Ce travail est consacré à la recherche de surfaces de Riemann (\it compactes) extrê\-mes (i.e. maxima locaux) pour la systole, ou tout au moins parfaites. En genre 4, on donne une nouvelle surface extrême et deux surfaces parfaites non extrêmes (ce sont les premiers exemples de telles surfaces en genre $\leq 10$). La méthode consiste à réaliser géométriquement les groupes d'automorphismes à 4 points de branchements. En effet, le lieu des points fixes dans l'espace de Teichmüller $T_g$ d'un tel groupe, dépend d'un paramètre complexe qu'on peut alors ajuster pour maximiser la systole. On étudie ensuite les propriétés variationnelles dans $T_g$ des surfaces obtenues. Par extension de cette méthode, on trouve également une nouvelle surface extrême en genre 6, ainsi qu'une suite infinie de surfaces parfaites non extrêmes de genre $g>3$. En outre, on retrouve, de manière unifiée, les surfaces déjà connues en genre $\leq 5$. La méthode employée pour la recherche de surfaces parfaites, permet de trouver parallèlement un certain nombre de surfaces eutactiques, qui sont intéressantes à classifier en elles-mêmes puisque ce sont les points critiques de la fonction systole. Enfin, le dernier chapitre, développant une toute autre approche, concerne une méthode purement algébrique qui permet de redémontrer l'extrémalité des surfaces respectivement de Bolza et de Klein.

.

Ce travail présente une discussion d'aspects mathématiques et <br /> physiques des solutions des équations d'Einstein et d'Einstein-Maxwell <br /> dans le cas stationnaire avec symétrie axiale, obtenues <br /> par des méthodes de la géométrie algébrique. <br /> Puisque dans ce cas les <br /> équations sont équivalentes aux systèmes <br /> d'Ernst complètement intégrables, les méthodes de <br /> Riemann-Hilbert peuvent être appliquées pour construire des <br /> solutions vérifiant des conditions aux limites données. <br /> Nous démontrons ici que des <br /> problèmes de Riemann-Hilbert avec des conditions analytiques peuvent <br /> être résolus sur des surfaces de Riemann. Sur des surfaces <br /> non-compactes, nous prouvons l'existence de solutions en utilisant la <br /> théorie des <br /> espaces fibrés. Les surfaces de Riemann<br /> sont compactes si les conditions aux limites du <br /> problème de Riemann-Hilbert sont des fonctions <br /> rationnelles ce qui permet de <br /> trouver des solutions explicites (dues à Korotkin) <br /> sous forme de fonctions thêta hyper-elliptiques. <br /> Grâce à <br /> l'identité de Fay, toutes les composantes de la métrique <br /> correspondant à ces solutions sont <br /> données sous forme de fonctions thêta. <br /> Nous discutons les singularités de ces solutions et nous <br /> identifions une sous-classe qui est régulière à <br /> l'extérieur d'un contour pouvant représenter la surface <br /> extrême <br /> d'une distribution de matière. Comme exemple astrophysique <br /> nous considérons le cas des <br /> disques de poussière qui peuvent servir de modèles pour <br /> certaines <br /> galaxies et pour la matière dans des disques d'accrétion autour <br /> de trous noirs. Les solutions sous forme de fonctions <br /> thêta et leurs dérivées sont reliées par des conditions <br /> algébriques qui déterminent les classes de problèmes <br /> aux limites <br /> pouvant être résolus sur une surface de Riemann donnée. <br /> Nous établissons ces relations qui sont <br /> utilisées pour <br /> résoudre des problèmes aux limites décrivant des disques de poussière. <br /> La solution explicite pour un disque de poussière avec deux <br /> composantes en contre-rotation est donnée. Cette solution contient <br /> un disque statique de Morgan et Morgan et le disque en rotation <br /> rigide avec une seule composante comme cas limites. Nous discutons la <br /> métrique, les cas limites, les moments multipolaires et le <br /> tenseur d'impulsion-énergie. Les fonctions thêta sont évaluées <br /> numériquement avec l'utilisation des méthodes spectrales. Le cas des trous <br /> noirs avec un disque annulaire statique est aussi discuté. Nous <br /> prouvons l'existence et l'unicité des solutions en appliquant un théorème <br /> dû à Poole, et nous donnons des solutions approchées. Des <br /> solutions explicites sont présentées pour des disques annulaires infinis. <br /> Dans le cas stationnaire, nous montrons que <br /> des solutions hyper-elliptiques sur des <br /> surfaces dégénérées ont le même horizon que la solution de <br /> Kerr avec un disque infini autour. <br /> Nous discutons le cas d'une surface de genre deux quand les solutions <br /> peuvent être données sous forme de fonctions élémentaires <br /> en détail. Pour les équations d'Einstein-Maxwell, nous <br /> construisons des solutions hyper-elliptiques avec charges. Nous <br /> exploitons la symétrie des équations pour construire ces solutions <br /> à partir des solutions sans champs <br /> électromagnétiques en utilisant une transformation de Harrison. Les <br /> disques de poussière avec charge en contre-rotation sont <br /> également discutés.

