No description available.

Title: Solving problems using MCTS Author: Dominik Malý Department: Department of theoretical informatics and mathematical logic Supervisor: RNDr. Jan Hric Supervisor's e-mail address: Jan.Hric@mff.cuni.cz Abstract: MCTS (Monte Carlo Tree Search) methods are a state-of-the-art approach to the computer solution of strategic board game Go. Because of their versatility and successfulness, these techniques show great potential for all kinds of problems. This paper aims to explore the suitability of MCTS for solving different kind of problems, specifically games of one player, like Sudoku or SameGame. I've created a computer player based on MCTS, who can solve not only Sudoku and SameGame, but also other tasks of similar kind. I've experimentally examined many MCTS extensions and their eligibility for solving these games and through extensive testing I've also compared the suitability of various kinds of UCT selection fun- ctions and used heuristics. In case of SameGame I've compared my algorithm to another exi- sting one undertaking the same problem. In the end I've described what kind of problems has a MCTS-based computer player to overcome, if it is to successfully solve games of this type, and what characteristics should these problems posses to be suitable for MCTS solution. Keywords: MCTS, Go, Sudoku,...

Στην παρούσα εργασία προσεγγίζονται τα Sudoku puzzles χρησιμοποιώντας μαθηματικές έννοιες κυρίως από την θεωρία γραφημάτων, την άλγεβρα, τη θεωρία πινάκων αλλά και την κρυπτογραφία και τη θεωρία ανάπτυξης αλγορίθμων, oυσιαστικά χρησιμοποιούνται διάφορες οπτικές γωνίες προκειμένου να απεικονιστεί η μελέτη αυτών των puzzles μέσω των μαθηματικών. Η εργασία χωρίζεται σε έξι βασικά κεφάλαια: Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει βασικές έννοιες της άλγεβρας και της θεωρίας γραφημάτων, όπως ο ορισμός της ομάδας, του συνεκτικού γραφήματος, ο βαθμός κορυφής και άλλα, οι οποίες χρησιμοποιούνται επανειλημμένα στην εργασία, έτσι ώστε να μπορεί να γίνει κατανοητή χωρίς να απαιτείται η χρήση άλλων επιστημονικών πηγών. Χωρίζεται σε τέσσερεις βασικές ενότητες οι οποίες παρουσιάζονται με την ακόλουθη σειρά. Η πρώτη ενότητα είναι οι Βασικές Έννοιες Γραφημάτων, η οποία ουσιαστικά αναφέρεται στην βασική ορολογία των γραφημάτων. Η δεύτερη ενότητα είναι τα Βασικά Είδη Γραφημάτων και περιέχει γραφήματα με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και ιδιότητες, οι οποίες είναι απαραίτητες για την ανάλυση της παρούσας εργασίας. Στη συνέχεια η τρίτη ενότητα είναι οι Βασικές Έννοιες Γραμμικής Άλγεβρας, η οποία περιέχει συγκεκριμένους ορισμούς κυρίως των ομάδων και των συμμετριών που χρησιμοποιούνται για την απαρίθμηση των Sudoku. Τέλος η τελευταία ενότητα είναι οι Αλγεβρικές Ιδιότητες Γραφημάτων, η οποία περιέχει ορισμούς και αλγεβρικές αλληλεπιδράσεις πάνω στα γραφήματα. Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με την άλγεβρα και τη θεωρία γραφημάτων, παραπέμπουμε στα [6], [7] και [29]. Το δεύτερο κεφάλαιο περιέχει τους ορισμούς του Sudoku puzzle και των λατινικών τετραγώνων, τα οποία είναι μια γενίκευση των Sudoku puzzles, όπως θα αναφερθεί παρακάτω. Για εκτενέστερη έρευνα πάνω στα λατινικά τετράγωνα παραπέμπουμε στα [3], [10], [11], [12],[13], [15], [16], [17], [18] και [29]. Στο τρίτο κεφάλαιο απαριθμούνται οι κλάσεις ισοδυναμίας των λατινικών τετραγώνων αρχικά και στη συνέχεια γίνεται απαρίθμηση τριών ειδών Sudoku puzzles, τα οποία είναι τα junior Sudoku puzzles τάξης 44, τα Sudoku puzzles τάξης 9x9 και τα 2-Quasi-μαγικά Sudoku, τα οποία έχουν έναν παραπάνω περιορισμό σε σχέση με τα συνήθη Sudoku. Τέλος, απαριθμούνται οι συμμετρίες των Sudoku puzzles τάξης 9x9 και γίνεται μια σύντομη ανάλυση των μητρώων μετάθεσής τους. Περαιτέρω πληροφορίες βρίσκονται στα [1], [2], [4], [5], [9], [14], [19], [20], [21], [22], και [26]. Στο τέταρτο κεφάλαιο αλλάζει η αυστηρά αλγεβρική προσέγγιση που υπάρχει στις παραπάνω ενότητες. Εδώ παρουσιάζεται το Sudoku puzzle με μια ισοδύναμη μορφή γραφήματος και γίνεται μια σύντομη παρουσίαση βασικών εννοιών της κρυπτογραφίας, καθώς και μια θεωρητική προσέγγιση της κρυπτογράφησης του Sudoku puzzle, με τη βοήθεια του πρωτοκόλλου της μηδενικής γνώσης. Περαιτέρω πληροφορίες βρίσκονται στα [8], [23] και [24]. Στο πέμπτο κεφάλαιο αλλάζει πάλι ο επιστημονικός κλάδος, μέσω του οποίου εξετάζουμε τα Sudoku puzzles και επικεντρώνεται στην απεικόνιση ενός στιγμιοτύπου του puzzle Sudoku σε ένα στιγμιότυπο του προβλήματος SAT. Όλοι οι περιορισμοί του Sudoku θα μπορέσουν να διατηρηθούν μέσω των κανονικών συζευκτικών προτάσεων του προβλήματος SAT, οι οποίες έχουν χωριστεί σε πέντε ενότητες. Η καταμέτρηση των κανονικών συζευκτικών προτάσεων του προβλήματος SAT μέσω αναδρομικών τύπων, αποτελεί το πρωτότυπο τμήμα της διπλωματικής καθώς και η ανάλυση των τύπων αυτών, την οποία περιέχει το επισυναπτόμενο CD. Για πιο θεωρητική προσέγγιση προτείνονται τα [25], [26], [27], [30]. Το έκτο κεφάλαιο της εργασίας περιέχει μια διασκεδαστική εφαρμογή κρυπτογράφησης οποιουδήποτε Sudoku puzzle τάξης 99 . Η εφαρμογή υλοποιείται με τραπουλόχαρτα, έτσι ώστε ο αναγνώστης να είναι σε θέση να κρυπτογραφήσει οποιοδήποτε λύση puzzle Sudoku, χωρίς να είναι υποχρεωμένος να παρουσιάσει τη λύση του στον αντίπαλο, χρησιμοποιώντας μόνο τρείς τράπουλες. Ο στόχος του τελευταίου κεφαλαίου είναι να κάνει τον επίλογο της εργασίας πιο ευχάριστο και πιο ανάλαφρο ακόμα και για νέους επιστήμονες στο χώρο της κρυπτογραφίας, της θεωρίας γραφημάτων και της άλγεβρας. / The essay is about the complexity of the Sudoku puzzles and how you can numarated them.

