of doctoral thesis Title: Teaching a Spatial Geometry and Developing Spatial Abilities Using a Computer Author: Šárka Gergelitsová Department: Department of Software and Computer Science Education Supervisor: RNDr. Tomáš Holan, Ph.D., Department of Software and Computer Science Education Abstract: In this thesis we present a contemporary overview of current possibilities of using computer support for teaching geometry and the development of spatial imagination. The materials are aimed at the secondary school curriculum (for students 15-19 years old), many of them, however, could be used for younger or older students. The work is outlined as a tool and a set of teaching materials for teachers. The basic part of this thesis is a set of commented examples and tasks that can be solved by the use of dynamic geometry systems including the 3D models for these tasks. The set consists of more than 100 problems and examples with hints or answers and includes a CD with more than 300 supportive models including models-templates for creating tests. Materials include some prepared spatial imagination tests and quizzes. Some of the mo- dels serve as a tool for their design and offer automatic solution checking. We present also our own set of educational applications and games created to support the im- provement...

Este trabalho apresenta uma proposta para o ensino de Geometria Espacial com a utilização do software de Geometria dinâmica Calques 3D. A proposta tem como foco o desenvolvimento de habilidades para visualizar objetos 3D a partir de suas representações no plano. Faz parte da proposta uma sequência didática com atividades em crescente exigência quanto a visualização: no Calques 3D, inicialmente, os alunos construíram sólidos a partir de informações dadas através de desenhos em perspectiva, depois através de planificações e por último usando apenas a descrição dos sólidos. Como metodologia de pesquisa foi utilizada a Engenharia Didática e através das análises a posteriori foi possível observar o progresso dos alunos quanto ao desenvolvimento de habilidades para visualização espacial. / This work presents a proposal for the teaching of spatial geometry with the use of dynamic geometry software Calques 3D. The objective of this proposal is to develop the visualization of spatial objects and the understanding of their bidimensional representations. It was designed a sequence of activities that called for the construction of various geometric solids in the software Calques 3D using the designs of perspective representation, the designs of planification and the written description of the characteristics of the solids. The research methodology was the Didactical Engineering and the posteriori analysis showed the students´s progress related to visualization abilities.

No ensino da Geometria Espacial é notável a dificuldade de nossos alunos em atividades que necessitam a mobilização de habilidades espaciais e nas quais é exigida a compreensão da representação bidimensional de objetos tridimensionais. Este estudo apresenta uma sequência didática que explora conceitos da Geometria Espacial através da utilização do software de geometria dinâmica GeoGebra. A proposta tem como objetivo provocar o desenvolvimento do pensamento geométrico espacial, nisso tirando-se proveito dos recursos de representação que se tem no software, especialmente aquele que diz respeito a interação dinâmica entre as representações do objeto tridimensional e diferentes planos de corte. São dez atividades, em crescente nível de dificuldade e envolvendo diferentes conceitos da Geometria Espacial. A análise da produção dos alunos é feita a luz das teorias de Van Hiele, Duval e Gutiérrez. A metodologia de pesquisa é inspirada na Engenharia Didática e foi possível sinalizar, a partir do confronto entre análises a priori e a posteriori, o progresso dos alunos quanto ao desenvolvimento de habilidades para visualização espacial. / In teaching the Spatial Geometry is remarkable the students difficulty in activities that require spatial skills and the understand of the two-dimensional representation of three-dimensional objects. This study presents a didactic sequence that explores concepts of Spatial Geometry using the software GeoGebra. The aim is to provoke the development of spatial geometric thinking, taking advantage of dynamic representations available in the software, especially the one concerning the interaction between the representations of three-dimensional object and intersecting planes. Ten activities in increasing level of difficulty and involving different concepts of spatial geometry were applied in the experiment. The analysis of the students’ production is based on Van Hiele, Duval and Gutiérrez theories and the research methodology takes as reference the Didactic Engineering. From confrontation between the priori and posteriori analysis, it was possible to observe the progress of students and especially the development of skills related to spatial visualization.

