L'objectif de cette thèse est de proposer des solutions aux problèmes liés à la commande optimale de systèmes dynamiques multi-agents en présence de contraintes. Des éléments de la théorie de commande et d'optimisation sont appliqués à différents problèmes impliquant des formations de systèmes multi-agents. La thèse examine le cas d'agents soumis à des contraintes dynamiques. Pour faire face à ces problèmes, les concepts bien établis tels que la théorie des ensembles, la platitude différentielle, la commande prédictive (Model Predictive Control - MPC), la programmation mixte en nombres entiers (Mixed-Integer Programming - MIP) sont adaptés et améliorés. En utilisant ces notions théoriques, ce travail de thèse a porté sur les propriétés géométriques de la formation d'un groupe multi-agents et propose un cadre de synthèse original qui exploite cette structure. En particulier, le problème de conception de formation et les conditions d'évitement des collisions sont formulés comme des problèmes géométriques et d'optimisation pour lesquels il existe des procédures de résolution. En outre, des progrès considérables dans ce sens ont été obtenus en utilisant de façon efficace les techniques MIP (dans le but d'en déduire une description efficace des propriétés de non convexité et de non connexion d'une région de faisabilité résultant d'une collision de type multi-agents avec des contraintes d'évitement d'obstacles) et des propriétés de stabilité (afin d'analyser l'unicité et l'existence de configurations de formation de systèmes multi-agents). Enfin, certains résultats théoriques obtenus ont été appliqués dans un cas pratique très intéressant. On utilise une nouvelle combinaison de la commande prédictive et de platitude différentielle (pour la génération de référence) dans la commande et la navigation de véhicules aériens sans pilote (UAVs).

Nous présentons un ensemble de méthodes pour la vérification et la commande de systèmes continus et hybrides, basées sur l'utilisation de trajectoires individuelles. Dans une première partie, nous précisons la classe des systèmes considérés et leurs propriétés. Nous partons de systèmes continus régis par des équations différentielles ordinaires auxquels nous ajoutons des entrées et des événements discrets, constituant ainsi une classe de systèmes dynamiques hybrides. La seconde partie est consacrée à la vérification de ces systèmes basée sur le calcul d'atteignabilité. Nous étudions comment un nombre fini de trajectoires peut couvrir l'ensemble infini des états atteignables du système. Nous montrons qu'en utilisant une analyse de la sensibilité aux conditions initiales, une sur-approximation de l'ensemble atteignable peut être obtenue. Nous en déduisons un algorithme qui, par une sélection hiérarchique des trajectoires, trouve rapidement un comportement mauvais ou prouve qu'il n'en existe aucun. La troisième partie concerne la commande optimale et se base sur des techniques de programmation dynamique approchée. Un coût est défini pour chaque trajectoire, et la commande minimisant ce coût se déduit d'une fonction valeur définie sur l'espace d'état et que nous représentons en utilisant un approximateur de fonction . Nous utilisons l'expérience fournie par des trajectoires tests pour améliorer cette approximation. Enfin, nous utilisons les résultats de la deuxième partie pour sélectionner ces trajectoires en cohérence avec les propriétés de généralisation locales de l'approximateur de fonction et en restreignant l'exploration de l'espace d'état pour limiter les calculs.

La thèse porte sur les effets d'anisotropie induits par croissance d'interface rugueuse en solidification directionnelle. Ceux-ci se manifestent notamment par des directions de croissance variables des structures et des phénomènes morphologiques associés importants : dissymétrie, long cortège de branchements, instabilités. Cette étude est menée dans un premier temps sur des structures homogènes avant d'être étendue à des situations inhomogènes. Lorsque la vitesse de croissance augmente, la direction de croissance des dendrites s'oriente depuis une direction macroscopique donnée par le gradient thermique jusqu'à une direction microscopique fixée par les symétries cristallines. Leur étude expérimentale exhaustive a fourni ici un grand nombre de données dont le traitement a révélé une symétrie interne. Celle-ci conduit à la sélection d'une loi d'orientation fonction du nombre de Péclet et de l'écart entre les directions fixes macroscopique et microscopique du problème. Une nouvelle définition de la taille caractéristique des structures a cependant permis d'exprimer l'orientation relative des dendrites en fonction du seul nombre de Péclet par une courbe devenue indépendante de l'angle entre les deux directions fixes. La nouvelle loi ainsi obtenue est universelle car elle est indépendante de l'intensité du gradient thermique, des caractéristiques d'anisotropie et même de la nature de l'alliage solidifié. Enfin, l'application locale aux fronts inhomogènes des résultats obtenus sur les fronts homogènes permettent de comprendre la dynamique propre engendrée par des variations de taille de structures, d'orientation et d'intensité du gradient thermique.

