On sait que le nombre de racines réelles d’un polynôme à une variable de degré d et à coefficients réels est compris entre 0 et d. Au début des années 90, E. Kostlan prouve que le nombre moyen de racines vaut racine carrée de d, lorsque ces polynômes sont équipées d’une mesure de probabilité adéquate. Ce résultat possède une interprétation géométrique, où les polynômes apparaissent comme sections au-dessus de la sphère de Riemann, et ils peuvent s’étendre au cadre plus général de sections de fibrés en droites amples sur une surface de Riemann. Il s’agit ici du calcul de l’espérance mathématique du nombre de racines réelles de ces polynômes ou sections. Dans cette thèse, on calcule tous les moments centrés de ces variable aléatoires. Comme application de ce calcul, on prouve que la mesure de l’ensemble des polynômes ou sections dont le nombre de racines s’ écartent de la moyenne est majoré de façon effective en fonction de cet écart, un résultat de type concentration de la mesure en probabilité. Dans une deuxième partie, on présente des résultats analogue dans la théorie de Hurwitz réelle, où plutôt que du nombre de racines réelles d’un polynôme aléatoire, on considère le nombre de points critiques réels d’un revêtement ramifié aléatoire de la sphère de Riemann. On calcul la moyenne et tous les moments centrés du nombre de points critiques réels d'un revêtement aléatoire.Les techniques employées dans la preuve de ces résultats sont de nature analytique (noyau de Bergman, estimées L^2) et géométriques (multi-espaces d'Olver, formule de la coaire) / It is well known that the number of real roots of a real degree d polynomial is at most d. In the 90s, E. Kostlan proved that the average number of real roots equals the square root of d, once we equip the space of polynomials with some natural Gaussian measure. This result has a geometric interpretation, in which the real polynomials are sections of a line bundle over the Riemann sphere. We can extend this study in a more general case of a real Riemann surface equipped with ample line bundle and study the expected value of the number of real zeros of a random section. In this thesis, we compute all the central moments of these random variables. As an application, we prove that the measure of the space of real sections whose number of real zeros deviates from the expected one goes to zeros, as the degree of the line bundle goes to infinity.In a second part, we present analogues results in real Hurwitz theory, in which we study the real critical points of a random branched covering of the Riemann sphere. We compute the expected value of this number and also all the central moments.The techniques we use are of analytique nature (Bergman kernel, L^2 estimates) and gometric one (Olver multispaces, coarea formula)

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites.

Les espaces de modules de Riemann répondent au problème de la classification des surfaces de Riemann compactes d'un genre donné. Le sujet de cette thèse est la cohomologie de l'espace des modules des courbes d'un genre donné avec un certain nombre de points marqués. La description de cet anneau a été initiée par D. Mumford puis C. Faber avait proposé une description de l'anneau tautologique des espaces de modules sans points marqués. Une première source de relations provient des relations A. Pixton démontrées par A. Pixton, R. Pandharipande et D. Zvonkine mais on ne sait pas si elles sont complètes. Une autre source de relations utilisée dans ce travail sont les relations de A. Buryak, S. Shadrin et D. Zvonkine. Avant cette thèse, il y avait peu de résultats sur l'anneau tautologique d'espaces de modules de courbes avec un nombre quelconque de points marqués. Cette thèse donne une description complète des l'anneaux tautologiques des espaces de modules de courbes de genres 0, 1, 2, 3 et 4. Un des résultats ayant demandé beaucoup de travail est le groupe de degré 2 de l'anneau tautologique des espaces de modules de courbes lisses de genre 4. Ce groupe demande un travail sur l'annulation de certaines classes tautologiques sur le bord de la compactification de Deligne-Mumford de l'espace des modules en plus d'un astucieux travail numérique. L'espace des modules des courbes réelles de genre 0 et sa théorie de l'intersection sont également étudiés. On peut alors démontrer plusieurs résultats analogues à ceux obtenus dans le cas complexe comme l'équation de la corde. On démontre une formule donnant les nombres d'intersection. / The problem of the moduli spaces of compact Riemann surfaces is the problem of the classification of compact Riemann surfaces of a certain genus. The topic of this thesis is the cohomology of the moduli spaces of curves of a certain genus with marked points and more precisely its subbring called tautological ring. The description of the tautological ring has been initiated by D. Mumford, then C. Faber conjectured a description of the moduli space of curves without marked points. A source of tautological relations are Pixton's relations proven by A. Pixton, R. Pabndharipande and D. Zvonkine. Another source of relations are relations of A. Buryak, S. Shadrin and D. Zvonkine. Before this thesis, there were only few results on the tautological ring of curves with any number of marked points. This thesis gives a complete description of the tautological rings of moduli curves of genera 0, 1, 2, 3 and 4 with any number of marked points. A result which needed a lot of work is the group of degree 2 of the tautological ring of the moudli space of smooth curves of genus 4. We need to work on the vanishing of some tautological classes on the boundary of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves and a clever numerical work.The moduli space of real curves of genus 0 and its intersection theory are also studied. Then we can show several results which are analogous to results in the complex case like the string equation. One result of this thesis is a formula giving intersection numbers of products of xi classes.x

