Dans la première partie de la thèse, nous caractérisons les exemples de Lattès parmi les endomorphismes holomorphes de CP(k) par l'absolue continuité de leur mesure d'entropie maximale. Il s'ensuit une caractérisation des exemples de Lattès en terme d'exposants de Lyapounoff de cette mesure. Ces résultats montrent que, génériquement, la mesure d'entropie maximale d'un endomorphisme holomorphe de degré d de CP(k) n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue (elle est par conséquent singulière, en vertu de son ergodicité), et que l'un au moins de ses exposants est strictement plus grand que log d /2. Ceci répond à une question posée par Fornaess et Sibony. La caractérisation des exemples de Lattès par leur mesure d'entropie maximale repose sur un principe de renormalisation, dont l'élaboration utilise l'interprétation pluripotentialiste de cette mesure comme masse de Monge-Ampère. Le passage de la minimalité des exposants à l'absolue continuité fut établi par Ledrappier en dimension 1, et relève de la théorie ergodique. Les arguments en dimension plus grande que un sont les mêmes. La seconde partie est consacrée à l'étude du bassin d'attraction de l'origine des relevés polynomiaux des exemples de Lattès. Nous montrons que le bord de ces domaines se désingularise explicitement en une hypersurface sphérique compacte. Ces domaines sont donc assez surprenants, puisqu'ils sont proches de la boule euclidienne et admettent des auto-applications holomorphes propres non injectives. Nous construisons la désingularisation du bord du bassin d'attraction dans un fibré en droites au dessus d'un tore, à l'aide de fonctions theta. La description des singularités s'obtient alors grace à quelques éléments de la théorie des invariants.

En utilisant le calcul de Malliavin et la théorie des formes de Dirichlet à travers la propriété de densité de l'énergie image, nous menons une étude de la régularité des mesures invariantes. Les cas discret et continu sont traités. Nous en déduisons des vitesses de convergence à l'équilibre, grace à un renforcement "quantitatif" de la propriété de densité de l'énergie image, qui permet d'établir des convergences en variation totale de mesures. De nombreuses conséquences sont déduites de cette propriété, comme le caractère Rajchman des variables non dégénérées au sens de l'opérateur carré du champ, ceci va dans le sens de la conjecture de Bouleau-Hirsch.

Ces dernières années plusieurs maladies infectieuses sont apparues ou ré-apparues. Ce phénomène n'est pas nouveaux et de nombreux facteurs, tels que les changements climatiques, l'intensification des échanges et des voyages, favorisent l'extension, le maintien ou l'émergence de nombreuses maladies infectieuses. L'étude de ces maladies dites (ré-)émergentes est relativement récente (années 1990, concept introduit par S. Morse). Dans cette thèse nous nous intéressons au cas d'une maladie tropical : le Chikungunya. Cette maladie due à un arbovirus (\textit{arthropod-borne virus}) est une maladie vectorielle transmise par les moustiques du genre \textit{Aedes}. Depuis une cinquantaine d'années, plusieurs épidémies ont été recensées, notamment en Afrique et en Asie et plus récemment sur l'île de la Réunion (2005-2006) et en Italie (2007). À l'heure actuelle, il n'est malheureusement pas possible de prédire l'émergence de nouveaux évènements, ceux-ci pouvant être plus ou moins localisés géographiquement, sporadiques ou épidémiques. La modélisation mathématique de ces maladies se révèle donc un atout considérable dans la tentative de compréhension de leur évolution. Ces modèles aident ainsi la prise de décisions et orientent les différentes actions. Dans ce travail nous présentons dans un premiers temps, les caractéristiques biologiques du vecteur et le mode transmission de la maladie à la population humaine. Nous formulons et étudions plusieurs modèles (EDO, Contrôle, EDR) décrivant la dynamique de croissance des différents stades d'évolution du vecteur (œuf/larve/nymphe/adulte) en utilisant des modèles structurés par classes. Cette dynamique est alors couplée à un modèle de transmission de la maladie, décrit par des modèles de type SI-SIR. Différentes stratégies de contrôle, intégrant les techniques de luttes contre la maladie et la prolifération de la population de moustique sont également étudiées. La formulation d'un modèle de type métapopulationnel, décrivant les déplacements humains et vecteurs ainsi qu'une modélisation de l'environnement de l'Île de la Réunion, nous permettent de valider nos modèles grâce à une comparaison aux données de seroprévalence enregistrées et estimées par l'INVS (Institut de Veille Sanitaire).