Le but de ce mémoire est de présenter une généralisation des algorithmes Zipper et Géodésique, dans les cas de calculs d'applications conformes entre deux domaines doublement connexes. Nous aurons donc besoin dans un premier temps, de connaître les domaines doublement connexes et de classifier les domaines multiplement connexes de référence, ainsi que les applications analytiques permettant de s'y ramener. On définira brièvement, par la suite, les notions de capacité et de capacité hyperbolique. Ceci nous permettra d'énoncer un théorème de représentation conforme en connectivité 2. Nous travaillerons ensuite sur les revêtements universels des domaines considérés, de sorte à pouvoir récupérer les algorithmes existants dans le cas simplement connexe, et principalement, les algorithmes Zipper et Géodésique.

Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules. Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées. Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces qui sont des courbes réelles à trois composantes réelles dans ces familles. Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en "L" pavée par trois carreaux. Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en "L".

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Le théorème<br />d'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toute<br />surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du<br />demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien.<br /> D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébrique<br />complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours être<br />réalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros<br />d'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes<br />$P(x,y,z)=0$.<br /><br />Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deux<br />descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des<br />automorphismes non-triviaux.<br /><br />En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant une<br />involution non-triviale. On décrit la correspondance entre les<br />actions de deux groupes opérant l'un sur les structures<br />algébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces<br />surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréter<br />en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les<br />différents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de<br />$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les<br />équations de certains twists de Dehn. On fait une étude<br />similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On<br />étudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies par<br />moins de paramètres que l'espace ambiant (sans que cela<br />corresponde nécessairement à la présence d'automorphismes<br />supplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.<br />On montre notamment que les différents groupes permettent<br />d'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfaces<br />ayant des types topologiques pour la partie réelle différents.<br /><br />En genre 3, nous étudions les relations entre les équations des<br />quatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,<br />ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment on<br />peut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas où<br />ils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules.Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées.Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces de certaines de ces familles.Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en «L» pavée par trois carreaux.Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en «L». / In this thesis we study some one parameter families of compact Riemann surfaces of genus 2 defined by translation surfaces.The families we consider are Teichmüller geodesics in the moduli space.We mainly describe these surfaces by means of period matrices and equations of the associated algebraic curves.We study admissible automorphisms for surfaces in some of those families.The main result is an explicit characterisation of period matrices of real curves with three real components belonging to the family obtained by projecting the SL(2,R)-orbit of the «L»-shaped translation surface tiled by three squares into the moduli space.We finally show, using an interpretation in terms of Schwarz-Christoffel transformations, how to numerically compute an equation of the algebraic curve defined by a «L»-shaped translation surface.