O estudo que apresento está assentado em questões, cujo aprofundamento pretende trazer contribuição à ressignificação dos processos de ensino-aprendizagem, especialmente no âmbito da geometria espacial. Dentre as questões destaco: (1) a relação entre cibercultura e processos de ensinar-aprender, especialmente no que se refere ao conteúdo da geometria espacial, (2) os modos de sentir, de expressar-se e de aprender que a mediação da cultura digital traz contemporaneamente para os jovens; (3) a pesquisa entendida como acontecimento/experiência, cuja dimensão de intervenção permite a pesquisador e pesquisados relacionarem-se dialogicamente, reconhecendo-se como co-autores do processo de investigação. O principal interesse da pesquisa foi investigar se a dinâmica do uso das tecnologias em redes, própria da cibercultura, pode ressignificar o aprendizado do conhecimento de geometria espacial de jovens alunos do Ensino Médio. A abordagem teórico-metodológica está fundamentada nos princípios bakhtinianos da dialogia e da alteridade e no conceito vigotskiano de mediação. Sob a orientação da abordagem histórico-cultural, outros interlocutores teóricos contribuiram de modo significativo para a compreensão das questões que envolvem a relação entre educação e processos comunicacionais pós-massivos, tendo sido indispensáveis à construção e interpretação dos dados Dentre eles, cito Lucia Santaella, Maria Teresa Freitas, Pierre Lévy, Marília Amorim, Maria Helena Bonilla, Nelson Pretto, Edmea Santos, Guaracira Gouvêa, Maria Luiza Oswald, entre outros. O estudo foi realizado numa escola da rede estadual na cidade de Cabo Frio/RJ, sendo sujeitos da pesquisa 78 alunos/as do 2 e 3 ano do Ensino Médio. Para colher as informações de caráter objetivo, foi aplicado um questionário através do aplicativo Google Docs. Os dados qualitativos foram construídos por intermédio da dinâmica de convergência de mídias que engloba a metodologia Webquest, a interface wiki e o software Geogebra. Tendo em vista os pressupostos do estudo que relacionam propostas autorais, posturas alteritárias e práticas cotidianas procurei construir uma estratégia metodológica em que a apropriação das dinâmicas ciberculturais e das interfaces digitais fosse capaz de me auxiliar a identificar como usar estes dispositivos no processo de ressignificação da construção do conhecimento geométrico, bem como descobrir os limites de sua aplicação. Os resultados alcançados, ainda que provisórios dado o inacabamento dos acontecimentos que fazem da pesquisa uma experiência inacabada, apontam para a necessidade de reconhecer os jovens como produtores de saberes que deveriam ser legitimados para que a prática de ensinar-aprender geometria resultasse em conhecimento que articula ciência e vida cotidiana. Essa foi a valiosa lição que a pesquisa trouxe à minha própria prática de professora de matemática, lição que, espero, possa ecoar para outros professores. / The study carried out lays on issues which a careful examination aims to lead to a contribution to the resignification of the teaching-learning processes, especially on the ambit of spatial geometry. The following issues are highlighted: (1) the relationship between cyberculture and the teaching-learning processes, especially concerning the spatial geometry scope, (2) the ways of feeling, expressing and learning which the mediation of the digital culture brings contemporaneously to the youths; (3) research understood as happening/experience, which the dimension of intervention allows to link up researcher and researched dialogically, recognizing themselves as co-authors of the research process. The main focus of this study was to examine whether the dynamics of use of networking technologies, proper to cyberculture, may resignify the building of spatial geometry knowledge for young students of medium level teaching schools. The theoretical approach is based on the dialogic and alteritarian Bakhtin principles and on the Vygotsky's concept of mediation. Under the orientation of a historical-cultural approach, other theoretical interlocutors contributed significantly to the comprehension of issues which involve the relationship between education and post mass communication processes, and were indispensable to the building and interpretation of data. Among them are Lucia Santaella, Maria Teresa Freitas, Pierre Lévy, Marília Amorim, Maria Helena Bonilla, Nelson Pretto, Edmea Santos, Guaracira Gouvêa, Maria Luiza Oswald, and others. This study was carried out at a state school in the city of Cabo Frio, Rio de Janeiro state, with 78 students of grades 2 and 3 of medium level teaching. To collect objective information, a questionnaire was applied using Google Docs application. Qualitative data were built through the dynamics of convergence of media which involves the Webquest methodology, the wiki interface and Geogebra software. In view of the presuppositions that establish a relationship between authorial propositions, alteritarian postures, and everyday practices, an attempt to build a methodological strategy in which the appropriation of cybercultural dynamics and digital interfaces was able to assist the identification of how to use these resources in the resignification process of the geometric knowledge building, as well as to find out its application limits, has been made. The results achieved, yet provisional given the unfinishment of happenings that makes research an unfinished experience, indicate the necessity of recognition of the youth as a knowledge producer which should be legitimated in order to make the teaching-learning practice of geometry result in knowledge that articulates science and everyday life. This was the valuable experience brought by research to my own practice as a mathematics teacher, experience which I hope may reverberate to other teachers.