Cette thèse étudie une classe des problèmes de Riemann-Hilbert Fuchsiens (à coefficients méromorphes dont tous les pôles sont d'ordre un). Les variétés de Frobenius apparaissent comme une formulation géométrique des structures d'équations de Witten-DijkgraafVerlande-Verlande (WDVV). Nous considérons ces variétés sur les espaces de Hurwitz vus, quant à eux, comme variétés réelles motivés par le fait qu'une variété de Frobenius semisimple peut être construite à partir d'une solution fondamentale du problème de Riemann-Hilbert associé. Une solution au problème Fuchsien de Riemann-Hilbert matriciel (problème de monodromie inverse) correspondant aux structures "réelles doubles" de Frobenius de Dubrovin sur les espaces de Hurwitz, a été construite. La solution est donnée en termes de certaines différentielles méromorphes integrées sur une base appropriée d'homologie relative de la surface de Riemann. La relation avec la solution du problème Fuchsien de Riemann-Hilbert pour les structures de Frobenius Hurwitz de Dubrovin est établie. Une solution du problème de Riemann-Hilbert correspondant aux déformations des "réelles doubles" est aussi donnée.

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes. / In this thesis, we will study several algebraic, geometrical and topological properties of compact Riemann surfaces. Two principal subjects will be treated. First, using the fact that every compact Riemann surfaces of genus g greater or equal to 2 has a finite number of Weierstrass points, we will be able to prove that those surfaces have a finite number of automorphism. Afterward, we will study the Eichler's trace formula. This formula allow us to find the character of an automorphism acting on the space of holomorphic q-differentials. We will start our study using Klein's quartic curve. We will apply Eichler's formula in this case, which will allow us to familiarize ourselves with the statement of the theorem. Finally, we will demonstrate the Eichler's trace formula, treating the case where the automorphism acts fixed point freely separately from the case where the automorphism has fixed points.

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites. / This thesis is dedicated to the study of three problems of complex and almost complex hyperbolicity. Its first part is dedicated to the research of a quantitative consequence to Kobayashi hyperbolicity, which is a qualitative property. The result we obtain has the form of an isoperimetric inequality that suggests Ahlfors' inequality, the central result of the theory of covering surfaces. Its proof uses only riemannian tools.The second part of the thesis is dedicated to the proof of an almost complex version of Borel's theorem, which says that an entire curve in the compex preojective plane missing four lines in general position is degenerate. In an almost compex context, we can obtain a similar result for entire J-curves just by replacing projective lines by J-lines. The proof of this result uses central projections and Ahlfors' theory of covering surfaces.The last part is dedicated to the proof of an almost complex version of Bloch's theorem, which says that given a sequence of holomorphic discs in the projective plane, either it is normal, either it converges in some sens to a reunion of three lines. Our result will show in particular that the complementary set of four J-lines in general position is hyperbolic modulo three J-lines.

