In this thesis I discuss the method of time-change and its applications in quantitative finance. I mainly consider the time change by writing a continuous diffusion process as a Brownian motion subordinated by a subordinator process. I divide the time change method into two cases: deterministic time change and stochastic time change. The difference lies in whether the subordinator process is a deterministic function of time or a stochastic process of time. Time-changed Brownian motion with deterministic time change provides a new viewpoint to deal with option pricing under stochastic interest rates and I utilize this idea in pricing various exotic options under stochastic interest rates. Time-changed Brownian motion with stochastic time change is more complicated and I give the equivalence in law relation governing the ``original time" and the ``new stochastic time" under different clocks. This is readily applicable in pricing a new product called ``timer option". It can also be used in pricing barrier options under the Heston stochastic volatility model. Conclusion and further research directions in exploring the ideas of time change method in other areas of quantitative finance are in the last chapter.

In this thesis I discuss the method of time-change and its applications in quantitative finance. I mainly consider the time change by writing a continuous diffusion process as a Brownian motion subordinated by a subordinator process. I divide the time change method into two cases: deterministic time change and stochastic time change. The difference lies in whether the subordinator process is a deterministic function of time or a stochastic process of time. Time-changed Brownian motion with deterministic time change provides a new viewpoint to deal with option pricing under stochastic interest rates and I utilize this idea in pricing various exotic options under stochastic interest rates. Time-changed Brownian motion with stochastic time change is more complicated and I give the equivalence in law relation governing the ``original time" and the ``new stochastic time" under different clocks. This is readily applicable in pricing a new product called ``timer option". It can also be used in pricing barrier options under the Heston stochastic volatility model. Conclusion and further research directions in exploring the ideas of time change method in other areas of quantitative finance are in the last chapter.

Mortgage Backed Securities (MBS) are a type of security backed by mortgages as the underlying asset. This is achieved through a process called securitization, where specific mortgages are grouped together and separated from the bank’s other assets, and then sold to investors. One of the risks for investors in MBS is mortgage prepayments made by the borrowers of the underlying mortgages. This risk arises due to the uncertainty of the expected cash flows to be distributed among the investors. There is a correlation between falling market interest rates and an increase in prepayments. When market interest rates fall, borrowers have an incentive to refinance their mortgages at lower interest rates, leading to higher prepayment rates. The Public Securities Association (PSA) model is recognized as a standard benchmark for estimating prepayment rates in MBS. In this paper, we have introduced models to generate time points for prepayments and compare how well these models match with the PSA model. Some of these models determine the timing of each prepayment event using an exponentially distributed Poisson process, while one model employs the Gamma distribution. Additionally, we introduce a strategy where prepayment is strategically triggered by whether the market rate falls below the contract rate. In that strategy, we investigate when it is most beneficial to make a prepayment. The results show that among the models employing random generation of prepayment events, the Gamma distribution best aligns with the PSA rule. Regarding the strategic prepayment strategy, our findings suggest that it is most advantageous to make prepayments early in the mortgage term, aligning with the most rational behavior as well.

An in depth study of the pricing of Game contingent claims under a general diffusion market model, in which interest rate is non constant, is presented. With the idea of providing a few numerical examples of the valuation of such claims, we present a detailed description of a Bootstrapping procedure to obtain interest rate information from Swaps rates. We also present a Stripping procedure that can be used to obtain initial spot (caplet) volatility from Market quotes on Caps/FLoors. These methods are of general application and could be used in the calibration of diffusion models of interest rate. Then we show several examples of calibration of the Hull--White model of interest rates. Our calibration examples are later used in the numerical approximation of the value of a particular form of Game option.