O estudo que apresento está assentado em questões, cujo aprofundamento pretende trazer contribuição à ressignificação dos processos de ensino-aprendizagem, especialmente no âmbito da geometria espacial. Dentre as questões destaco: (1) a relação entre cibercultura e processos de ensinar-aprender, especialmente no que se refere ao conteúdo da geometria espacial, (2) os modos de sentir, de expressar-se e de aprender que a mediação da cultura digital traz contemporaneamente para os jovens; (3) a pesquisa entendida como acontecimento/experiência, cuja dimensão de intervenção permite a pesquisador e pesquisados relacionarem-se dialogicamente, reconhecendo-se como co-autores do processo de investigação. O principal interesse da pesquisa foi investigar se a dinâmica do uso das tecnologias em redes, própria da cibercultura, pode ressignificar o aprendizado do conhecimento de geometria espacial de jovens alunos do Ensino Médio. A abordagem teórico-metodológica está fundamentada nos princípios bakhtinianos da dialogia e da alteridade e no conceito vigotskiano de mediação. Sob a orientação da abordagem histórico-cultural, outros interlocutores teóricos contribuiram de modo significativo para a compreensão das questões que envolvem a relação entre educação e processos comunicacionais pós-massivos, tendo sido indispensáveis à construção e interpretação dos dados Dentre eles, cito Lucia Santaella, Maria Teresa Freitas, Pierre Lévy, Marília Amorim, Maria Helena Bonilla, Nelson Pretto, Edmea Santos, Guaracira Gouvêa, Maria Luiza Oswald, entre outros. O estudo foi realizado numa escola da rede estadual na cidade de Cabo Frio/RJ, sendo sujeitos da pesquisa 78 alunos/as do 2 e 3 ano do Ensino Médio. Para colher as informações de caráter objetivo, foi aplicado um questionário através do aplicativo Google Docs. Os dados qualitativos foram construídos por intermédio da dinâmica de convergência de mídias que engloba a metodologia Webquest, a interface wiki e o software Geogebra. Tendo em vista os pressupostos do estudo que relacionam propostas autorais, posturas alteritárias e práticas cotidianas procurei construir uma estratégia metodológica em que a apropriação das dinâmicas ciberculturais e das interfaces digitais fosse capaz de me auxiliar a identificar como usar estes dispositivos no processo de ressignificação da construção do conhecimento geométrico, bem como descobrir os limites de sua aplicação. Os resultados alcançados, ainda que provisórios dado o inacabamento dos acontecimentos que fazem da pesquisa uma experiência inacabada, apontam para a necessidade de reconhecer os jovens como produtores de saberes que deveriam ser legitimados para que a prática de ensinar-aprender geometria resultasse em conhecimento que articula ciência e vida cotidiana. Essa foi a valiosa lição que a pesquisa trouxe à minha própria prática de professora de matemática, lição que, espero, possa ecoar para outros professores. / The study carried out lays on issues which a careful examination aims to lead to a contribution to the resignification of the teaching-learning processes, especially on the ambit of spatial geometry. The following issues are highlighted: (1) the relationship between cyberculture and the teaching-learning processes, especially concerning the spatial geometry scope, (2) the ways of feeling, expressing and learning which the mediation of the digital culture brings contemporaneously to the youths; (3) research understood as happening/experience, which the dimension of intervention allows to link up researcher and researched dialogically, recognizing themselves as co-authors of the research process. The main focus of this study was to examine whether the dynamics of use of networking technologies, proper to cyberculture, may resignify the building of spatial geometry knowledge for young students of medium level teaching schools. The theoretical approach is based on the dialogic and alteritarian Bakhtin principles and on the Vygotsky's concept of mediation. Under the orientation of a historical-cultural approach, other theoretical interlocutors contributed significantly to the comprehension of issues which involve the relationship