Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2005-07-21Bitstream added on 2014-06-13T19:55:24Z : No. of bitstreams: 1 milani_ff_me_sjrp.pdf: 539043 bytes, checksum: b4613024414cd9fa758d64376a046176 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) / O objetivo deste trabalho é estudar os polinômios de Szegõ, que são ortogonais no círculo unitário, e suas relações com certas frações contínuas de Perron-Carathéodory e quadratura no círculo unitário, afim de resolver o problema de momento trigonométrico. Além disso, estudar a utilização dos polinômios de Szegõ na determinação das freqüências de um sinal trigonométrico em tempo discreto xN(m). Para isso, investigamos os polinômios de Szegõ gerados por uma medida N definida através do sinal trigonométrico xN(m), para m = 0, 1, 2,...N -1, e o comportamento dos zeros desses polinômios quando N_8. / The purpose here is to study the orthogonal polynomials on the unit circle, known as Szegõ polynomials, and the relations to Perron- Carathéodory continued fractions, and quadratures on the unit circle in order to solve the trigonometric moment problem. Another purpose is to study how the Szegõ polynomials can be used to determine the frequencies from a discrete time trigonometric signal xN(m). We investigate the Szegõ polynomials associated with a measure N defined by the trigonometric sinal xN(m), m = 0, 1, 2, ...N -1. We study the behaviour of zeros of these polynomials when N 8.

Die Fragestellung der Arbeit geht aus einem matriziellen Potenzmomentenproblem des folgenden Typs hervor: Für eine vorgegebene endliche Folge s0,...sm von q × q-Matrizen sind alle nicht-negativen Hermiteschen q × q-Maße σ auf Ω zu bestimmen, deren j-tes Moment für alle j=0,...,m-1 genau sj ist und deren m-tes Moment nichtnegativ hermitesch ist. Hier behandeln wir den Stieltjes-Fall Ω = [α, ∞) dieser Problemstellung. Die Lösungen dieses matriziellen Momentenproblems lassen sich in eindeutiger Weise mit gewissen holomorphen Matrixfunktionen, ihren sogenannten Stieltjes-Transformierten, identifizieren. Das Ziel der Betrachtungen dieser Arbeit ist, die Menge aller Werte zu charakterisieren, welche diese Stieltjes-Transformierten bei Auswertung in einem fixierten Punkt aus der oberen komplexen Halbebene annehmen können. Da sich jede Lösung eines Stieltjes-Momentenproblems so fortsetzen lässt, dass sie ein entsprechendes Hamburger-Momentenproblem löst, ist erwartbar, dass die Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Stieltjes-Momentenproblems in einem festen Punkt eine Teilmenge der Menge der Werte aller Stieltjes-Transformierten der Lösungen des Hamburger-Momentenproblems ist. An dieser Bemerkung anknüpfend besteht der Ansatz nun darin, das betrachtete Stieltjes-Momentenproblem auf zwei Momentenprobleme vom Hamburger-Typ zurückzuführen. Das erste der beiden ergibt sich auf natürliche Weise wie oben beschrieben. Das zweite ist einer Modifikation der vorgeschriebenen Datenfolge zuzuordnen, welche die linke Intervalgrenze des Integrationsgebiets [α, ∞) berücksichtigt. Die Menge der Werte, die von Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines betrachteten Hamburger-Momentenproblems in einem festen Punkt angenommen werden können, stimmt mit einer Matrix-Kreisscheibe überein, deren Mittelpunkt, linker und rechter Halbradius explizit anhand der gegebenen Datenfolge ausgedrückt werden können. Ordnet man nun jedem der beiden Hamburger-Momentenprobleme, auf die das Stieltjes-Problem zurückgeführt wurde, die entsprechende Matrix-Kreisscheibe zu, so erhält man, dass die Menge, die zu charakterisieren unser Ziel ist, wie zu erwarten im Schnitt dieser beiden Matrix-Kreisscheiben liegt. Darüber hinaus zeigt sich, dass die Menge diesen Schnitt sogar ausfüllt. Der Beweis dieser Teilmengenbeziehung ist aufwendiger als die erste Richtung. Eine zentrale Rolle im Beweis nehmen gewisse Polynomsysteme mit Orthogonaleigenschaften ein. Bei der im Zentrum der Arbeit stehenden Untersuchung wurde ein Wert aus der oberen komplexen Halbebene fixiert, in welchem dann die Stieltjes-Transformierten der Lösungen eines Stieltjes-Problems ausgewertet wurden. Die analoge Fragestellung für die Wahl eines