In this paper we compare various Sudoku solving algorithms in order to determine what kind of run-time improvements different optimizations can give. We will also examine what kind of effect the existence of multiple solutions in the puzzles has on our result.

This thesis explores the framing of coordinative experience in collocated computer-mediated communication. It highlights the importance of low- level coordinative properties through multifaceted examination of the transcript of the first minute of a constructed coordinative situation. In efforts to truly understand the culture we are creating and invoking by adding computers to people's activities in groups, and life in general. A lab study was conducted using a computer program that allows one or more users to solve a Sudoku puzzle together, each on their own separate computer. This allowed for an investigation of what happens when people and technology are located in the same place. How do people construct their situation, in terms of who goes next, what do they do and what constitutes the behavior framing. / Master of Science

Den här rapporten undersöker egenskaper hos en algoritm som är baserad på Learning Backtracking Search Optimization Algorithm (LBSA) som introducerades av Chen et. al. (2017). Undersökningen genomfördes genom att tillämpa algoritmen på Sudokuproblemet och jämföra lösningsgraden och diversiteten i den sista populationen med en algoritm som är baserad på Hybrid Genetic Algorithm (HGA) som introducerades av Deng och Li (2011). Resultaten visar att implementationen av den LBSA-baserade algoritmen har en lägre lösningsgrad än den HGA-baserade algoritmen för alla genomförda experiment, men att algoritmen håller en högre diversitet i den sista populationen för tre av de fem gjorda experimenten. Slutsatsen är att den LBSA-baserade algoritmen inte är lämplig för att lösa Sudokuproblemet på grund av en låg lösningsgrad och att implementationen har en hög komplexitet. / This report examines the properties of an algorithm based on the Learning Backtracking Optimization Algorithm (LBSA) introduced by Chen et. al. (2017). The examination was performed by applying the algorithm on the Sudoku problem and then comparing the solution rate and the diversity in the final population with an algorithm based on the Hybrid Genetic Algorithm introduced by Deng and Li (2011). The results show the implementation of the LBSA based algorithm have a lower solution rate than the HGA based algorithm for all executed experiments. But the LBSA based algorithm manage to keep a higher diversity in the final population in three of the five performed experiments. The conclusion is that the LBSA based algorithm is not suitable for solving the Sudoku problem since the algorithm has a lower solution rate and the implementation have a high complexity.