between education and post mass communication processes, and were indispensable to the building and interpretation of data. Among them are Lucia Santaella, Maria Teresa Freitas, Pierre Lévy, Marília Amorim, Maria Helena Bonilla, Nelson Pretto, Edmea Santos, Guaracira Gouvêa, Maria Luiza Oswald, and others. This study was carried out at a state school in the city of Cabo Frio, Rio de Janeiro state, with 78 students of grades 2 and 3 of medium level teaching. To collect objective information, a questionnaire was applied using Google Docs application. Qualitative data were built through the dynamics of convergence of media which involves the Webquest methodology, the wiki interface and Geogebra software. In view of the presuppositions that establish a relationship between authorial propositions, alteritarian postures, and everyday practices, an attempt to build a methodological strategy in which the appropriation of cybercultural dynamics and digital interfaces was able to assist the identification of how to use these resources in the resignification process of the geometric knowledge building, as well as to find out its application limits, has been made. The results achieved, yet provisional given the unfinishment of happenings that makes research an unfinished experience, indicate the necessity of recognition of the youth as a knowledge producer which should be legitimated in order to make the teaching-learning practice of geometry result in knowledge that articulates science and everyday life. This was the valuable experience brought by research to my own practice as a mathematics teacher, experience which I hope may reverberate to other teachers.

Submitted by Franciele Moreira (francielemoreyra@gmail.com) on 2018-07-04T12:34:37Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paulo Cosme AMorim da Silva - 2018.pdf: 2860546 bytes, checksum: a5237ddbb73aba34944a454a2550a65e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-07-04T14:59:40Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paulo Cosme AMorim da Silva - 2018.pdf: 2860546 bytes, checksum: a5237ddbb73aba34944a454a2550a65e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-04T14:59:40Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Paulo Cosme AMorim da Silva - 2018.pdf: 2860546 bytes, checksum: a5237ddbb73aba34944a454a2550a65e (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-06-25 / The use of GeoGebra software in Spatial Geometry classes in Mathematics for 2nd year High School students is the proposal of this work. This software was chosen specifically for its didactic characteristics, which allow a better understanding of the concepts worked in the classroom making them more accessible. The proposed activities deal with Spatial Geometry content and are intended to encourage students to take part in the study developed through the GeoGebra application, which will give them a better performance in their learning. It is expected that this material will give teachers the desire to create new ideas to use this software and other methods in their classes, inserting the teaching of Mathematics in a more current perspective, using technological tools that are common to students' daily lives. / O uso do software GeoGebra nas aulas de Geometria Espacial na matéria de Matemática para alunos de 2o ano do Ensino Médio é a proposta deste trabalho. Este software foi escolhido especificamente pelas suas características didáticas, as quais possibilitam uma melhor compreensão dos conceitos trabalhados em sala de aula tornando-os mais acessíveis. As atividades propostas abordam conteúdos de Geometria Espacial e são voltadas a incentivar os discentes para que, de posse das informações analisadas, possam participar de forma mais crítica do estudo desenvolvido por meio do aplicativo GeoGebra, o que lhes proporcionará melhor rendimento em seu aprendizado. O esperado é que este material suscite nos professores o desejo de criação de novas ideias para uso deste software e de outros métodos em suas aulas, inserindo o ensino da Matemática em uma perspectiva mais atual, utilizando ferramentas tecnológicas que são comuns ao cotidiano dos alunos.

