergie radiative et limitation du flux radiatif). La validation et l’intérêt des méthodes abordées sont exhibés à travers de nombreuses expériences numériques mono et multidimensionelles. / The present work is dedicated to the numerical approximation of the M1 moments model solutions for radiative transfer. The objective is to develop efficient and accurate numerical solvers, able to provide with precise and robust computations of flows where radiative transfer effects are important. With this aim, several numerical methods have been considered in order to derive numerical schemes based on Godunov type solvers. A particular attention has been paid to solvers preserving the stationary contact waves. Namely, a relaxation scheme and a HLLC solver are presented in this thesis. The robustness of each of these solvers has been established (radiative energy positivity and radiative flux limitation). Several numerical experiments in one and two space dimensions validate the developed methods and outline their interest.

Ce sujet concerne un travail pluridisciplinaire mathématique et astrophysique. Le but de cette thèse est l'étude des modèles d'hydrodynamique radiative dont l'application est bien évidemment très vaste en physique et astrophysique. Les modèles M1-multigroupes sont explorés pour décrire le transfert radiatif sans faire à priori d'hypothèse sur la profondeur optique du milieu. L'intérêt qui découle directement de ce travail est le développement du code d'hydrodynamique radiative HADES 2D permettant le calcul massivement parallèle. Il autorise des simulations dans des configurations astrophysiques réalistes en termes de nombre de Mach et de contraste de densité et de température entre les différents milieux. Nous nous sommes concentrés sur deux applications intéressantes : les jets d'étoiles jeunes et les chocs radiatifs dont les premières simulations seront présentées. / This topic is a multidisciplinary work between mathematics and astrophysics. The aim of this thesis is the study of radiation hydrodynamic models of which application is obviously very broad in physics and astrophysics. M1-multigroup models are explored to describe the radiative transfer without a priori assumption on the optical depth of the medium. The interest ensuing directly from this work is the development of a radiation hydrodynamic code, namely HADES 2D, for massively parallel computing. It allows simulations in realistic astrophysical configurations in terms of Mach number, density and temperature contrasts between different environments. We focused on two interesting applications: the jets from young stars and the radiative shocks of which first simulations will be presented.

Dans ce mémoire, on s'intéresse à la simulation des écoulements liquide-vapeur en transition de phase. Pour décrire ces écoulements, une approche bifluide moyennée à deux pressions indépendantes est retenue. Cette description du mélange liquide-vapeur s'appuie sur le modèle à sept équations de Baer et Nunziato. On étudie les aptitudes de cette modélisation à simuler les transitions de phase apparaissant en ingénierie nucléaire.<br /><br />Dans un premier temps, on élabore un cadre thermodynamique théorique pour décrire les écoulements liquide-vapeur. Dans ce cadre, on réalise la fermeture du modèle de Baer et Nunziato. De nouvelles modélisations sont proposées pour les termes d'interaction entre les phases. Ces nouvelles modélisations dotent le modèle bifluide à deux pressions d'une inégalité d'entropie. On étudie ensuite les propriétés mathématiques de ce modèle. Sa partie convective hyperbolique se présente sous une forme non-conservative. On étudie tout d'abord la définition de ses solutions faibles. Divers régimes d'écoulement sont alors mis à jour pour le mélange diphasique. Ces différents régimes d'écoulement présentent des analogies avec le comportement fluvial et torrentiel des écoulements en rivière. Les stabilités linéaire et non-linéaire de l'équilibre liquide-vapeur sont ensuite établies. Pour affiner notre description des interactions diphasiques, on étudie pour finir l'implémentation d'un modèle de turbulence, ainsi que l'implémentation d'une procédure de reconstruction pour la densité d'aire interfaciale.<br /><br />On s'intéresse ensuite à la simulation de ce modèle. Suivant une approche à pas fractionnaires, une méthode numérique est élaborée dans un formalisme Volumes Finis. Pour réaliser l'approximation de la partie convective, diverses adaptations non-conservatives de solveurs de Riemann standard sont tout d'abord proposées. A l'inverse du cadre non-conservatif classique, l'ensemble de ces schémas converge vers une unique solution. Un nouveau schéma de relaxation est ensuite proposé pour approcher la dynamique des transferts interfaciaux. L'ensemble de la méthode numérique se caractérise alors par la préservation des équilibres liquide-vapeur. Dans un premier temps, cette méthode numérique est employée à la comparaison des différentes modélisations bifluides à une et deux pressions. On l'applique ensuite à la simulation des écoulements liquide-vapeur dans les circuits hydrauliques des réacteurs à eau sous pression en configuration accidentelle.

Nous avons étudié des méthodes de volumes finis pour la simulation numérique d'un flux impliquant deux phases incompressibles ou deux phases générales compressibles en déséquilibre mécanique. Les principales difficultés du régime où il y a une apparition de phase ou une disparition de phase est la singularité de la vitesse. Nous montrons que l'utilisation du l'entropie correction améliorer beaucoup ces problèmes. Enfin, nous simulons certains tests numériques importants pour vérifier les méthodes numériques, telles que la séparation de phase par gravité ou un canal bouillant. / We investigated some finite volume methods for the numerical simulation of a flow involving two incompressible phases or general two compressible phases in mechanical disequilibrium. The main difficulties of the regime where there is either a phase appearance or a phase disappearance is the singularity of the velocity. We show that using the entropy fix will much improve these problems. Finally, we perfom some important numerical tests to verify the numerical methods, such as a phase separation by gravity or a boiling channel.