On présente dans ce mémoire un résumé de nos recherches depuis 1985 dont le fil conducteur réside dans l'étude des systèmes dynamiques non-lineaires, déterministes et stochastiques.<br />Une première partie est consacrée aux principaux résultats à caractère fondamental obtenus durant cette période. On montre comment les représentations algébriques (algèbre de Lie) des systèmes non-linéaires que nous avons développés permettent d'appréhender sous un nouveau jour les problèmes de commandabilité des systèmes. Nous présentons ensuite le filtrage polynomial à horizon infini, particulièrement adapté au filtrage des systèmes bilinéaires, et montrons en quoi ses performances dépassent largement les filtres polynomiaux classiques. Une partie est alors consacrée à la réalisation et à l'identification des systèmes linéaires en treillis ARMAX. On montre comment la non-linéarité du problème d'optimisation peut-être résolue au prix d'un calcul héréditaire. Nous exposons enfin notre contribution au filtrage particulaire concernant l'optimisation des distributions initiales des particules ainsi que leurs redistributions.<br />Une deuxième partie est consacrée au traitement d'applications de ces résultats théoriques. Nous nous restreignons ici au problème de la détection de multi-émissions sur une même porteuse (projet Clementine / CELAR), et au traitement non-linéaire du signal LORAN-C (DCN/DIGINEXT)

Dans ce travail de thèse, nous développons une notion de mesure de Gibbs pour le flot géodésique tangent aux feuilles d'un fibré feuilleté au dessus d'une base négativement courbée. Nous développons également une notion de mesure F-harmonique et prouvons qu'il existe une correspondance bijective entre les deux. Lorsque la fibre est une droite projective complexe, que l'holonomie est projective, et qu'il n'y a pas de mesure transverse invariante, nous prouvons l'unicité de ces mesures, et ce pour tout potentiel Hölder sur la base. Dans ce cas, nous prouvons également que la mesure F-harmonique se réalise comme limite pondérée de grandes boules tangentes aux feuilles, et que leurs mesures conditionnelles dans les fibres sont des limites de moyennes pondérées sur les orbites du groupe d'holonomie.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi.

Cette thèse traite de la synchronisation et de la désynchronisation des systèmes dynamiques. Dans une première partie nous abordons, sous l'angle de la biologie systémique, le problème de la désynchronisation qui consiste à induire un comportement chaotique dans un système ayant une dynamique stable. Nous étudions ce problème sur un réseau génétique appelé V-système, inventé afin de coupler le plus simplement possible une bifurcation de Hopf et une hystérèse. Après avoir démontré qu'un champ de vecteurs de R^n présentant un tel couplage peut, sous certaines conditions, avoir un comportement chaotique, nous donnons un ensemble de paramètres pour lequel le V-système associé satisfait ces conditions et vérifions numériquement que le mécanisme responsable du chaos prend place dans ce système. Dans une deuxième partie, nous nous intéressons à la synchronisation de systèmes organisés hiérarchiquement. Nous commençons par définir une structure hiérarchique pour un ensemble de 2^n systèmes par une matrice représentant les étapes d'un processus de regroupement deux par deux. Cela nous amène naturellement au cas d'un ensemble de Cantor de systèmes, pour lequel nous obtenons un résultat de synchronisation globale généralisant le cas fini. Enfin nous traitons de la situation où certains défauts apparaissent dans la hiérarchie, i.e que certains liens entre les systèmes sont brisés. Nous montrons que l'on peut accepter un nombre infini de liens brisés, tout en gardant une synchronisation locale, à condition que ces liens soient uniquement présents aux N premiers étages de la hiérarchie (pour un N fixé) et qu'ils soient suffisamment espacés dans ces étages.

