Detta arbete utförs efter en förfrågan från Uddeholm Tooling om att försöka kartlägga riskerna på inköpsmarknaden för metallerna krom, molybden och vanadin. Då detta anses vara mycket svårt föreslås här istället en kartläggning av marknaden för respektive metall, detta för att ge en bild av hur marknaden ser ut och vilka aktörer som finns.Frågorna som behandlas är var bryts, förädlas, konsumeras respektive metall? Hur varierar priserna, beskrivs priserna bäst med en random walk eller med en mean reverting stokastisk process.Det visar sig relativt snart att det är mycket problematiskt att inhämta relevant data. Speciellt då dessa metaller inte handlas öppet utan där kontrakten mellan köpare och säljare är konfidentiella. Priserna som rapporteras baseras på månatliga intervjuer med köpare, säljare och traders som utförs av branschmagasin. Detta leder till att det rapporterade priset ofta är stationärt under långa tidsperioder, det kan emellertid antas att det reella priset är betydligt mer volatilt och förändras från dag till dag. Dessa metaller kan även handlas i olika typer av föreningar och med olika renhetsgrader vilket ytligare försvårar studierna. Då det inte finns en marknadsplats där metallerna kan handlas kan även antagas att priset kan skilja sig beroende på var och av vem man köper.Detta leder till att det statistiska test som genomfördes i denna studie fick ett ofullständigt resultat, med låg korrelation mellan modell och verklighet. Det gick därför inte att avgöra om priset kan beskrivas som mean reverting. Andra studier pekar dock på att mean reversion är en mer träffsäker stokastisk process för att beskriva priserna på dessa metaller än vad än random walk är.En kartläggning av marknaden för dessa metaller visar tydligt att Kina är en signifikant aktör i samtliga fall. Då alla tre metaller främst används som legeringsämne i konstruktions- och rostfrittstål har dessa marknader stor betydelse för marknaden för respektive metall. Kina är den största konsumenten och producenten av både rostfritt och konstruktionsstål, dessutom är Kina stora vid framställningen av respektive metall. Resultatet visar på tydliga kopplingar mellan priset på respektive metall och på Kinas ökande konsumtion av stål.

Markov processes have a long history of being used to model safety critical systems. However, with the development of autonomous vehicles and their increased complexity, Markov processes have been shown to not be sufficiently precise for reliability calculations. Therefore there has been the need to consider a more general stochastic process, namely the Semi-Markov process (SMP). SMPs allow for transitions with general distributions between different states and can be used to precisely model complex systems. This comes at the cost of increased complexity when calculating the reliability of systems. As such, methods to increase the interpretability of the system and allow for appropriate approximations have been considered and researched. In this thesis, a novel classification approach for transitions in SMP has been defined and complemented with different conjectures and properties. A transition is classified as good or bad by comparing the reliability of the original system with the reliability of any perturbed system, for which the studied transition is more likely to occur. Cases are presented to illustrate the use of this classification technique. Multiple suggestions and conjectures for future work are also presented and discussed. / Markovprocesser har länge använts för att modellera säkerhetskritiska system. Med utvecklingen av autonoma fordon och deras ökade komplexitet, har dock markovprocesser visat sig vara otillräckliga exakta för tillförlitlighetsberäkningar. Därför har det funnits ett behov för en mer allmän stokastisk process, nämligen semi-markovprocessen (SMP). SMP tillåter generella fördelningar mellan tillstånd och kan användas för att modellera komplexa system med hög noggrannhet. Detta innebär dock en ökad komplexitet vid beräkningen av systemens tillförlitlighet. Metoder för att öka systemets tolkningsbarhet och möjliggöra lämpliga approximationer har därför övervägts och undersökts. I den här masteruppsatsen har en ny klassificeringsmetod för övergångar i SMP definierats och kompletteras med olika antaganden och egenskaper. En övergång klassificeras som antingen bra eller dålig genom en jämförelse av tillförlitligheten i det ursprungliga systemets och ett ändrat system, där den studerade övergången har högre sannolikhet att inträffa. Fallstudier presenteras för att exemplifiera användningen av denna klassificeringsteknik. Flera förslag och antaganden för framtida arbete presenteras och diskuteras också.