Dans l'industrie d'extraction pétrolière, l'efficacité des séparateurs eau-huile pour la production offshore est cruciale. L'objet de ce travail est de mettre en place les outils numériques nécessaires à la modélisation du fonctionnement de ces systèmes. Les phénomènes physiques entrant en jeu sont principalement : la présence d'interfaces entre des fluides non miscibles, la viscosité de ces fluides, et les effets de tension superficielle. Les modèles physiques et numériques correspondants ont été implémentés dans le cadre de la méthode numérique SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) développée au L.M.F.. Cette méthode numérique appartient à la classe des méthodes particulaires (sans maillage), suivant une approche d'écoulement compressible et avec une résolution explicite. Pour modéliser au mieux les écoulements bifluides, la formulation historique de la SPH a été enrichie par deux approches différentes, développées simultanément. Chacune d'entre elles a été validée séparément. La physique supplémentaire a été rajoutée par des modèles communs qui ont été validés sur différents cas tests tels que l'écoulement de Poiseuille, les instabilités de Rayleigh-Taylor, des cas d'envahissement ou l'évolution de bulles dans un liquide. Ce dernier cas a permis la comparaison aux outils de conception utilisés dans le procédé d'ingénierie de SAIPEM S.A., par l'intermédiaire d'une validation sur la loi de Stokes. Finalement, les capacités de la méthode sont illustrées sur la séparation eau-huile dans un séparateur de géométrie simplifiée.

Ce travail porte sur la simulation numérique des écoulements multiphasiques compressibles en déséquilibre de vitesses. Un solveur de Riemann diphasique de type HLLC, à la fois robuste, simple et précis est développé et validé à partir de solutions exactes et de données expérimentales. Cette méthode numérique est étendue au cas 3D non-structuré. Par ailleurs, la construction d’une technique numérique pour la répartition de l’énergie d’une onde de choc dans les différentes phases constituant le milieu est établie et permet le respect des conditions de choc multiphasiques. L’extension multiphasique du solveur de Riemann de type HLLC est réalisée, permettant ainsi la simulation d’une plus large gamme d’applications. Enfin, un modèle de transfert de chaleur et de masse dans un brouillard de gouttes ou nuage de bulles, en présence d’effets couplés de diffusion thermique et massiques, est proposé et dévoile des résultats intéressants. / This work deals with the numerical simulation of compressible multiphase flows in velocity disequilibrium. A HLLC-type two-phase Riemann solver is developed and validated against exact solutions and experimental data. This solver is robust, simple, accurate and entropy preserving. The numerical method is then implemented in 3D unstructured meshes. Furthermore, a numerical technique consisting in enforcing the correct energy partition at a discrete level in agreement with the multiphase shock relations is built. The multiphase extension of the HLLC-type Riemann solver is realized and allows the simulation of a wide range of applications. Finally, a droplet heat and mass transfer model with large range of validity is derived. It is valid in any situation: evaporation, flashing and condensation. It accounts for coupled heat and mass diffusion in the gas phase, thermodynamics of the multi-component gas mixture and heat diffusion inside the liquid droplet, enabling in this way consideration of both droplets heating and cooling phenomena.

Afin d'étudier le comportement des organes de robinetterie, notamment des soupapes de sûreté à ressort, en conditions accidentelles, on s'est intéressé à la simulation des écoulements avec autovaporisation. Ces écoulements diphasiques sont susceptibles d'être rencontrés dans toute installation industrielle utilisant des liquides sous pression. Dans le cas de l'ouverture d'une soupape, la dynamique du clapet est particulièrement sensible aux variations de la pression sous celui-ci. Il est donc indispensable de pouvoir simuler précisément des transitoires très rapides. Cette recherche a été menée selon deux axes : 1°) La modélisation physique du mécanisme de vaporisation par dépressurisation. 2°) La simulation numérique des modèles dans le cas d'écoulements fortement instationnaires. D'un point de vue physique, deux modèles d'autovaporisation ont été étudiés ; le modèle homogène relaxé (HRM), proposé par Bilicki et al., et le modèle développé par Jones et al.. Ils supposent tous les deux l'égalité des pressions et des vitesses dans les phases liquide et gazeuse, et que la vapeur apparaît dans les conditions de saturation. Une comparaison des résultats de ces modèles a été effectuée dans le cas d'écoulements stationnaires, en s'appuyant sur les données expérimentales mesurées sur la boucle Super Moby-Dick du Commissariat à l'Energie Atomique (CEA) de Grenoble. Concernant l'aspect numérique, Il est à noter que les systèmes d'équations obtenus sont inconditionnellement hyperboliques, mais non conservatifs dans le cas unidimensionnel, à cause de la présence des termes de variation de la section en espace et en temps. Des schémas numériques de type Volumes Finis ont donc été développés pour prendre en compte la présence de termes sources raides, et l'utilisation de lois d'état complexes pour des fluides réels. Une attention particulière a été portée sur le calcul des conditions aux limites. Trois schémas numériques ont été testés, VFROE en variables non conservatives, le schéma de Rusanov, et une version modifiée du schéma de Roe. Une étude comparative détaillée des performances de chaque schéma a été menée pour des écoulements instationnaires et stationnaires gazeux, liquides et diphasiques. Elle met en évidence que le schéma VFROE-ncv est le plus précis, et que le schéma de Rusanov est le plus robuste. Une stratégie combinant ces deux schémas est donc envisagée.