Ce travail de thèse porte sur la dynamique du flot linéaire des surfaces de translation et de sa renormalisation par le flot de Teichmüller introduite par H. Masur et W. Veech en 1982. Une version combinatoire de cette renormalisation, l'induction de Rauzy sur les échanges d'intervalles, fût introduite auparavant par G. Rauzy en 1979. D'une part, nous faisons une étude combinatoire des classes de Rauzy qui forment une partition de l'ensemble des permutations irréductibles et interviennent dans l'algorithme d'induction de Rauzy. Nous donnons une formule pour la cardinalité de chaque classe. D'autre part, nous étudions un modèle de billard infini $\ZZ^2$-périodique dans le plan appelé le \og vent dans les arbres \fg introduit dans une version stochastique par P.~et T. Ehrenfest en 1912 et par J. Hardy et J. Weber en 1980 dans la version périodique. Nous construisons une famille de directions pour lesquelles le flot du billard est divergent donnant ainsi des exemples de $\ZZ^2$-cocycles divergents au-dessus d'échanges d'intervalles. De plus, nous démontrons que le taux polynomial de diffusion générique est $2/3$ autrement dit que la distance maximale atteinte par une particule au temps $t$ est de l'ordre de $t^{2/3}$.

L'analyse temps réel de la masse de données générée par les mécanismes de gestion de la vision dans les applications interactives est un problème toujours ouvert, promettant des avancées importantes dans des domaines aussi variés que la robotique, l'apprentissage à distance ou les nouvelles formes d'interactions avec l'utilisateur, sans clavier ni souris. Dans le cadre général de la vision, les algorithmes d'analyse de scène doivent trouver un compromis entre d'une part la qualité des résultats recherchés et d'autre part la quantité de ressources allouable aux différents tâches. Classiquement, ce choix est effectué à la conception du système (sous la forme de paramètres et d'algorithmes prédéfinis), mais cette solution limite le champ d'application de celui-ci. Une solution plus flexible consiste à utiliser un système de vision adaptatif qui pourra modifier sa stratégie d'analyse en fonction des informations disponibles concernant son contexte d'exécution. En conséquence, ce système doit posséder un mécanisme permettant de guider rapidement et efficacement l'exploration de la scène afin d'obtenir ces informations. Chez l'homme, les mécanismes de l'évolution ont mis en place le système d'attention visuelle. Ce système sélectionne les informations importantes afin de réduire la charge cognitive et les ambiguïtés d'interprétation de la scène. Nous proposons, dans cette thèse, un système d'attention visuelle, dont nous définissons l'architecture et les principes de fonctionnement. Ce dernier devra permettre l'interaction avec un système de vision afin qu'il adapte ses traitements en fonction de l'intérêt de chacun des éléments de la scène, i.e. ce que nous appelons saillance. A la croisée des chemins entre les modèles centralisés et hiérarchiques (ex : [Koch1985], puis [Itti1998]), et les modèles distribués et compétitifs (ex : [Desimone1995], puis [Deco2004, Rolls2006]), nous proposons un modèle hiérarchique, compétitif et non centralisé. Cette approche originale permet de générer un point de focalisation attentionnel à chaque pas de temps sans utiliser de carte de saillance ni de mécanisme explicite d'inhibition de retour. Ce nouveau modèle computationnel d'attention visuelle temps réel est basé sur un système d'équations proies / prédateurs, qui est bien adapté pour l'arbitrage entre un comportement attentionnel non déterministe et des propriétés de stabilité, reproductibilité, et réactivité. L'analyse des expérimentations menées est positive : malgré le comportement non-déterministe des équations proies / prédateurs, ce système possède des propriétés intéressantes de stabilité, reproductibilité, et réactivité, tout en permettant une exploration rapide et efficace de la scène. Ces propriétés ouvrent la possibilité d'aborder différents types d'applications allant de l'évaluation de la complexité d'images et de vidéos à la détection et au suivi d'objets. Enfin, bien qu'il soit destiné à la vision par ordinateur, nous comparons notre modèle au système attentionnel humain et montrons que celui-ci présente un comportement aussi plausible (voire plus en fonction du comportement défini) que les modèles classiques existants.

Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées. Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0. Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une "propagation du chaos". Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires. Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell.