With an increasing demand for bandwidth and lower latency in mobile communication networks it becomes gradually more important to improve current mobile network management solutions using available network data. To improve the network management it can for instance be of interest to infer future available bandwidth to the end user of the network. This can be done by utilizing the current knowledge of real-time user equipment (UE) behaviour in the network. In the scope of this thesis interest lies in, given a set of visited radio access points (cells), to predict what the next one is going to be. For this reason the aim is to investigate the prediction performance when utilizing the All-K-Order Markov (AKOM) model, with some added variations, on collected data generated from train trajectories. Moreover a method for testing the suitability of modeling the sequence of cells as a time-homogeneous Markov chain is proposed, in order to determine the goodness-of- t with the available data. Lastly, the elapsed time in each cell is attempted to be predicted using linear regression given the prior history window of previous cell and elapsed times pairs. The results show that moderate to good prediction accuracy on the upcoming cell can be achieved with AKOM and associated variations. For predicting the upcoming sojourn time in future cells the results reveal that linear regression does not yield satisfactory results and possibly another regression model should be utilized. / Med en ökande efterfrågan på banbredd och kortare latens i mobila nätverk har det gradvis blivit viktigare att förbättra nuvarande lösningar för hantering av nätverk genom att använda tillgänglig nätverksdata. Specifikt är det av intresse att kunna dra slutsatser kring vad framtida bandbredsförhållanden kommer vara, samt övriga parametrar av intresse genom att använda tillgänglig information om aktuell mobil användarutrustnings (UE) beteende i det mobila nätverket. Inom ramen av detta masterarbete ligger fokus på att, givet tidigare besökta radio accesspunkter (celler), kunna förutspå vilken nästkommande besökta cell kommer att vara. Av denna anledning är målet att undersöka vilken prestanda som kan uppnås när All-$K$-Order Markov (AKOM) modellen, med associerade varianter av denna, används på samlad data från tågfärder. Dessutom ges det förslag på test som avgör hur lämpligt det är att modelera observerade sekvenser av celler som en homogen Markovkedja med tillgänglig data. Slutligen undersöks även om besökstiden i en framtida cell kan förutspås med linjär regression givet ett historiskt fönster av tidigare cell och besökstids par. Erhållna resultat visar att måttlig till bra prestanda kan uppnås när kommande celler förutspås med AKOM modellen och associerade variationer. För prediktering av besökstid i kommande cell med linjär regression erhålles det däremot inte tillfredsställande resultat, vilket tyder på att en alternativ regressionsmetod antagligen är bättre lämpad för denna data.

An investment in a private equity is any investment made in a financial asset that is not publicly traded. As such these assets are very difficult to value and also give rise to great difficulty when it comes to quantifying risk. In a typical private equity investment the investor commits a prespecified amount of capital to a fund, this capital will be called upon as needed by the fund and eventually capital will be returned to the investor by the fund as it starts to turn a profit. In this way a private equity investment can be boiled down to consist of two cash flows, the contributions to the fund and distributions from the fund to the investor. These cash flows are usually made within a prespecified time frame but at unspecified intervals and amounts. As an investor in a fund, carrying too little liquid assets when contributions are called upon will cause trouble, but carrying significantly more than needed is also not desirable as it represents a loss in potential revenue from having less capital in more profitable investments. The goal of this thesis was to attempt to find a way to reliably model these cash flows and to find a way to represent the results in a meaningful way for the benefit of the investor by constructing value at risk like risk measures for the necessary liquid capital to carry at a given time in case contributions are called upon. It was found that the distributions could be modelled very well with the chosen stochastic processes, both as it related to predicting the average path of the cash flows and as it relates to modelling the variability of them. Contrary to this it was found that the contributions could not be modelled very well. The reason for this was found to be an observed lag in the speed of contributions at the start of the funds lifetime, this lag was not taken into account when constructing the stochastic model and hence it produced simulated cash flows