Metaheuristics are used to find feasible solutions to hard Combinatorial Optimization Problems (COPs). Constraint Satisfaction Problems (CSPs) may be formulated as COPs, where the objective is to reduce the number of violated constraints to zero. The popular puzzle Sudoku is an NP-complete problem that has been used to study the effectiveness of metaheuristics in solving CSPs. Applying the Simulated Annealing (SA) metaheuristic to Sudoku has been shown to be a successful method to solve CSPs. However, the ‘easy-hard-easy’ phase-transition behavior frequently attributed to a certain class of CSPs makes finding a solution extremely difficult in the hard phase because of the vast search space, the small number of solutions and a fitness landscape marked by many plateaus and local minima. Two key mechanisms that metaheuristics employ for searching are diversification and intensification. Diversification is the method of identifying diverse promising regions of the search space and is achieved through the process of heating/reheating. Intensification is the method of finding a solution in one of these promising regions and is achieved through the process of cooling. The hard phase area of the search terrain makes traversal without becoming trapped very challenging. Running the best available method - a Constraint Propagation/Depth-First Search algorithm - against 30,000 benchmark problem-instances, 20,240 remain unsolved after ten runs at one minute per run which we classify as very hard. This dissertation studies the delicate balance between diversification and intensification in the search process and offers a hybrid SA algorithm to solve very hard instances. The algorithm presents (a) a heating/reheating strategy that incorporates the lowest solution cost for diversification; (b) a more complex two-stage cooling schedule for faster intensification; (c) Constraint Programming (CP) hybridization to reduce the search space and to escape a local minimum; (d) a three-way swap, secondary neighborhood operator for a low expense method of diversification. These techniques are tested individually and in hybrid combinations for a total of 11 strategies, and the effectiveness of each is evaluated by percentage solved and average best run-time to solution. In the final analysis, all strategies are an improvement on current methods, but the most remarkable results come from the application of the “Quick Reset” technique between cooling stages.

This thesis investigates the scalability of parallel Sudoku solving using Donald Knuth’s Dancing Links and Algorithm X with two different MPI communication methods: MPI One-Sided Communication and MPI Send-Receive. The study compares the performance of the two communication approaches and finds that MPI One-Sided Communication exhibits better scalability in terms of speedup and efficiency. The research contributes to the understanding of parallel Sudoku solving and provides insights into the suitability of MPI One-Sided Communication for this task. The results highlight the advantages of using MPI One-Sided Communication over MPI Send-Receive, emphasizing its superior performance in parallel Sudoku solving scenarios. This research lays the foundation for future investigations in distributed computing environments and facilitates advancements in parallel Sudoku solving algorithms.

This diploma thesis deals with Japanese puzzles and their use in teaching mathematics at primary school. Its main aim is to verify if it is possible for the pupils to achieve comparable results with older pupils and adult Sudoku solvers supposing that these learners are systematically guided through an escalating set of Sudoku puzzles. The theoretical part of the thesis is focused on the history of Sudoku, several strategies of its solving, other examples of Japanese puzzles and also on Sudoku in the context of its use at school. The practical part describes a series of experiments with pupils of the first, later second grade of a primary school, which were conducted in order to verify the hypothesis of this thesis.

Sudoku is a popular puzzle game where the aim is to fill a board with numbers from one to nine with some mathematical rules to obey. The difficulty level of a Sudoku is affected by the amount of digits in the beginning, called clues. Mathematically there exists different algorithms and methods to solve a Sudoku. In this project some of the methods are investigated and compered to each other in time to find the fastest and most suitable for this project. A construction was built to be able to print out a non solved puzzle. Due to the current situation in society with Covid-19, the project has been affected negatively. The construction became very time consuming due to lack of tools and material. That affected the finished construction and the implementation of the code written in Python. After all the robot was able to print a Sudoku puzzle that can be solved. The printing time was decreased to 3 minutes after some tests with different delays. All the research questions were answered and the goal of the project which was to be able to print a Sudoku was reached. / Sudoku är ett populärt pussel där målet är att fylla i ett rutnät med siffror från ett till nio med vissa matematiska regler att följa. Svårighetsgraden av ett sudoku påverkas av antalet siffror från början, ledtrådar. Matematiskt finns det olika algoritmer och metoder för att lösa ett sudoku. I det här projektet undersöktes några metoder och jämfördes tidsmässigt med varandra för att hitta den snabbaste och mest passande för det här projektet. En konstruktion byggdes för att kunna skriva ut ett icke löst pussel. På grund av den rådande situationen i samhället med Covid19 så har projektet påverkats negativt. Konstruktionen blev väldigt tidskrävande på grund av brist på verktyg och material. Detta påverkade den slutgiltiga konstruktionen och implementeringen av koden skriven i Python. Trots allt så kunde roboten skriva ut ett Sudoku som kan lösas. Tiden att skriva ut ett Sudoku minskades till 3 minuter efter ett antal tester med olika fördröjningar. Alla forskningsfrågor kunde besvaras och målet med projektet som var att kunna skriva ut ett Sudoku nåddes.