Dans ce mémoire, nous étudierons quelques propriétés algébriques, géométriques et topologiques des surfaces de Riemann compactes. Deux grand sujets seront traités. Tout d'abord, en utilisant le fait que toute surface de Riemann compacte de genre g plus grand ou égal à 2 possède un nombre fini de points de Weierstrass, nous allons pouvoir conclure que ces surfaces possèdent un nombre fini d'automorphismes. Ensuite, nous allons étudier de plus près la formule de trace d'Eichler. Ce théorème nous permet de trouver le caractère d'un automorphisme agissant sur l'espace des q-différentielles holomorphes. Nous commencerons notre étude en utilisant la quartique de Klein. Nous effectuerons un exemple de calcul utilisant le théorème d'Eichler, ce qui nous permettra de nous familiariser avec l'énoncé du théorème. Finalement, nous allons démontrer la formule de trace d'Eichler, en prenant soin de traiter le cas où l'automorphisme agit sans point fixe séparément du cas où l'automorphisme possède des points fixes. / In this thesis, we will study several algebraic, geometrical and topological properties of compact Riemann surfaces. Two principal subjects will be treated. First, using the fact that every compact Riemann surfaces of genus g greater or equal to 2 has a finite number of Weierstrass points, we will be able to prove that those surfaces have a finite number of automorphism. Afterward, we will study the Eichler's trace formula. This formula allow us to find the character of an automorphism acting on the space of holomorphic q-differentials. We will start our study using Klein's quartic curve. We will apply Eichler's formula in this case, which will allow us to familiarize ourselves with the statement of the theorem. Finally, we will demonstrate the Eichler's trace formula, treating the case where the automorphism acts fixed point freely separately from the case where the automorphism has fixed points.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l'hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers.

Ma contribution principale porte sur la géométrie différentielle discrète, spécialement la géométrie conforme discrète. Les champs d'application principaux que j'étudie sont l'imagerie par ordinateur et les systèmes intégrables, tant les systèmes intégrables discrets que les systèmes statistiques intégrables. Ma thèse sur le modèle d'Ising a identifié la criticité dans le modèle de taille fini comme un point où le fermion, une observable particulière, devient holomorphe pour une structure conforme discrète sous-jacente. À l'université de Melbourne, je me suis intéressé avec Paul Pearce aux modèles ADE qui sont une généralisation du modèle d'Ising, dans le but (inachevé mais en bonne voie) d'y identifier un analogue discret de l'algèbre des opérateurs vertex (les conditions de bord conformes et intégrables) et des blocs conformes, en particulier dans l'espoir de comprendre la criticité comme une compatibilité à l'holomorphie discrète. À l'université technique de Berlin, avec Alexander Bobenko et son équipe, j'ai compris la nature intégrable du modèle associé à l'holomorphie discrète (linéaire et quadratique) et utilisé les outils très puissants de cette théorie (isomonodromie, transformations de Darboux-Bäcklund, finite-gap) pour mettre à jour la position centrale de l'analyse complexe discrète dans la hiérarchie des systèmes intégrables discrets. À Montpellier, dans l'équipe Arith dirigée par Valérie Berthé, j'ai appliqué cette théorie dans le cadre de la géométrie différentielle discrète, particulièrement dans le cadre voxellique de la géométrie digitale.

On borne explicitement la hauteur de Faltings d'une courbe sur le corps de nombres algèbriques en son degré de Belyi. Des résultats similaires sont démontré pour trois autres invariants arakeloviennes : le discriminant, l'invariant delta et l'auto-intersection de omega. Nos résultats nous permettent de borner explicitement les invariantes arakeloviennes des courbes modulaires, des courbes de Fermat et des courbes de Hurwitz. En plus, comme application, on montre que l'algorithme de Couveignes-Edixhoven-Bruin est polynomial sous l’hypothèse de Riemann pour les fonctions zeta des corps de nombres. Ceci était connu uniquement pour certains sous-groupes de congruence. Finalement, on utilise nos résultats pour démontrer une conjecture de Edixhoven, de Jong et Schepers sur la hauteur de Faltings d'un revêtement ramifié de la droite projective sur l'anneau des entiers. / We explicitly bound the Faltings height of a curve over the field of algebraic numbers in terms of the Belyi degree. Similar bounds are proven for three other Arakelov invariants: the discriminant, Faltings' delta invariant and the self-intersection of the dualizing sheaf. Our results allow us to explicitly bound these Arakelov invariants for modular curves, Hurwitz curves and Fermat curves. Moreover, as an application, we show that the Couveignes-Edixhoven-Bruin algorithmtime under the Riemann hypothesis for zeta-functions of number fields. This was known before only for certain congruence subgroups. Finally, we utilize our results to prove a conjecture of Edixhoven, de Jong and Schepers on the Faltings height of a branched cover of the projective line over the ring of integers.