<p>En patenterad metod [11] ligger till grund för utförandet av det här examensarbetet där målet var att beskriva metoden i reglertekniska termer. En lösning för att kompensera för gyrodrifter var också önskvärd. En olinjär modell som beskriver flygplanets dynamik har tagits fram och simulerats. Modellen har linjäriserats kring en trajektoria och diskretiserats för att undersöka observerbarheten för systemet. Huruvida ett system är observerbart eller inte avgör om det är möjligt eller inte att applicera ett extended kalmanfilter (EKF) på för att skatta systemets tillstånd. Kalmanfiltret används för att man inte har tillgång till mätningar på systemets alla tillstånd och måste därför skatta dem. Olika tester har gjorts för att undersöka kalmanfiltrets prestanda. Trots att kalmanfiltret är ett optimalt filter kan man inte garantera tillfredsställande resultat eftersom antalet tillgängliga mätbara tillstånd påverkar hur bra skattningar man får.</p>

En patenterad metod [11] ligger till grund för utförandet av det här examensarbetet där målet var att beskriva metoden i reglertekniska termer. En lösning för att kompensera för gyrodrifter var också önskvärd. En olinjär modell som beskriver flygplanets dynamik har tagits fram och simulerats. Modellen har linjäriserats kring en trajektoria och diskretiserats för att undersöka observerbarheten för systemet. Huruvida ett system är observerbart eller inte avgör om det är möjligt eller inte att applicera ett extended kalmanfilter (EKF) på för att skatta systemets tillstånd. Kalmanfiltret används för att man inte har tillgång till mätningar på systemets alla tillstånd och måste därför skatta dem. Olika tester har gjorts för att undersöka kalmanfiltrets prestanda. Trots att kalmanfiltret är ett optimalt filter kan man inte garantera tillfredsställande resultat eftersom antalet tillgängliga mätbara tillstånd påverkar hur bra skattningar man får.

I detta examensarbete presenteras en ny metod för att göra schemaläggningsbeslut inom processindustrin och samtidigt ta hänsyn till det dynamiska beteendet hos processen. En modell av en luftsepareringsanläggning som producerar kvävgas och utnyttjar ett rörligt elpris användes för att exemplifiera denna metod. Modellen omfattade en kryogenisk destillationskolonn med en integrerad återloppskokare /kondensator, en multiströms värmeväxlare, en kompressor, två turbiner och en kondensator. Den innehöll 5079 ekvationer och 437 differentiella variabler. Dynamisk optimering användes för att approximera det dynamiska beteendet hos processen vid skiftningar mellan olika driftpunkter. Den registrerade data utnyttjades sedan för att identifiera en reducerad modell som fångade det transienta beteendet hos relevanta processvariabler. Den reducerade modellen bestod av 525 ekvationer och 67 differentiella variabler. Den identifierade modellen visade på god matchning mellan relevanta processvariabler i de simulerade övergångarna och den reducerade modellen. Den reducerade modellen användes för att optimera schemaläggningen av luftsepareringsprocessen så att elkostnaden över en tredagars period minimerades. De optimala resultaten visade på en minskning av kostnaden på 2.6 % jämfört med en konstant produktionstakt. Schemat implementerades och simulerades i den fullt dynamiska modellen över de första 24 timmarna för att jämföra relevanta processvariabler med den reducerade modellen. Resultaten visade på god matchning mellan de båda modellerna. Detta examensarbete visar att en exakt reducerade modell kan användas för att snabbt hitta ett optimalt schema över ett större processystem. Detta genom att kraftigt minska systemets storlek utan att offra noggrannhet av det dynamiska beteendet. / A novel framework for making plant scheduling decisions while considering the plant process dynamics is presented in this thesis. A model of an air separation unit built to supply nitrogen gas and subject to time-varying electricity prices was used to illustrate this framework. The model includes a cryogenic distillation column with an integrated reboiler/condenser, a multi-stream heat exchanger, a compressor, two turbines, and a liquefier. It consisted of 5079 equations and 437 differential variables. The dynamic behavior of the process during operating point transitions was determined using dynamic optimization. This data were used to establish a reduced order dynamic model of the system which captures the transient behavior of relevant process variables. The reduced order model consisted of 525 equations and 67 differential variables. The identified model showed a good fit between the relevant process variables in the simulated transitions and the reduced order model. The air separation unit process schedule was optimized using the reduced order model to minimize electricity cost over a three day time horizon. The optimal result showed a 2.6 % reduction in electricity cost compared to a flat production rate. The optimal schedule was implemented and simulated in the full dynamic model for the first 24 hours to compare the relevant process variables to the reduced model predictions. The result displayed good match between the reduced model and the full dynamic model. This thesis shows that an accurate reduced order dynamic model can be used for quickly finding the optimal schedule of large process systems. This by greatly reducing the size and complexity of the system without sacrificing accuracy of the dynamic behavior. Furthermore, it also shows the economic benefits of the integrating scheduling and control to count for the dynamic behavior of the system.

In this thesis we prove existence and uniqueness for reflected stochastic differential equation on a specific non-smooth, time-dependent domain. The domain is the intersection of a finite number of smooth domains that are allowed to vary in time. The reflection is oblique to the domain and at the corners more than one direction of reflection is allowed. The time restrictions on the domain is firstly the existence of a semiconcave family of sets that are C¹;+ in time. Secondly that the distance function to the domain is in W¹;p. The first part of the proof is to construct of three kinds of test functions with desired properties. Using these test functions, existence is proved to the Skorokhod problem. Finally uniqueness is proved for the reflected stochastic differential equation. / I den här mastersuppsatsen så bevisar vi existens och entydighet för reflekterade stokastiska differentialekvation på ett icke slätt, tidsberoende område. Området är snittet mellan ett ändligt antal släta områden som tillåts variera i tiden. Reflektionen är ej nödvändigtvis vinkelrät till området och i hörnen finns det mer än en tillåten riktning. Tidsrestriktionen på området är dels existensen av en familj av semikonkava mängder som är C¹;+ i tiden. Dessutom att avståndet till området är W¹;p i tiden. Första delen av beviset är att konstruera tre hjälp funktioner med eftersökta egenskaper. Med hjälp av de här funktionerna så bevisas sedan existens av lösningar till Skorokhod problemet. Slutligen så bevisas entydighet av den reflekterade stokastiska differentialekvationen.

When underground openings are constructed, groundwater inflow can occur, which might lead to ground settlements, namely in clay. In these types of construction projects, it is beneficial to be able to quantify risks related to these settlements. A framework developed by Sundell et al. (2019, Risk Analysis, Vol. 39, 105-124) deals with this, in which one part is a statistical settlement model. However, since their model only considers primary compression, a model that accounts for secondary compression (or creep) is necessary to better represent real conditions.In this thesis, an adaptation of Sundell’s et al. (2019) model that includes creep settlement was developed and applied on a focus area of the tunnel project Stockholm Bypass. First, distributions of parameters were created based on data from the project and complementary data from literature. Thereafter, a stochastic model based on an existing creep model was coupled with the Monte Carlo method.A cell where 8 m groundwater drawdown had previously been measured was simulated with the stochastic model. Results from this show wide settlement distribution. Moreover, a scenario with a sudden groundwater drawdown of 6 m was simulated over the entire focus area. Results from the scenario show larger settlements over a larger influence area when creep effects were included compared with simulations without creep effects.The proposed model was also verified against two other creep settlement models. The verification indicates an overestimation in initial settlements, but an underestimation of the excess pore pressure. The proposed model long-term settlement results were within 0.1 m of the compared models. A sensitivity analysis shows that different size of distributions of the permeable parameters and the creep parameters used in the model had low impact on settlement distribution in the presented model. / Undermarksanläggningar kan orsaka grundvattendränering, vilket kan leda till marksättningar. I dessa projekt är det fördelaktigt att kunna kvantifiera riskerna för dessa marksättningar. Ett ramverk utvecklat av Sundell et al. (2019, Risk Analysis, Vol. 39, 105-124) behandlar detta, och inbegriper bland annat en statistisk sättningsmodell. Eftersom modellen endast beaktar primärkonsolidering av jorden, är en modell som även behandlar sekundärkonsolidering (krypning) nödvändig för att bättre representera verkliga förhållanden.I denna uppsats utvecklades och tillämpades en anpassning av Sundells et al. (2019) modell till att inkludera krypsättningar på ett fokusområde i tunnelprojektet Förbifart Stockholm. Först skapades fördelningar av parametrar baserade på data från projektet samt kompletterande data från litteratur. Därefter byggdes en stokastisk modell baserat på en existerande krypmodell kopplat med Monte Carlo-metoden.Med den stokastiska modellen simulerades en punkt där 8 m grundvattensänkning hade skett. Resultatet från denna simulering visar att den beräknade sättningen är varierande. Därutöver simulerades hela fokusområdet för ett scenario med en konstant grundvattensänkning på 6 meter. Resultatet visar större sättningar över ett större påverkansområde när krypeffekter inkluderas jämfört med när de inte gjorde det.Den föreslagna modellen verifierades också mot två andra krypsättningsmodeller. Verifieringen antyder på en överskattning i de initiala sättningarna, men en underskattning av porövertrycket. Den föreslagna modellens långsiktiga sättningar låg inom 0,1 m jämfört med de andra modellernas sättningar. Genom en sensitivitetsanalys erhölls att storleken på variationskoefficienten hos permeabilitetsparametrar samt krypparametrar använda i modellen inte hade någon större påverkan på fördelningen av sättningar i den presenterade modellen.

<p>In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators.</p><p>In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators.</p><p>The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation.</p><p>Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985).</p><p>In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take <em>B</em> as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x₀, ξ₀) such that no localization of the distribution at x₀, belongs to <em>FB</em> in the direction ξ₀. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols.</p> / <p>I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer.</p><p>I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna.</p><p>Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen.</p><p>Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985).</p><p>I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter <em>B</em> vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x₀, ξ₀) så att ingen lokalisering av distributionen kring x₀, tillhör <em>FB</em> i riktningen ξ₀. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.</p>

In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators. In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators. The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation. Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985). In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take B as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x0, ξ0) such that no localization of the distribution at x0, belongs to FB in the direction ξ0. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols. / I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer. I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna. Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen. Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985). I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter B vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x0, ξ0) så att ingen lokalisering av distributionen kring x0, tillhör FB i riktningen ξ0. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.

The United Nations have set a number of sustainability goals, Agenda 2030, in order to combat the worlds largest challenges and injustices. The energy market is one of these urgent issues which must be solved. Solar energy is expected to be the fastest growing energy source in the future energy mix. It can be a great way to provide zero emission energy and also become a key part in equality as it can provide energy to people who live off the grid today and raise quality of life all over the world. The aim of this study is to compare different ligands in a copper halide complex to conclude what structural properties of the ligand might be better suited for photoluminescent applications, and especially in solar cells. Eight ligands were chosen for the complexes depending on their level of conjugation: 4,4’-bipyridine, tri(o-tolyl)phosphine, 3,6-di-2-pyridyl-1,2,4,5-tetrazine, pyridine, pyrimidine, pyrazine, phenanthroline, and 2,2’-bipyridine. A series of analytical methods were used to compare the complexes properties; X-Ray diffraction, emission and excitation spectroscopy, time-resolved photoluminescence spectroscopy, microscopy and thermochromism. From these measurements, pyridine and pyrimidine proved to have the greatest potential for working in a solar cell. This was deduced because of the detected crystallinity, having luminescence under UV-light, forming distinct wavelength peaks during excitation and emission in the flourometer, having the longest excited state lifetime and and finally, emitting distinctive colours during thermochromism. When creating the solar cell, pyridine was chosen as ligand due to higher availability than pyrimidine. The method used in this project for making the solar cell is directly applied form a previously tested method, but which was designed for another type of electron donor. This project compared the different ways of applying the copper halide complex on to the cell. The methods used were spin-coating and SILAR for creating the copper iodide thin film and vapour diffusion and immersion to introduce the ligand. These four methods were combined systematically for all combinations. The solar cells were then put in a solar simulator where voltage, current, efficiency and fill factor was measured. The best results came form the solar cell where spin coating and immersion was used, though the overall efficiency of the created cells were low. Copper halide complexes in previous studies have been proven to be reactive with oxygen and the experiments in this project were not carried out in an inert environment. This could have had significant impact on the measurements, as reactions between the complexes and oxygen may have resulted in oxidation and thus inactivation of the complexes. Therefore, it would be interesting to conduct the syntheses again but instead in an inert environment to determine whether oxygen made a major impact on the measurements. In further studies, it would also be worthwhile to investigate how the different layers of the solar cell would have to be adapted for this particular complex to obtain higher efficiency and voltage. Also, making thin film of pyrimidine to be used in a solar cell as it showed the attributes required for a solar cell. Furthermore, it would be interesting to use derivatives of pyrimidine, such as uracil and cytosine which are abundant in nature, as they might be more sustainable choices. This is due to their inherent biodegradability and not posing a threat to either health or environment when handled.

<p>The concept of the transfer Hamiltonian formalism has been reconsidered and generalized to include the non-orthogonality between the electron states in an interacting region, e.g. quantum dot (QD), and the states in the conduction bands in the attached contacts. The electron correlations in the QD are described by means of a diagram technique for Hubbard operator Green functions for non-equilibrium states. </p><p>It is shown that the non-orthogonality between the electrons states in the contacts and the QD is reflected in the anti-commutation relations for the field operators of the subsystems. The derived forumla for the current contains corrections from the overlap of the same order as the widely used conventional tunneling coefficients. </p><p>It is also shown that kinematic interactions between the QD states and the electrons in the contacts, renormalizes the QD energies in a spin-dependent fashion. The structure of the renormalization provides an opportunity to include a spin splitting of the QD levels by polarizing the conduction bands in the contacts and/or imposing different hybridizations between the states in the contacts and the QD for the two spin channels. This leads to a substantial amplification of the spin polarization in the current, suggesting applications in magnetic sensors and spin-filters.</p>

The concept of the transfer Hamiltonian formalism has been reconsidered and generalized to include the non-orthogonality between the electron states in an interacting region, e.g. quantum dot (QD), and the states in the conduction bands in the attached contacts. The electron correlations in the QD are described by means of a diagram technique for Hubbard operator Green functions for non-equilibrium states. It is shown that the non-orthogonality between the electrons states in the contacts and the QD is reflected in the anti-commutation relations for the field operators of the subsystems. The derived forumla for the current contains corrections from the overlap of the same order as the widely used conventional tunneling coefficients. It is also shown that kinematic interactions between the QD states and the electrons in the contacts, renormalizes the QD energies in a spin-dependent fashion. The structure of the renormalization provides an opportunity to include a spin splitting of the QD levels by polarizing the conduction bands in the contacts and/or imposing different hybridizations between the states in the contacts and the QD for the two spin channels. This leads to a substantial amplification of the spin polarization in the current, suggesting applications in magnetic sensors and spin-filters.