Este trabalho apresenta uma proposta para o ensino de Geometria Espacial com a utilização do software de Geometria dinâmica Calques 3D. A proposta tem como foco o desenvolvimento de habilidades para visualizar objetos 3D a partir de suas representações no plano. Faz parte da proposta uma sequência didática com atividades em crescente exigência quanto a visualização: no Calques 3D, inicialmente, os alunos construíram sólidos a partir de informações dadas através de desenhos em perspectiva, depois através de planificações e por último usando apenas a descrição dos sólidos. Como metodologia de pesquisa foi utilizada a Engenharia Didática e através das análises a posteriori foi possível observar o progresso dos alunos quanto ao desenvolvimento de habilidades para visualização espacial. / This work presents a proposal for the teaching of spatial geometry with the use of dynamic geometry software Calques 3D. The objective of this proposal is to develop the visualization of spatial objects and the understanding of their bidimensional representations. It was designed a sequence of activities that called for the construction of various geometric solids in the software Calques 3D using the designs of perspective representation, the designs of planification and the written description of the characteristics of the solids. The research methodology was the Didactical Engineering and the posteriori analysis showed the students´s progress related to visualization abilities.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-09-29T18:22:35Z No. of bitstreams: 1 gabrielmorenoferreiradesouza.pdf: 1622147 bytes, checksum: e306eb0f65d88b75c9ea11cd9ab94c83 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-10-09T19:48:17Z (GMT) No. of bitstreams: 1 gabrielmorenoferreiradesouza.pdf: 1622147 bytes, checksum: e306eb0f65d88b75c9ea11cd9ab94c83 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-10-09T19:48:17Z (GMT). No. of bitstreams: 1 gabrielmorenoferreiradesouza.pdf: 1622147 bytes, checksum: e306eb0f65d88b75c9ea11cd9ab94c83 (MD5) Previous issue date: 2017-08-02 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Esse trabalho apresenta alguns applets utilizando as novas ferramentas da janela de visualização 3D do GeoGebra 5.0 que, de forma didática, sequencial e dinâmica, ilustram alguns axiomas, proposições ou definições da Geometria Espacial, facilitando o desenvolvimento de um curso desse conteúdo, inclusive pensando naqueles que o fazem de forma não presencial. O trabalho inclui, além dessa parte descritiva, a elaboração e disponibilização online desses applets, através de seus links, para acesso livre ou download utilizando o GeoGebra Tube. Espera-se com isso, facilitar a visualização de alguns conceitos fundamentais da Geometria Espacial, favorecendo a autonomia do processo de aprendizagem, tornando-o mais interessante e estimulador. / This dissertation presents a selection of applets that work with the new toolbar of 5.0 GeoGebra’s 3D window, that in a didactic, sequential and dynamic way, illustrates axioms, propositions or definitions of Spatial Geometry, which facilitate the development of a course of this content, inclusively thinking of those who do it in a remote way. The dissertation includes, in addition to the explanatory body of text, the generation and the online availability of these applets, through their links, to free access or download, on GeoGebra Tube. We hope thereby to facilitate the visualization of some of Spatial Geometry’s fundamental concepts, benefitting the autonomy of the learning process, making it more interesting and stimulating.