not in line with those used in the calibration. / En investering i private equity är en investering i en tillgång som inte är börsnoterade. På grund av detta är sådana tillgångar väldigt svåra att värdera och medför även store svårigheter när det kommer till att kvantifiera risk. I en typisk private equity investering so ingår en investerare i ett löfte att under en viss förbestämd tidsperiod bidra med en fixt mängd kapital till en private equity fond. Detta kapital kommer att gradvis kallas på av fonden vid behov för att sedan mot slutet av fondens livstid ge utdelning när private equity fonden börjar göra en vinst. På detta viset kan en private equity investering brytas ner i två kassaflöden, kontributioner in i fonden, och distributioner ut ur fonden. Dessa kassaflöden sker under en förbestämd tidsperiod men ej förbestämda belopp. Som en investerare i denna typen av fond är därför en risk att bära för lite likvid kapital när kontributioner blir kallade på men även oattraktivt att bäre på för mycket de detta representerar förlorar potentiell avkastning. Målet i denna uppsatts är att hitta ett sätt att på att tillförlitligt vis modellera dessa kassaflöden och representera resultaten på ett meningsfullt sätt från perspektivet av en investerare. För att uppnå detta skapades value-at-risk liknande mått för mängden likvid kapital som krävs under en tidsperiod för att säkra sig mot påkallade kontributioner. Slutsatsen blev att distributioner kunde modelleras väl, både när det kom till att efterlikna den genomsnittliga vägen av kassaflöden och även för att modellera risken. I kontrast till detta så kunde inte kontributioner modelleras mot tillräckligt hög säkerhet för att användes i det ämnade syftena. Anledningen till detta var en eftersläpning i hastigheten som kontributioner kallades med som inte tågs i beaktande av den tillämpade matematiska modellen.

The liquidity of financial assets can be studied in various different ways. In this thesis, liquidity is defined as the cost and time required to liquidate a position. While the liquidity of highly traded financial instruments like stocks is typically determined by analyzing the order book, the lack of an order book for over-the-counter bond trading presents challenges for estimating bond liquidity. The objective of this thesis is to develop a framework for estimating the cost and time required to liquidate a bond position. To achieve this, we propose a theoretical order book model based on the order book of more actively traded instruments, and estimate the model parameters using bond transaction data. The volume available to trade in the theoretical order book was modelled as gamma distributed stochastic process. The distribution of the liquidation cost could thereafter be derived where the parameters were estimated using the maximum likelihood estimation. The liquidation time, or liquidity horizon, was then determined through the solution of an optimization problem. The proposed framework for estimating bond liquidity produced promising results. The estimated parameters of the gamma distributed stochastic process accurately captured the behavior of bond trading volumes, allowing for a reliable estimation of the distribution of liquidation costs. Additionally, the optimization problem used to determine the liquidity horizon produced reasonable estimates. / Likviditeten hos finansiella tillgångar kan studeras på olika sätt. I denna uppsats definieras likviditeten som kostnaden och tiden som krävs för att likvidera en position. Medans likviditeten hos aktivt handlade finansiella tillgångar som aktier vanligtvis bestäms genom att analysera orderboken, så medför bristen på en orderbok för handel med "over-the-counter" obligationer utmaningar för att uppskatta likviditeten för dem. Syftet med denna uppsats är att utveckla ett ramverk för att uppskatta kostnaden och tiden som krävs för att likvidera en obligationsposition. För att uppnå detta föreslår vi en teoretisk orderboksmodell baserad på orderboken för mer aktivt handlade instrument, och uppskattar modellparametrarna med hjälp av data för obligationsaffärer. Volymen som är tillgänglig att handla i den teoretiska orderboken modellerades som en gammafördelad stokastisk process. Fördelningen av likvidationskostnaden kunde sedan härledas där parametrarna uppskattades med hjälp av maximum likelihood-estimering. Likvidationstiden, eller likvidationshoristonten, bestämdes sedan genom att lösa ett optimeringsproblem. Det föreslagna ramverket för att uppskatta likviditeten hos obligationer gav lovande resultat. De uppskattade parametrarna för den gammafördelade stokastiska processen fångade noggrant upp beteendet hos handelsvolymerna för obligationer, vilket möjliggjorde en pålitlig uppskattning av fördelning av likvidationskostnader. Optimeringsproblemet som användes för att bestämma likviditetshorisontens gav dessutom rimliga uppskattningar.