Les patients infectés par le VIH se voient proposer des traitements anti-viraux<br>lourds (avec des effets secondaires handicapants) qui sont destinés à être mis en<br>place à vie. Les différentes souches de virus, les mutations, les résistances ou tout<br>simplement les spécificités de chaque patient conduisent parfois à interrompre ou<br>à modifier le traitement après quelques semaines d'observation.<br>Ce travail de thèse s'inscrit dans une thématique pluridisciplinaire et son objectif<br>a été d'étudier la modélisation mathématique de l'évolution de l'infection<br>VIH/SIDA pour une aide précoce au diagnostic clinique. Notre approche consiste<br>à modéliser l'évolution des dynamiques de l'infection – essentiellement la dynamique<br>de la charge virale, du taux de CD4 et de CD8 – dans le but de prédire<br>son évolution. Cette modélisation met en jeu plusieurs paramètres (liés à la virulence<br>du virus et à l'état du système immunitaire du malade) qui nous permettent<br>d'interpréter et de caractériser certains phénomènes encore mal connus de l'infection.<br>Ce rapport présente donc l'identification (l'estimation) des paramètres<br>de l'infection à partir des mesures cliniques standard (à savoir la charge virale,<br>le taux de CD4 et de CD8), ainsi que la manière dont ces paramètres peuvent<br>être utilisés pour l'aide à la prise en charge thérapeutique du malade. D'un point<br>de vue technique, il a fallu développer des méthodes d'identification ad hoc qui<br>permettent de calculer les paramètres de l'infection à partir d'un faible nombre<br>de mesures.<br>Les résultats obtenus – grâce à un essai clinique mis en place par le CHU de<br>Nantes – montrent que les patients en échec thérapeutique, peuvent être précocement<br>détectés par l'analyse mathématique de leurs paramètres respectifs.<br>Ce rapport présente dans un premier temps la modélisation de l'infection VIH,<br>avec un aperçu des modèles standard qui existent ainsi que deux nouveaux modèles<br>que nous avons introduits pour le besoin de cette étude. Ensuite, l'identifiabilité<br>des systèmes dynamiques en temps continu et discret y est présentée. Nous<br>montrons que les modèles étudiés sont identifiables à partir des données cliniques<br>usuelles. Enfin, nous présentons l'identification des paramètres des modèles à partir<br>des données cliniques et son application à l'aide au diagnostic clinique.

Nous présentons de nouveaux outils pour l'analyse de la stabilité et de la robustesse des systèmes dynamiques non-linéaires. Nous proposons un cadre précis pour l'étude de la stabilité uniforme semiglobale et/ou pratique asymptotique. Le terme ``semiglobal'' signifie que le domaine d'attraction n'est pas l'espace d'état tout entier, mais un ensemble compact pouvant être arbitrairement agrandi par le réglage de certains paramètres. Le mot ``pratique'' concerne le fait qu'un voisinage arbitrairement petit de l'origine (au lieu de l'origine elle-même) est asymptotiquement stable. Contrairement à de nombreux concepts similaires, ces propriétés autorisent que l'estimée des solutions dépende du paramètre de réglage et ainsi, potentiellement, des rayons du domaine d'attraction et de la boule attractive désirés. Comparativement aux résultats classiques sur la stabilité globale asymptotique, cette caractéristique impose une hypothèse supplémentaire sur les bornes de la fonction de Lyapunov. Nous illustrons l'importance de cette hypothèse en montrant que, lorsqu'elle est violée, aucune propriété de stabilité ne peut être garantie. Nous proposons aussi un résultat converse pour la classe des systèmes USPAS dont l'estimée des solutions est indépendante du rayon de la boule vers laquelle les solutions convergent. La fonction de Lyapunov ainsi générée est spécialement façonnée pour une utilisation dans un contexte cascade puisque son gradient est borné par un fonction indépendante du temps. A partir de ce cadre théorique pour la stabilité semiglobale et pratique, nous proposons des outils qui garantissent la préservation de ces propriétés sous l'interconnection en cascade. De la même manière que pour la stabilité globale asymptotique, il est supposé que les solutions de la cascade sont uniformément bornées et qu'une fonction de Lyapunov est connue pour le sous-système aval. Le théorème converse que nous proposons permet en outre de supprimer cette dernière hypothèse pour une large classe de systèmes. Ceci s'avère particulièrement efficace lors de l'utilisation de techniques de moyennage, ainsi que l'illustre l'exemple du contrôle par retour de sortie du double intégrateur affecté par un signal d'excitation persistante. Dans le cas de la stabilité uniforme globale pratique asymptotique, l'hypothèse de bornitude des solutions peut être avantageusement remplacée par des restrictions d'ordre de croissance sur le terme d'interconnection. Ceci fait de ce résultat un outil aisé à appliquer dans nombre d'applications spécifiques. Nous illustrons son utilisation en quantifiant l'effet du lissage des fonctions ``signe'' dans le rejet de perturbations. Nous montrons que, si des ensembles donnés (non nécessairement compacts) sont globalement asymptotiquement stables (GAS) pour deux sous-systèmes pris séparément, alors leur produit Cartésien est GAS pour la cascade correspondante si les solutions de cette dernière sont globalement bornées. Dans certaines situations, cette hypothèse peut être remplacée par une simple restriction de l'ordre de croissance du terme d'interconnection (plus la complétude positive). Ces travaux incluent, comme cas particulier, la stabilité partielle des systèmes en cascade. En guise d'illustration, nous proposons une preuve concise d'un résultat récemment établi sur le contrôle de la formation de navires le long d'une trajectoire rectiligne avec une vitesse prédéfinie. Nous analysons la stabilité des systèmes en cascade avec entrée en proposant des conditions suffisantes sous lesquelles la stabilité intégrale entrée-état est préservée par l'interconnection cascade. Ces conditions sont d'abord exprimées par rapport à des fonctions de Lyapunov, puis sur les estimées des solutions des sous-systèmes pris individuellement. Nous illustrons la pertinence de nos résultats théoriques en résolvant des problèmes de contrôle ouverts dans le domaine des systèmes mécaniques. Nous analysons la robustesse des robots manipulateurs contrôlés par PID vis-à-vis des frottements, des incertitudes de modèle, de la dynamique des actionneurs, etc. Une autre application concerne le contrôle d'une formation de véhicules spatiaux. Nous établissons la stabilité globale pratique asymptotique du système correspondant lorsque seules des bornes sur les paramètres orbitaux du véhicule leader sont disponibles. Enfin, nous montrons qu'une propriété de stabilité similaire peut être obtenue pour la synchronisation de deux navires lorsque peu d'information sur le navire leader est disponible.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes.