Punktes in (−∞, α) wurde zuvor mit unterschiedlichen Voraussetzungen in verschiedener Literatur behandelt. Der Fall, dass der Punkt in der unteren komplexen Halbebene liegen soll, lässt sich über ein Spiegelungsprinzip auf den Fall der oberen komplexen Halbebene zurückführen, womit dann alle Möglichkeiten, den Punkt zu fixieren, abgedeckt sind.:1. Introduction 2. Preliminaries and Notation 3. Special Classes of Matrix-Valued Functions 3.1. The Class Rq(Π+) of Matrix-Valued Herglotz-Nevanlinna Functions 3.2. Particular Subclasses of Rq(Π+) 3.3. Matrix-Valued Stieltjes Functions 4. Parameterization of Block Hankel Matrices and Related Sequences of Complex Matrices 4.1. The Sequence of H-parameters 4.2. The α-Stieltjes Parameterization 4.3. The α-Schur Transform 5. Some Considerations on Particular Matrix Polynomials 6. Special Rational Matrix-Valued Functions 7. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Hamburger Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 8. Pairs of Meromorphic Matrix-Valued Functions 8.1. Nevanlinna Pairs in Π+ 8.2. Nevanlinna Pairs in C \ R 8.3. Stieltjes Pairs in C \ [α, ∞) 9. A Special Quadruple of Matrix Polynomials 10. Further Identities for Matrix Polynomials 11. The [α, ∞)-Quadruple of Matrix Polynomials 12. Description of the Values of the Solutions of the Truncated Matricial Stieltjes Moment Problem and Corresponding Matrix Balls 12.1. First Discussion of the Corresponding Matrix Balls 12.2. Representation in the Case of an Odd Number of Prescribed Matricial Moments 12.2.1. Representation in the Case (sj )0j=0 of a Single Prescribed Matricial Moment 12.2.2. Explicit Connections 12.2.3. Representation as Intersection of two Matrix Balls 12.3. Representation in the Case of an Even Number of Prescribed Matricial Moments 13. Summary and Prospects A. Some Facts on Matrix Theory B. Some Facts on Orthogonal Projection Matrices C. Some Facts on the Integration Theory of Non-negative Hermitian Measures Nomenclature

Es wird ein Ansatz und ein Algorithmus zur Lösung von stochastischen Stoppproblemen vorgestellt, der auf einer dualen Formulierung zum klassischen Lösungsansatz für Stoppprobleme mittels Variationsungleichungen basiert. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man für diese duale Formulierung ein äquivalentes unendlichdimensionales lineares Programm aufstellen, das die Momente des Aufenthaltsmaßes des stochastischen Prozesses bis zum Stoppzeitpunkt und die Momente der Verteilung des Prozesses zum Zeitpunkt des Stoppens als Variablen enthält. Für dieses unendlichdimensionale Problem werden endlichdimensionale Approximationen formuliert und gelöst, wobei die Momente nur bis zu einer endlichen Ordnung berücksichtigt werden. Die Güte der numerischen Resultate hängt davon ab, wie genau der Träger des Maßes zum Stoppzeitpunkt identifiziert werden kann. Aus diesem Grund wird ein Verfeinerungsalgorithmus entwickelt, mit dem diese Identifizierung in einer Reihe von Fällen gelingt und sich sehr genaue Ergebnisse erzielen lassen. Der für Stoppprobleme entwickelte Algorithmus kann auch bei der Ermittlung von optimalen Steuerungen für stetige stochastische Prozesse angewandt werden. Für einzelne Beispiele wird gezeigt, welche Resultate dabei erzielt werden können. / We present an approach to, and an algorithm for solving optimal stopping problems. The approach is based on a dual formulation of the classical method for solving stopping problems using variational inequalities. Under suitable conditions it is possible to express the dual formulation as an infinite-dimensional linear program. This linear program uses the moments of the occupation measure and the moments of the stopping measure as variables. We formulate and solve finite-dimensional approximations to this infinite-dimensional program by restricting the number of moments. The accuracy of the numerical results depend on how well the support of the stopping measure can be identified. To this end we develop an iterative procedure which works very well in many cases. In the second part of the dissertation we show how the algorithm, developed for stopping problems, can be used for solving stochastic control problems.