O artigo Weighted forms of Euler's theorem de William Y.C. Chen e Kathy Q. Ji, em resposta ao questionamento de George E. Andrews, matemático estadunidense, sobre encontrar demonstrações combinatórias de duas identidades no Caderno Perdido de Ramanujan, nos mostra algumas formas ponderadas do Teorema de Euler sobre partições com partes ímpares e partes distintas via a introdução do conceito de partição com raiz. A propositura deste trabalho é envolta à apresentação de resultados sobre partições com raiz de modo a posteriormente realizar formulações combinatórias das identidades de Ramanujan por meio deste conceito, procurando estabelecer conexões com formas ponderadas do Teorema de Euler. Em particular, a bijeção de Sylvester e a iteração de Pak da função de Dyson são elementos primordiais para obtê-las. / The article Weighted forms of Euler's theorem by William Y.C. Chen and Kathy Q. Ji in response to the questioning of George E. Andrews, American mathematician, about nding combinatorial proofs for two identities in Ramanujan's Lost Notebook shows us some weighted forms of Euler's Theorem on partitions with odd parts and distinct parts through the introduction of the concept of rooted partition. The purpose of this work involves the presentation of results on rooted partitions in order to make combinatorial formulations of Ramanujan's identities, seeking to establish connections with weighted forms of Euler's Theorem. In particular, the Sylvester's bijection and the Pak's iteration of the Dyson's map are primordial elements to obtain them.

O artigo Weighted forms of Euler's theorem de William Y.C. Chen e Kathy Q. Ji, em resposta ao questionamento de George E. Andrews, matemático estadunidense, sobre encontrar demonstrações combinatórias de duas identidades no Caderno Perdido de Ramanujan, nos mostra algumas formas ponderadas do Teorema de Euler sobre partições com partes ímpares e partes distintas via a introdução do conceito de partição com raiz. A propositura deste trabalho é envolta à apresentação de resultados sobre partições com raiz de modo a posteriormente realizar formulações combinatórias das identidades de Ramanujan por meio deste conceito, procurando estabelecer conexões com formas ponderadas do Teorema de Euler. Em particular, a bijeção de Sylvester e a iteração de Pak da função de Dyson são elementos primordiais para obtê-las. / The article Weighted forms of Euler's theorem by William Y.C. Chen and Kathy Q. Ji in response to the questioning of George E. Andrews, American mathematician, about nding combinatorial proofs for two identities in Ramanujan's Lost Notebook shows us some weighted forms of Euler's Theorem on partitions with odd parts and distinct parts through the introduction of the concept of rooted partition. The purpose of this work involves the presentation of results on rooted partitions in order to make combinatorial formulations of Ramanujan's identities, seeking to establish connections with weighted forms of Euler's Theorem. In particular, the Sylvester's bijection and the Pak's iteration of the Dyson's map are primordial elements to obtain them.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho tem como tema central a aplicaÃÃo de tÃcnicas de ensino de geometria espacial em especial o ensino de poliedros, destacando-se o Teorema de Euler e os poliedros regulares (poliedros de PlatÃo). Analisamos as definiÃÃes, teoremas e suas demonstraÃÃes, destacando-se um pouco da histÃria do matemÃtico Leonhardo Euler, e as curiosidades acerca do seu teorema para poliedros. Discutimos ainda as dificuldades educacionais do ensino de matemÃtica e os elementos que podem estar ligados a essa dificuldade como tambÃm alternativas que podem ser aplicadas na prÃtica de ensino de professores dessa Ãrea. Diante das dificuldades propomos uma metodologia de ensino baseada na combinaÃÃo de duas tÃcnicas: uso de softwares e aprendizagem cooperativa, pois, ambas vem sendo muito discutidas como alternativa viÃvel de ensino. Destacamos inclusive quais as principais vertentes do pensamento do uso de software como ferramenta de ensino ou mÃquina de ensinar, assim como, analisarmos as caracterÃsticas de ensino cooperativo, apresentando as dificuldades encontradas na tentativa de implantaÃÃo desse mÃtodo de ensino, alÃm, de ressaltarmos tambÃm as vantagens alcanÃadas apÃs a superaÃÃo dos obstÃculos iniciais. Analisou-se tambÃm os softwares Poly e Educandus que foram utilizados no projeto de ensino diferenciado, onde destacamos as potencialidades, alÃm das limitaÃÃes que estes apresentavam, sugerindo alternativas para a devida complementaÃÃo do professor que acompanhe os alunos envolvidos no estudo. Sugerimos tambÃm, atividade direcionada para uso do Poly, no intuito de levar o participante a explorar todos os recursos do software ao mÃximo assim para minimizarmos as dificuldades de visualizaÃÃo e representaÃÃo dos poliedros. Por Ãltimo aplicamos avaliaÃÃes qualitativas e quantitativas onde verificamos as potencialidades da metodologia utilizada em comparaÃÃo com o ensino convencional, alÃm de fazermos uma anÃlise dos erros mais comuns cometidos pelos alunos do ensino convencional e os alunos do ensino experimental. / This work is focused on the application os spatial geometry teaching techniques especially the teaching of polyhedrons, being detached the Euler's theorem and regular polyhedrons (Plato's polyhedrons).Initially we analyzed the definitions and theorems and their respective demonstrations, including some history of the fantastic mathematical Leonhardo Euler, and his curiosities about his theorem for polyhedrons. We also discussed the educational difficulties of mathematics teaching and the elements that can be linked to these difficulties as well as alternatives that may be applied to teachers' teaching practice in this area. With so many difficulties, we proposed a teaching methodology based on a combination of two techniques: use of software and cooperative learning, for both methods have been much discussed as a viable alternative to education. We also detached the main thought strands of the use of software as a teaching tool or teaching machine, as well as we analyzed the cooperative teaching characteristics, showing the difficulties encountered when we tried to implement this teaching method, in addition, we also put in relief the advantages achieved after overcoming the initial obstacles. It was also analyzed the softwares Poly and Educandus that have been used in the different educational project, where we detached their potential beyond their limitations, suggesting alternatives for due complementation of the teacher who accompanied the students involved in the study. We also suggested, activities directed for the use of Poly in order to lead the participant to explore the software's potential to its maximum in order to minimize the visualization difficulties and representation of polyhedrons. Finally, we applied qualitative and quantitative assessments where we verified the potential of the used methodology compared to formal education, and we did an analysis of the most common mistakes