Cette étude traite de l'identification de système dynamique non-linéaire. Une architecture multimodèle capable de surmonter certaines difficultés de l'architecture neuronale de type MLP a été étudiée. L'approche multimodèle consiste à représenter un système complexe par un ensemble de modèles de structures simples à validité limitée dans des zones bien définies. A la place de la structure affine des modèles locaux généralement utilisée, cette étude propose une structure polynômiale plus générale, capable de mieux appréhender les non-linéarités locales, réduisant ainsi le nombre de modèles locaux. L'estimation paramétrique d'une telle architecture multimodèle peut se faire suivant une optimisation linéaire, moins coûteuse en temps de calcul que l'estimation paramétrique utilisée dans une architecture neuronale. L'implantation des multimodèles récurrents, avec un algorithme d'estimation paramétrique plus souple que l'algorithme de rétro-propagation du gradient à travers à travers le temps utilisé pour le MLP récurrent a également été effectuée. Cette architecture multimodèle permet de représenter plus facilement des modèles non-linéaires bouclés tels que les modèles NARMAX et NOE. La détermination du nombre de modèles locaux dans une architecture multimodèle nécessite la décomposition (le partitionnement) de l'espace de fonctionnement du système en plusieurs sous-espaces où sont définies les modèles locaux. Des modes de partitionnement du système en plusieurs sous-espaces où sont définies les modèles locaux. Des modes de partitionnement flou (basé sur les algorithmes de "fuzzy-c-means", de "Gustafson et Kessel" et du "substractive clustering") ont été présentés. L'utilisation de telles méthodes nécessite l'implantation d'une architecture multimodèle où les modèles locaux peuvent être de structures différentes : polynômiales de degrés différents, neuronale ou polynômiale et neuronale. Une architecture multimodèle hétérogène répondant à ses exigences a été proposée, des algorithmes d'identification structurelles et paramétriques ont été présentés. Une étude comparative entre les architectures MLP et multimodèle a été menée. Le principal atout de l'architecture mudltimodèle par rapport à l'architecture neuronale de type MLP est la simplicité de l'estimation paramétrique. Par ailleurs, l'utilisation dans une architecture multimodèle d'un mode de partitionnement basé sur la classification floue permet de déterminer facilement le nombre de modèles locaux, alors que la détermination du nombre de neurones cachés pour une architecture MLP reste une tâche difficile.