Nous étudions le comportement en temps long de certains processus stochastiques dont la dynamique dépend non seulement de la position, mais aussi du temps, et dont le terme de diffusion et le potentiel satisfont des conditions d'invariance d'échelle. Nous mettons en lumière un phénomène de transition de phase générale, entièrement déterminé par les différents indices d'auto-similarité en jeu. La principale idée mise en exergue est de considérer une transformation d'échelle adéquate, tirant pleinement parti des nombreuses invariances de notre problème.Dans une première partie, nous étudions une famille de processus de diffusion unidimensionnels, dirigés par un mouvement brownien, dont la dérive est polynomiale en temps et en espace. Ces diffusions généralisent les marches aléatoires, en lien avec le modèle d'urne de Friedman, étudiées par Menshikov et Volkov (2008). Nous donnons, de manière exhaustive, les lois du type logarithme itéré, les limites d'échelle ainsi que les temps de survie de ces processus. La seconde partie est, quant à elle, consacrée à l'étude d'une famille de processus de diffusion en environnement aléatoire, dirigés par un mouvement brownien unidimensionnel, dont le potentiel est brownien en espace et polynomial en temps. Ces diffusions sont une extensiondu modèle amplement étudié de Brox (86) et, en un sens randomisé, du modèle précédent. La différence notable avec le modèle déterministe est que nous obtenons, dans le cas critique, une mesure aléatoire quasi-invariante et quasi-stationnaire pour le semi-groupe, déduite de l'étude d'un système dynamique aléatoire sous-jacent.

Ce mémoire de thèse s'articule en deux parties. La premiière partie s'intéresse à la robustesse du nombre de reproduction de base R0 et du nombre de reproduction type T, qui sont des seuils pour des systèmes épidémiques. Nous montrons que ces paramètres seuils ne sont pas des jauges fiables pour évaluer la distance qui sépare le Jacobien J du système, calculé au point d'équilbre sans maladie à l'ensemble des matrices stables (S) si J est instable, ( respectivement 'a l'ensemble des matrices instables ( U) si J est stable). La deuxième partie se penche sur l'étude d'un modèle déterministe (S V E I R), o'u S représente les susceptibles, V les vaccinés, E les latents, I les infectieux et R les immuns. Dans le dit modèle, les vaccinés sont considérés comme des "susceptibles dans une moindre mesure" du fait que le vaccin ne garantit pas une immunité totale. Le nombre de reproduction de base Rvac qui assure l'existence et l'unicité de l'équilibre endémique est déterminé La globale stabilité de l'équilibre endémique est établie en utilisant les techniques de Lyapunov quand Rvac > 1. Ce réesultat améliore un résultat de Gumel et al.

Les bâtiments consomment plus de 40 % de l'énergie mondiale. Bien que nombre de propositions pour améliorer la gestion de l'énergie dans les bâtiments aient été avancées, cette problématique demeure essentiellement ouverte. Cette thèse porte sur le développement et l'évaluation d'une commande prédictive pour la gestion de l'énergie dans le bâtiment ainsi que l'étude de l'embarcabilité de l'algorithme de contrôle sur une cible temps-réel (Roombox - Schneider-Electric). En plus des divers simulations montrant l'intêret d'une telle approche, ce travail explore aussi la capacité de la commande prédictive à s'adapter à des scénarii complexes (prix variable de l'énergie, bâtiments multi-sources, contraintes de ressources, stockage d'énergie, ...). Ce travail propose l'élaboration d'une architecture de commande distribuée pour contrôler les paramètres de confort dans chaque zone du bâtiment sous respect de contraintes de ressources globales. Cette thèse CIFRE a été préparée au sein du laboratoire Gipsa-lab en partenariat avec Schneider-Electric dans le cadre du programme HOMES (www.homesprogramme.com).