Submitted by Celso Magalhaes (celsomagalhaes@ufrrj.br) on 2017-09-11T11:55:12Z No. of bitstreams: 1 2014 - Nelson Rangel Coutinho Neto.pdf: 1017081 bytes, checksum: 48847c819281a97d7502570c6852b27b (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-11T11:55:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2014 - Nelson Rangel Coutinho Neto.pdf: 1017081 bytes, checksum: 48847c819281a97d7502570c6852b27b (MD5) Previous issue date: 2014-08-30 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior - CAPES / The Descriptive Geometry had its origin during the Napoleonic Age through the mathematician Gaspard Monge. It arrived in Brazil in the early nineteenth century by imposition of D. Jo?o VI. It excelled mainly as part of the curriculum of higher education courses such as Engineering, Architecture and Arts discipline. In high school, teaching Descriptive Geometry is almost extinct, being restricted to only a few more traditional institutions. However, Descriptive Geometry is closely related to the Space Geometry, Analytical Geometry and Differential and Integral Calculus, so that its application in middle school will be of fundamental contribution to the learning of other geometric concepts / A Geometria Descritiva teve sua origem durante a Era Napole?nica atrav?s do matem?tico Gaspard Monge. Chegou ao Brasil no in?cio do s?culo XIX por imposi??o de D. Jo?o VI. Destacou-se basicamente como disciplina integrante de curr?culos de cursos superiores, tais como Engenharia, Arquitetura e Artes. No ensino m?dio, o ensino da Geometria Descritiva est? praticamente extinto, ficando restrito apenas a algumas institui??es mais tradicionais. Entretanto, a Geometria Descritiva se relaciona intimamente com a Geometria Espacial, a Geometria Anal?tica e os C?lculos Diferencial e Integral, de maneira que sua aplica??o no ensino m?dio poder? contribuir para o aprendizado de outros conceitos geom?tricos

Submitted by Emanuel Varela Cardoso (emanuel.varela@ufcg.edu.br) on 2018-11-12T19:56:37Z No. of bitstreams: 1 EDNALDO BERNARDO DE OLIVEIRA – DISSERTAÇÃO (PPGMat) 2013.pdf: 20096058 bytes, checksum: 983840e6101e8a2651374f5416fb3bfb (MD5) / Made available in DSpace on 2018-11-12T19:56:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EDNALDO BERNARDO DE OLIVEIRA – DISSERTAÇÃO (PPGMat) 2013.pdf: 20096058 bytes, checksum: 983840e6101e8a2651374f5416fb3bfb (MD5) Previous issue date: 2013-07 / Capes / O presente trabalho tem por objetivo contribuir com o ensino e a aprendizagem de geometria espacial. Começamos por analisar dois livros didáticos de matemática do ensino médio adotados por escolas da rede pública. As análises dos mesmos nos dão uma amostra da maneira como os livros tratam a geometria espacial. Após as análises procuramos dar a nossa colaboração aos professores e alunos, propondo a utilização do software educacional, uma pletora de poliedros, um recurso didático que complementa o livro didático e que visa tornar o ensino da geometria mais dinâmico e atraente para docentes e discentes. Propomos também, o cálculo do volume de dois sólidos platônicos que normalmente não são encontrados nos livros didáticos de matemática, o dodecaedro e o icosaedro, com a utilização de conceitos matemáticos do conhecimento dos alunos das séries finais do ensino médio. Sugerimos e aplicamos duas listas de atividades, nas quais foram utilizados os softwares educacionais, uma pletora poliedros, projeções ortogonais e trip-lets, o que propiciou uma participação bastante efetiva dos alunos que responderam em um questionário a respeito da utilização de softwares nas aulas de matemática que há um ganho de tempo e uma melhor percepção das figuras, auxiliando na compreensão dos conceitos envolvidos. Por fim, em relatório conclusivo com as resposta dadas pelos alunos às atividades, concluímos que foi válida utilização de softwares educacionais como recurso didático, apresentando um resultado bastante positivo. / This work aims to contribute to the spatial geometry teaching and learning. We begin by analyzing two math textbooks for high school adopted by public schools. The analyzes of these give us a sample of how the books are about the spatial geometry. After the analysis we try to give our assistance to teachers and students, proposing the use of educational software, a plethora of polyhedra, a feature that complements the teaching and textbook aimed at making the geometry teaching more dynamic and appealing to teachers and students. We also propose, calculating the volume of two Platonic solids that are not normally found in mathematics textbooks, the dodecahedron and the icosahedron, with the use of mathematical concepts known to the students of grades of high school. We suggest and apply two lists of activities in which we used the educational software plethora polyhedra, orthogonal projections and trip-lets, which provided a very effective participation of students who responded to a questionnaire regarding the use of mathematical software in the classes that there is a time gain and a better understanding of the figures, assisting in understanding the concepts involved. Finally, in concluding report with the answers given by the students to activities, we conclude that it was valid the use of educational software as a teaching resource, presenting a very positive result.