Neste trabalho, apresentaremos e definiremos os poliedros, seus elementos e vamos diferenciar os poliedros convexos dos não convexos. Será exposta a Relação de Euler (ou Teorema de Euler), teorema a qual diz: Seja um poliedro convexo com A arestas, F faces e V vértices, vale a igualdade V - A + F = 2. Daremos alguns detalhes sobre poliedros não-convexos. Chegaremos à parte mais importante deste trabalho que é definir os poliedros de Platão (ou regulares) e provar a existência de apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o hexaedro (cubo), o octaedro, o dodecaedro e icosaedro.

Submitted by Maike Costa (maiksebas@gmail.com) on 2016-03-28T12:29:14Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 800250 bytes, checksum: 42e76ab05ea580b4fd24a3312b9b4212 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-03-28T12:29:14Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 800250 bytes, checksum: 42e76ab05ea580b4fd24a3312b9b4212 (MD5) Previous issue date: 2014-08-29 / In this work we present a study of the regular polyhedra, comparing and discussing the concepts and de nitions given in the study of regular polyhedra in textbooks most widely used in Brazilian high schools. We prove the theorem of Euler, we calculate surface areas and volumes of regular polyhedra. Finally, we present some mathematical software that can be used by students and mathematics teachers in the spatial geometry classes as auxiliary material in the teaching and learning of this subject in the classroom. / Neste trabalho apresentamos um estudo sobre os poliedros regulares, comparando e discutindo os conceitos e as de nições que são dadas no estudo dos poliedros regulares nos livros didáticos mais utilizados nas escolas brasileiras de Ensino Médio. Provamos o teorema de Euler, calculamos áreas de superfícies e os volumes dos poliedros regulares. Por m, apresentamos alguns softwares matemáticos que podem ser utilizados pelos alunos e professores de Matemática nas aulas de geometria espacial como material auxiliar no processo de ensino e aprendizagem deste tema em sala de aula.

Submitted by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-18T18:12:57Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 13930019 bytes, checksum: d5e52fb67904848f89fafaf5ec93c06d (MD5) / Approved for entry into archive by Clebson Anjos (clebson.leandro54@gmail.com) on 2015-05-18T18:15:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 13930019 bytes, checksum: d5e52fb67904848f89fafaf5ec93c06d (MD5) / Made available in DSpace on 2015-05-18T18:15:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 13930019 bytes, checksum: d5e52fb67904848f89fafaf5ec93c06d (MD5) Previous issue date: 2013-09-24 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This dissertation is focused on the Euler's theorem for polyhedra homeomorphic to the sphere. Present statements made by Cauchy, Poincaré and Legendre. As a consequence we show that there are only ve regular convex polyhedra, called polyhedra Plato. / Esta dissertação tem como tema central o Teorema de Euler para poliedros homeomorfos à esfera. Apresentamos demonstrações feitas por Cauchy, Poincaré e Legendre. Como consequência mostramos a existência de apenas cinco poliedros convexos regulares, os chamados poliedros de Platão.