在WTO成立，各國國際化程度日益提高的同時，企業與個人進行跨國投資的情形也愈來愈普遍，跨國投資除了要考慮標的資產之報酬與波動性之外，尚須考量匯率變動所產生之風險與不確定性。當某一國外資產具有正向預期報酬率的同時，實現後的報酬率卻又不一定為正，正是因為匯率波動所產生的影響。又，傳統財務理論告訴我們，藉由增加投資組合中所有非完全正相關的資產個數可以有效的降低投資組合的非系統風險，因此投資人在進行投資時往往採用建構投資組合的方式取代持有少數資產的型態。然而，在建構跨通貨避險投資組合時，若是對於投資組合中的各項資產與外幣分別進行避險（分別利用衍生性商品避險），往往是費時、費力又不具有效率。因此，對於整個投資組合進行避險反而是一個比較好的方法，當投資組合價值發生變動時，可以即時對於各項資產部位與外幣分別做調整，遠較於對個別資產進行避險來的方便、快速且有效。 / In most cases, investment is made of building a portfolio rather than single asset. Therefore, it is necessary to develop techniques of valuing portfolio derivatives. Moreover, we consider a cross-currency portfolio that account for currency and interest rate risk. As interest rate is stochastic, we use Heath-Jarrow Morton (HJM) Approach to describe its dynamics. Applying Vorst (1992); Geman, Karoui and Rochet(1995), we derive the approximated close-form of the cross-currency portfolio option. In HJM Approach, it is difficult to acquire hedge ratios of options. We apply another method to build a hedging portfolio. Then, we perform numerical simulations to test its hedging efficiency and sensitivity with respect to different variables.

Dans le Chapitre 1, nous présentons une nouvelle approche pour évaluer des options dites à barrières basée sur une méthode connue sous le nom de méthode Vanna-Volga. Cette nouvelle méthode nous permet une calibration simple et rapide sur le marché des options à barrières directement ce qui permet d'évaluer ces options avec un outil en accord avec le marché. Nous comparons également nos résultats avec ceux provenant d’autres modèles célèbres et nous étudions la sensibilité de cette méthode par rapport aux données du marché. Nous donnons une nouvelle justification théorique associée à la méthode Vanna-Volga comme étant une approximation de Taylor du premier ordre du prix de l'option autour de la volatilité dite à la monnaie.<p><p><p>Dans le Chapitre 2 de la thèse nous allons développer un modèle qui compte de la volatilité implicite du marché et de la variabilité des taux d'intérêts. Nous travaillons dans le marché particulier des taux de changes, avec un modèle à volatilité locale pour la dynamique du taux de change dans lequel les taux d'intérêts domestiques et étrangers sont également supposé stochastiques. Nous dérivons l'expression de la volatilité locale et dérivons divers résultats particulièrement utiles pour la calibration du modèle. Finalement, nous développons un nouveau modèle hybride où la volatilité du taux de change possède une composante locale et une composante stochastique et nous dérivons une méthode de calibration pour ce nouveau modèle.<p><p><p>Dans le Chapitre 3, nous allons appliquer le modèle à volatilité locale et taux d'intérêts stochastiques développé dans le précédent chapitre mais dans le cadre d'évaluation de produits dérivés associés aux assurances vie. Nous utilisons une méthode de calibration développée dans le Chapitre 2. Les produits étudiés étant exotiques, nous allons également comparer les prix obtenus dans différents modèles, à savoir le modèle à volatilité locale, à volatilité stochastique et enfin à volatilité constante pour le sous-jacent, les trois modèles étant combinés avec des taux d'intérêts stochastiques.<p><p><p>Finalement, dans le Chapitre 4 nous allons travailler avec un modèle dit de Lévy pour modéliser le sous-jacent. Nous nous intéressons à l'évaluation d'options Asiatiques arithmétiques. Comme de nombreuses options exotiques, il n'est pas possible d'obtenir un prix analytique et dans ce cas seules les méthodes numériques permettent de résoudre le problème. Dans ce Chapitre 4, nous développons une méthode basée sur la méthode de simulations de Monte Carlo et nous employons deux types de variables de contrôle permettant d'améliorer la convergence du programme. Nous développons également une méthode permettant d'obtenir une borne inférieure au prix de l'option avec une efficacité qui surpasse les autres méthodes.<p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished