[pt] Nesta dissertação nós discutimos as técnicas de modelos de matrizes para gravidade quântica em duas dimensões, as triangulações dinâmicas (DT) e sua versão causal, chamada de triangulações dinâmicas causais (CDT). Em virtude do teorema de Gauss-Bonnet a ação de Einstein-Hilbert se torna um invariante topológico em duas dimensões, por conseguinte, a avaliação da integral de caminho se transforma em um simples problema combinatório de contagem dos diagramas desenhados em uma superfície de Riemann, o que implica numa expansão topológica da função de partição. Usando métodos de integrais da teoria quântica de campos, podemos entender a correspondência entre modelos de matrizes e a formulação em grade da gravidade quântica, onde as N × N matrizes Hermitianas geram gráficos planares. Uma vez que a integral matricial se reduz a uma integração dos seus autovalores, solucionamos o modelo matricial utilizando duas técnicas: polinômios ortogonais e a análise do ponto de sela. Usando os polinômios ortogonais calculamos a energia livre no limite planar para diferentes potenciais. Por fim, partindo dos modelos matriciais estudamos DT e CDT numa analogia com o gás de Coulomb. / [en] In this thesis we discuss the matrix models techniques applied to two dimensional quantum gravity, the dynamical triangulations (DT) approach and its causal version, so-called causal dynamical triangulations (CDT). By virtue of the Gauss-Bonnet theorem, the Einstein-Hilbert action in two dimensions becomes a topological invariant, thereupon the evaluation of the path integral becomes a simple combinatorial counting problem of graphs drawn on a Riemann surface, which leads to a topological expansion of the partition function. Using integral methods from quantum field theory we can understand the correspondence between large N matrix models and a lattice (DT and CDT) formulation of quantum gravity, where the N ×N Hermitian matrices generates planar graphs (fatgraphs). Once the matrix integral is reduced to an integral of its eigenvalues, we solve the matrix model using two techniques: Orthogonal polynomials and saddle point analysis. Using orthogonal polynomials we compute the free energy in the Large N limit for different potentials. Finally, we study DT and CDT using matrix models and further make contact with a Coulomb gas analogy.

[pt] A otimização topológica de estruturas sujeitas a carregamentos que variam ao longo do tempo, costuma ter custos computacionais bastante elevados. Isso acontece devido ao grande número de análises dinâmicas que são necessárias. ALém disso, avaliar os gradientes da resposta, que fazem parte da análise de sensibilidade, também resulta em alto custo de computação e requer um grande espaço de armazenamento. Nesta dissertação, em vez de resolver o problema dinâmico original diretamente, é resolvida uma sequência de problemas de otimização de resposta estática com múltiplos casos de carga. Essa abordagem, chamada de método do carregamento estático equivalente, gera cargas estáticas que produzem uma resposta equivalente à obtida na análise dinâmica. Para avaliar as abordagens presentes na literatura, desenvolveu-se um código MATLAB, e diversos exemplos representativos são apresentados. / [en] Topology optimization in the time domain of structures subjected to time-dependent loads is usually computationally expensive, starting with the large number of time-dependent analyses that are required. Futhermore, the computational cost to evaluate the gradients of the response is significantly high and requires a large storage space. In this paper, instead of solving the original dynamical problem directly, we solve a sequence of static response optimization problems with many load cases. This approach, called the equivalent static loads method, generates static loads that produce a similar response in comparison to the same response that the dynamic analysis does. In order to verify the approaches present in the literature, a MATLAB code was developed, and several representatives examples are presented.

[pt] A otimização topológica tem como objetivo encontrar a distribuição mais eficiente de material (ótima topologia) em uma determinada região, satisfazendo as restrições de projeto estabelecidas pelo usuário. Na abordagem tradicional atribui-se uma variável de projeto, constante, denominada densidade, para cada elemento finito da malha. Dessa forma, a qualidade da representação dos novos contornos da estrutura depende do nível de discretização da malha: quanto maior a quantidade de elementos, mais bem definida será a topologia da estrutura otimizada. No entanto, a utilização de malhas super-refinadas implica em um elevado custo computacional, principalmente na etapa de solução numérica das equações de equilíbrio pelo método dos elementos finitos. Este trabalho propõe uma nova estratégia computacional para o refinamento adaptativo local de malhas utilizando elementos finitos poligonais em domínios bidimensionais arbitrários. A ideia consiste em realizar um refinamento da malha nas regiões de concentração de material, sobretudo nos contornos internos e externos, e um desrefinamento nas regiões de baixa concentração de material, como por exemplo, nos furos internos. Desta forma, é possível obter topologias ótimas, com alta resolução e relativamente baixo custo computacional. Exemplos representativos são apresentados para demonstrar a robustez e a eficiência da metodologia proposta por meio de comparações com resultados obtidos com malhas super-refinadas e mantidas constantes durante todo o processo de otimização topológica. / [en] Topology optimization aims to find the most efficient distribution of material (optimal topology) in a given domain, subjected to design constraints defined by the user. The quality of the new boundary representation depends on the level of mesh refinement: the greater the number of elements in the mesh, the better will be the representation of the optimized structure. However, the use of super refined meshes implies in a high computational cost, especially regarding the numerical solution of the linear systems of equations that arise from the finite element method. This work proposes a new computational strategy for adaptive local mesh refinement using polygonal finite elements in arbitrary two-dimensional domains. The idea is to perform a mesh refinement in regions of material concentration, mostly in inner and outer boundaries, and a mesh derefinement in regions of low material concentration such as the internal holes. Thus, it is possible to obtain optimal topologies with high resolution and relatively low computational cost. Representative examples are presented to demonstrate the robustness and efficiency of the proposed methodology by comparing the results obtained herein with the ones from the literature where super refined meshes are held constant throughout all topology optimization process.

[pt] O design otimizado de estruturas considerando não-linearidades tem sido amplamente pesquisado nas décadas recentes. A análise de elementos finitos aplicada à otimização topológica é prejudicada pela deformação excessiva de elementos de baixa densidade sob alta compressão, o que impede o processo de encontrar uma solução ótima. Dois métodos, o esquema Interpolação de Energia e a técnica de Hiperelasticidade Aditiva, são implementados para superar essa dificuldade no problema de minimização da flexibilidade, e modelos de materiais hiperelásticos são usados para investigar suas influências na topologia otimizada. O Método das Assíntotas Móveis é usado para atualizar as variáves de projeto cujas sensibilidades foram calculadas pelo método adjunto. A equação de estado é resolvida através do método de Newton-Raphson com um incremento de carga ajustável para reduzir o custo computacional. Resultados de dois problemas de referência são comparado com aqueles já estabelecidos na literatura. O uso de diferentes modelos hiperelásticos apresentou pouca influência no design final da estrutura. O método de Interpolação de Energia foi capaz de convergir para cargas muito maiores que o método padrão, enquanto a Hiperelasticidade Aditiva apresentou dificuldades de convergência em estado plano de deformação. / [en] The optimized design of structures considering nonlinearities has been widely researched in the recent decades. The finite element analysis applied to topology optimization is jeopardized by the excessive deformation of low-density elements under high compression, which hinders the process of finding an optimal solution. Two methods, the Energy Interpolation scheme and the Additive Hyperelasticity technique, are implemented to overcome this difficulty in the minimum compliance problem, and hyperelastic material models are used to investigate their influence on the optimized topology. The Method of Moving Asymptotes is used to update the design variables whose sensitivities were calculated from the adjoint method. The state equation is solved through the Newton-Raphson method with an adjusting load step to reduce computational cost. Results for two benchmark problems are compared with those already established in the literature. The use of different hyperelastic models presented little influence on the final design of the structure. The Energy Interpolation method was able to converge for much higher loads than the default method, while the Additive Hyperelasticity presented convergence difficulties in plane strain.

[pt] Os recentes avanços das técnicas de manufatura aditiva vêm ampliando a sua flexibilidade em fabricar peças complexas em escala cada vez menores. Neste contexto, o projeto de microestruturas porosas vem se destacando na comunidade científica devido a capacidade de se otimizar a topologia da célula para atender aos requisitos de projeto. No entanto, existem vários desafios que dificultam a fabricação de peças obtidas pelo método de otimização topológica multiescala, dentre eles, a conectividade das microestruturas. A otimização topológica multiescala consiste na otimização tanto da macroescala, estrutura global, quanto da microescala, microestrutura do material. O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um esquema eficaz para garantir a transição entre as diferentes microestruturas de material obtidas na otimização multiescala. As metodologias multiescala de otimização topológica simultânea de ambas as escalas e os procedimentos de homogeneização são descritos. Apresentam-se os principais aspectos numéricos e computacionais destes métodos, assim como exemplos ilustrativos. / [en] Recent advances in additive manufacturing techniques have increased their flexibility in making complex parts on a smaller scale. In this context, the design of porous microstructures has been standing out in the scientific community due to the ability to optimize the cell topology to meet the design requirements. However, there are several challenges that inhibit the fabrication of optimized parts obtained by the multi-scale topology optimization method, such as the connectivity of microstructures. The multiscale topological optimization consists of the optimization of both the macro-scale, global structure, and the micro-scale, microstructure of the material. The main objective of this work is to develop an effective scheme to guarantee compatibility in the transition between the different material microstructures obtained in multiscale optimization. The multiscale methodologies for simultaneous topological optimization of both scales and the homogenization procedures are described. The main numerical and computational aspects of these methods are presented, as well as representative examples to illustrate the capabilities of the proposed scheme.

[pt] A otimização topológica tem como objetivo encontrar a distribuição mais eficiente de material em um domínio especificado sem violar as restrições de projeto definidas pelo usuário. Quando aplicada a estruturas contínuas, a otimização topológica é geralmente realizada por meio de métodos de densidade, conhecidos na literatura técnica. Neste trabalho, daremos ênfase à aplicação de sua formulação discreta, na qual um determinado domínio é discretizado na forma de uma estrutura base, ou seja, uma distribuição espacial finita de nós conectados entre si por meio de barras de treliça. O método de estrutura base fornece uma aproximação para as estruturas de Michell, que são compostas por um número infinito de barras, por meio de um número reduzido de elementos de treliça. O problema de determinar a estrutura final com peso mínimo, para um único caso de carregamento, considerando um comportamento linear elástico do material e restrições de tensão, pode ser formulado como um problema de programação linear. O objetivo deste trabalho é fornecer uma implementação escalável para o problema de otimização de treliças com peso mínimo, considerando domínios com geometrias arbitrárias. O método remove os elementos que são desnecessários, partindo de uma treliça cujo grau de conectividade é definido pelo usuário, mantendo-se fixos os pontos nodais. Propomos uma implementação escalável do método de estrutura base, utilizando um algoritmo de pontos interiores eficiente e robusto, em um ambiente de computação paralela (envolvendo unidades de processamento gráfico ou GPUs). Os resultados apresentados, em estruturas bi e tridimensionais com milhões de barras, ilustram a viabilidade e a eficiência computacional da implementação proposta. / [en] Topology optimization aims to find the most efficient material distribution in a specified domain without violating user-defined design constraints. When applied to continuum structures, topology optimization is usually performed by means of the well-known density methods. In this work we focus on the application of its discrete formulation where a given domain is discretized into a ground structure, i.e., a finite spatial distribution of nodes connected using truss members. The ground structure method provides an approximation to optimal Michell-type structures, composed of an infinite number of members, by using a reduced number of truss members. The optimal least weight truss for a single load case, under linear elastic conditions, subjected to stress constraints can be posed as a linear programming problem. The aim of this work is to provide a scalable implementation for the optimization of least weight trusses embedded in any domain geometry. The method removes unnecessary members from a truss that has a user-defined degree of connectivity while keeping the nodal locations fixed. We discuss in detail the scalable implementation of the ground structure method using an efficient and robust interior point algorithm within a parallel computing environment (involving Graphics Processing Units or GPUs). The capabilities of the proposed implementation is illustrated by means of large scale applications on practical problems with millions of members in both 2D and 3D structures.

[pt] A otimização topológica tem se desenvolvido bastante e possui potencial para revolucionar diversas áreas da engenharia. Este método pode ser implementado a partir de diferentes abordagens, tendo como base o Método dos Elementos Finitos. Ao se utilizar uma abordagem baseada no elemento, potencialmente, cada elemento finito pode se tornar um vazio ou um sólido, e a cada elemento do domínio é atribuído uma variável de projeto, constante, denominada densidade. Do ponto de vista Euleriano, a topologia obtida é um subconjunto dos elementos iniciais. No entanto, tal abordagem está sujeita a instabilidades numéricas, tais como conexões de um nó e rápidas oscilações de materiais do tipo sólido-vazio (conhecidas como instabilidade de tabuleiro). Projetos indesejáveis podem ser obtidos quando elementos de baixa ordem são utilizados e métodos de regularização e/ou restrição não são aplicados. Malhas poliédricas não estruturadas naturalmente resolvem esses problemas e oferecem maior flexibilidade na discretização de domínios não Cartesianos. Neste trabalho investigamos a otimização topológica em malhas poliédricas por meio de um acoplamento entre malhas. Primeiramente, as malhas poliédricas são geradas com base no conceito de diagramas centroidais de Voronoi e posteriormente otimizadas para uso em análises de elementos finitos. Demonstramos que o número de condicionamento do sistema de equações associado pode ser melhorado ao se minimizar uma função de energia relacionada com a geometria dos elementos. Dada a qualidade da malha e o tamanho do problema, diferentes tipos de resolvedores de sistemas de equações lineares apresentam diferentes desempenhos e, portanto, ambos os resolvedores diretos e iterativos são abordados. Em seguida, os poliedros são decompostos em tetraedros por um algoritmo específico de acoplamento entre as malhas. A discretização em poliedros é responsável pelas variáveis de projeto enquanto a malha tetraédrica, obtida pela subdiscretização da poliédrica, é utilizada nas análises via método dos elementos finitos. A estrutura modular, que separa as rotinas e as variáveis usadas nas análises de deslocamentos das usadas no processo de otimização, tem se mostrado promissora tanto na melhoria da eficiência computacional como na qualidade das soluções que foram obtidas neste trabalho. Os campos de deslocamentos e as variáveis de projeto são relacionados por meio de um mapeamento. A arquitetura computacional proposta oferece uma abordagem genérica para a solução de problemas tridimensionais de otimização topológica usando poliedros, com potencial para ser explorada em outras aplicações que vão além do escopo deste trabalho. Finalmente, são apresentados diversos exemplos que demonstram os recursos e o potencial da abordagem proposta. / [en] Topology optimization has had an impact in various fields and has the potential to revolutionize several areas of engineering. This method can be implemented based on the finite element method, and there are several approaches of choice. When using an element-based approach, every finite element is a potential void or actual material, whereas every element in the domain is assigned to a constant design variable, namely, density. In an Eulerian setting, the obtained topology consists of a subset of initial elements. This approach, however, is subject to numerical instabilities such as one-node connections and rapid oscillations of solid and void material (the so-called checkerboard pattern). Undesirable designs might be obtained when standard low-order elements are used and no further regularization and/or restrictions methods are employed. Unstructured polyhedral meshes naturally address these issues and offer fl exibility in discretizing non-Cartesians domains. In this work we investigate topology optimization on polyhedra meshes through a mesh staggering approach. First, polyhedra meshes are generated based on the concept of centroidal Voronoi diagrams and further optimized for finite element computations. We show that the condition number of the associated system of equations can be improved by minimizing an energy function related to the element s geometry. Given the mesh quality and problem size, different types of solvers provide different performances and thus both direct and iterative solvers are addressed. Second, polyhedrons are decomposed into tetrahedrons by a tailored embedding algorithm. The polyhedra discretization carries the design variable and a tetrahedra subdiscretization is nested within the polyhedra for finite element analysis. The modular framework decouples analysis and optimization routines and variables, which is promising for software enhancement and for achieving high fidelity solutions. Fields such as displacement and design variables are linked through a mapping. The proposed mapping-based framework provides a general approach to solve three-dimensional topology optimization problems using polyhedrons, which has the potential to be explored in applications beyond the scope of the present work. Finally, the capabilities of the framework are evaluated through several examples, which demonstrate the features and potential of the proposed approach.

[pt] Este trabalho apresenta uma estratégia de modelagem aberta e extensível, desenvolvida em Python, para a criação de modelos de subdivisões planares. A estratégia se dá na forma de uma biblioteca de modelagem geométrica, denominada HETOOL, desenvolvida no trabalho e de uso genérico, baseada na conhecida e consagrada estrutura de dados topológica Half-Edge. Além de considerar os aspectos topológicos e geométricos da modelagem, a estratégia também permite a configuração pelo usuário final dos atributos de simulação. Essas características, somadas à disponibilização do código fonte, conferem um caráter útil e relevante para o desenvolvimento de ferramentas educacionais para modelagem em mecânica computacional. Para demonstrar a aplicabilidade da estratégia proposta, foi desenvolvido um aplicativo, denominado de Finite Element Method Educational Computer Program (FEMEP), que permite a criação de modelos bidimensionais de elementos finitos, com geração de malhas por região, para diversos tipos de simulação de mecânica computacional. O pacote desenvolvido apresenta uma modelagem iterativa e dinâmica que realiza a interseção automática entres os elementos geométricos modelados. O HETOOL oferece várias funcionalidades e facilidades ao usuário, permitindo o uso do pacote mesmo sem o usuário ter conhecimento sobre os conceitos topológicos envolvidos na implementação dessa estrutura de dados. O pacote possibilita a criação e configuração atributos de forma simples e rápida a partir de um arquivo no formato JSON. Essa versatilidade na criação atributos permite a aplicação deste pacote na resolução de vários problemas presentes na engenharia e em outras áreas do meio científico. / [en] This work presents an open and extensible modeling strategy, developed in Python, for creating planar subdivision models. The strategy takes the form of a geometric modeling library called HETOOL, developed in the work and of general use, based on the well-known and renowned Half-Edge topological data structure. In addition to considering the topological and geometric aspects of the modeling, a strategy also allows for an end-user configuration of simulation attributes. These characteristics, added to the availability of the source code, provide a useful and relevant tool for the development of educational tools for modeling computational mechanics. To demonstrate the applicability of the proposed strategy, an application was developed, called the Finite Element Method Educational Computer Program (FEMEP), which allows the creation of two-dimensional finite element models, with mesh generation per region, for various types of mechanics simulation computational. The developed package presents iterative and dynamic modeling that performs an automatic intersection between the modeled geometric elements. HETOOL offers several functions and facilities to the user, allowing the use of the package even without the user having knowledge about the topological concepts involved in the implementation of this data structure. The package makes it possible to create and configure attributes simply and quickly from a file in JSON format. This versatility in creating attributes allows the application of this package to solve several problems present in engineering and in other areas of the scientific environment.

[pt] Otimização topológica (OT) é uma técnica de otimização estrutural capaz de gerar projetos incrivelmente detalhados para uma grande gama de problemas. No entanto, a maioria dos trabalhos de OT presentes na literatura está focada em problemas de minimização de flexibilidade, que não consideram a resistência dos materiais durante o processo de otimização, levando a soluções que não satisfazem limites de falha do material. Neste trabalho, focamos em problemas de OT baseados em tensão no qual introduzimos restrições de tensão no problema de otimização, para garantir a integridade estrutural do projeto final. A formulação de tensão de OT nos leva a um problema de engenharia muito mais natural que nos remete à seguinte pergunta: Qual a estrutura mais leve capaz de suportar as cargas as quais será submetida? Para ajudar a responder essa pergunta e para trazer a OT para mais próximo de aplicações reais, neste trabalho foi desenvolvido um sistema computacional em paralelo, baseado em GPU, considerando uma carga que pode variar a sua direção continuamente e capaz de resolver problemas de larga escala. A implementação em GPU apresenta soluções eficientes para os principais problemas de OT de larga escala, como o filtro, o algoritmo de otimização e a solução das equações de equilíbrio. Ao mesmo tempo, ao considerar uma carga variando continuamente que mais se aproxima das condições reais de carregamento usando uma estratégia de pior cenário, obtém-se soluções mais robustas e mais adequadas a aplicações de engenharia. Várias soluções numéricas são apresentadas, incluindo problemas 3D com mais de 45 milhões de restrições de tensão, que demonstram a efetividade das técnicas desenvolvidas neste trabalho. O sistema de larga escala baseado em GPU combinado com as soluções analíticas para a variação contínua de carga, tem o potencial de expandir o uso da OT na engenharia levando a novas e mais eficientes estruturas. / [en] In the field of structural optimization, Topology Optimization (TO) is one of the most general techniques because it is able to generate complex structures with intricate details for a wide range of problems. However, most of the works in TO have focused on compliance-based design that does not consider material strength in the design process leading to structures that do not satisfy material failure requirements. In this work, we focus on the stress-based design approach. We introduce stress constraints in the optimization procedure to guarantee the structural integrity of the final optimized design. This leads to a more natural formulation that addresses a simple engineering question: What is the lightest structure able to withstand its loads? We developed a large-scale GPU-based parallel stress-constrained TO framework considering a continuous range of varying load directions to answer this question and close the gap between TO and practical application. The developed GPU-based C++/CUDA framework efficiently addresses the main challenges of large-scale TO, filtering, optimization algorithm, and the solution of the equilibrium equations, only requiring a moderately affordable GPU hardware. At the same time, we obtain designs that are more suitable for engineering applications by considering a continuous variable range of load directions that more closely resemble real-life service loads using a worstcase analytical approach. We present several numerical results, including 3D problems with over 45 million local constraints providing detailed optimal structures that demonstrate the capabilities of the techniques developed in this work. The large-scale GPU framework, combined with the analytical solutions for continuously varying load cases, has the potential to expand the applications of TO techniques leading to improved engineering designs.

[pt] Materiais feitos com microestruturas arquitetadas possuem propriedades mecânicas ajustáveis e podem ser usados na obtenção de estruturas leves e, ao mesmo tempo, com máxima rigidez. Em estruturas celulares formadas por rede de treliças, por exemplo, pode-se variar o tipo de topologia e porosidade de modo que o material seja eficientemente distribuído no domínio de projeto. Devido às geometrias complexas destas estruturas, projetá-las usando ferramentas de desenho assistido por computador é uma tarefa desafiadora. Neste trabalho, foi desenvolvida uma modelagem paramétrica no programa Rhinoceros usando a extensão Grasshopper para auxiliar na construção de modelos de sólidos celulares com estrutura interna treliçada de densidade variável. A modelagem paramétrica desenvolvida permite definir a topologia e o diâmetro das barras das treliças que simplificam em muito a geração de modelos de sólidos porosos. Modelos de microestrutura foram gerados e fabricados em poliamida 12 por meio de sinterização seletiva a laser para avaliar se é viável imprimir as treliças a partir dos parâmetros estabelecidos. O problema de uma viga biapoiada com carga concentrada no centro foi resolvido utilizando-se o método de otimização topológica e o campo de densidades foi usado para geração do modelo de densidade variável. Considerando a mesma massa final dos modelos otimizados, modelos com densidade constante foram gerados e fabricados juntamente com os modelos de densidade variável. Foram realizadas análises experimentais por meio de ensaios de flexão em três pontos e os resultados mostram que a solução usando densidade variável tem um grande aumento da rigidez quando comparadas com as soluções com densidade uniforme. / [en] Materials made with architected microstructures present tunable mechanical properties and can be used to obtain light structures and, at the same time, with maximum stiffness. In lattice structures, for example, the type of topology and porosity can be varied so that the material is efficiently distributed in the design domain. Due to the complex geometries of these structures, designing them using computer-aided design tools is a challenging task. In this work, a parametric modeling was developed in the Rhinoceros program using the Grasshopper extension to assist in the construction of models of lattice structures with varying truss diameters. The developed parametric modeling allows defining the topology and the diameter of the truss bars, which greatly simplifies the generation of models of porous solids. Microstructure models were generated and manufactured in polyamide 12 through selective laser sintering to assess whether it is feasible to print the trusses from the established parameters. The problem of a simply supported beam with a concentrated load at the center was solved using the topology optimization method and the density field was used to generate the variable density model. Considering the same final mass of the optimized models, models with constant density were generated and manufactured together with the models with variable density. Experimental analyzes were carried out using three-point bending tests and the results show that the solution using variable density has a large increase in stiffness when compared to solutions with uniform density.