Universiẗat, Diss., 2005--Kiel.

In Topologischen Isolatoren (TI) werden metallische Zustände an der Oberfläche beobachtet, während die entsprechenden Volumenzustände eine Bandlücke aufweisen. Der Volumenbeitrag zur Leitfähigkeit von TI-Materialien macht eine Synthese von Nanokristallen bzw. eine Dotierung nötig. Der Fokus der Untersuchungen dieser Arbeit liegt dabei auf der Erzeugung von Nanokristallen der TI-Materialien Bi2Te3- und Bi2Te2Se sowie dotierter Bi2Se3-Nanokristallen. Die Synthese der Nanokristalle erfolgte durch den Gasphasentransport im geschlossenen System über den Mechanismus einer Zersetzungssublimation bzw. unter dem Einsatz eines Transportmittels. Für eine erfolgreiche Erzeugung der Nanokristalle sind im Vorfeld thermodynamische Modellierungen des Gasphasentransports sowie Versuche zum chemischen Transport für die quasibinären Systeme Bi2Se3-Bi2Te3, Bi2Se3-Sb2Se3 und Bi2Se3-FeSe sowie für das ternäre System Mn-Bi-Se durchgeführt worden. Durch Versuche zum chemischen Transport konnten die Aussagen der Modellierung bestätigt und im Weiteren der Dotandengehalt in den abgeschiedenen Kristallen sowie der Einlagerungsmechanismus durch Ergebnisse aus XRD- und ICP-OES-Untersuchungen beschrieben werden. Die Synthese bzw. Dotierung der Nanokristalle wurde hauptsächlich durch die Transportrate und den Dampfdruck des Dotanden bestimmt. In den Systemen Bi2Se3-Bi2Te3 und Bi2Se3-Sb2Se3 ist ein Gasphasentransport über eine Zersetzungssublimation durchführbar und resultierte in einer erfolgreichen Darstellung von Bi2Te3- und Bi2Te2Se-Nanokristallen sowie von dotierten (SbxBi1-x)2Se3-Nanokristallen. Entgegen dessen erfolgte der Gasphasentransport in den Systemen Bi2Se3-FeSe und Mn-Bi-Se unter Verwendung eines Transportmittels. Hierbei verringerten die gesteigerten Transportraten das Wachtum von Nanokristallen. Im Weiteren gelang es dotierte (Fe,Mn)xBi2-xSe3-Volumenkristalle sowie MnBi2Se4-Einkristalle darzustellen und mittels XRD, ICP-OES, magnetischer Messungen sowie elektrischem Transport zu charakterisieren.

Since the genesis of condensed matter physics, strongly correlated fermionic systems have shown a variety of fascinating properties and remain a vital topic in the field. Such systems arise through electronic interaction, and despite decades of intensive research, no holistic approach to solving this problem has been found. During that time, physicists have compiled a wealth of individual experimental and theoretical results, which together give an invaluable insight into these materials, and, in some instances, can explain correlated phenomena. However, there are several systems that stubbornly refuse to fall completely in line with current theoretical descriptions, among them the high-\( T_c{}\) cuprates and heavy fermion compounds. Although the two material classes have been around for the better part of the last 50 years, large portions of their respective phase diagram are still under intensive debate. Recent experiments in several electron-doped cuprates compounds, e.g. neodymium cerium copper oxide (Nd\(_{2x}\)Ce\(_x\)CuO\(_4\)), reveal a charge ordering about an antiferromagnetic ground state. So far, it has not been conclusively clarified how this intertwining of charge and spin polarization comes about and how it can be reconciled with a rigorous theoretical description. The heavy-fermion semimetals, on the other hand, have enjoyed renewed scientific interest with the discovery of topological Kondo insulators, a new material class offering a unique interface of topology, symmetry breaking, and correlated phenomena. In this context, samarium hexaboride (SmB\(_6\)) has emerged as a prototypical system, which may feature a topological ground state. In this thesis, we present a spin rotational invariant auxiliary particle approach to investigate the propensities of interacting electrons towards forming new states of order. In particular, we study the onset of spin and charge order in high-\( T_c{}\) cuprate systems and Kondo lattices, as well as the interplay of magnetism and topology. To that end, we use a sophisticated mean-field approximation of bosonic auxiliary particles augmented by a stability analysis of the saddle point via Gaussian fluctuations. The latter enables the derivation of dynamic susceptibilities, which describe the response of the system under external fields and offer a direct comparison to experiments. Both the mean-field and fluctuation formalisms require a numerical tool that is capable of extremizing the saddle point equations, on the one hand, and reliably solving a loop integral of the susceptibility-type, on the other. A full, from scratch derivation of the formalism tailored towards a software implementation, is provided and pedagogically reviewed. The auxiliary particle method allows for a rigorous description of incommensurate magnetic order and compares well to other established numerical and analytical techniques. Within our analysis, we employ the two-dimensional one-band Hubbard as well as the periodic Anderson model as minimal Hamiltonians for the high-\( T_c{}\) cuprates and Kondo systems, respectively. For the former, we observe a regime of intertwined charge- and spin-order in the electron-doped regime, which matches recent experimental observations in the cuprate material Nd\(_{2x}\)Ce\(_x\)CuO\(_4\). Furthermore, we localize the emergence of a Kondo regime in the periodic Anderson model and establish the magnetic phase diagram of the two-band model for topological Kondo insulators. The emerging antiferromagnetic ground state can be characterized by its topological properties and shows, for a non-trivial phase, topologically protected hinge modes. / Stark korrelierte Fermionen in einem Festkörper-Kristallgitter weisen eine Vielzahl faszinierender kollektiver Eigenschaften auf und stellen damit eines der konzeptionell reichhaltigsten Themenkomplexe auf dem Gebiet der Physik der kondensierten Materie da. Die dazu nötigen Mechanismen lassen sich auf die elektronische Coulomb-Wechsel-wirkung zurückführen und sind trotz jahrzehntelanger intensiver Forschung bis heute nicht geschlossen gelöst worden. Vielmehr wurden - Stück für Stück - experimentelle und theoretische Einzelergebnisse zusammen getragen, die nicht nur einen tiefen Einblick in diese Materialien geben, sondern in einigen Fällen sogar korrelierte Phänomene erklären können. Allerdings gibt es durchaus Strukturen, die sich hartnäckig weigern, mit den bisherigen theoretischen Beschreibungen vollständig übereinzustimmen, darunter die Kuprat-Hochtemperatursupraleiter und die Schwer-Fermionenverbindungen. Obwohl diese beiden Materialklassen seit etwa 50 Jahren erforscht werden, sind große Teile ihrer jeweiligen Phasendiagramme noch nicht abschließend entschlüsselt. Experimente an mehreren elektronendotierten Kuprat-verbindungen, z. B. Neodym-Cerium-Kupferoxid (Nd\(_{2x}\)Ce\(_x\)CuO\(_4\)), zeigen unter anderem eine Ladungsdichtewelle, die auf einem antiferromagnetischen Grundzustand beruht. Bislang ist nicht abschließend geklärt, wie diese Verschränkung von Ladungs- und Spinpolarisation zustande kommt und wie sie mit einer strengen theoretischen Beschreibung in Einklang zu bringen ist. Schwer-Fermionen Halbmetalle erleben mit der Entdeckung der topologischen Kondo-Isolatoren eine Renaissance und bieten eine einzigartige Schnittstelle zwischen Topologie, Symmetriebrechung und korrelierten Phänomenen. Der wahrscheinlich vielversprechendste Kandidat dieser neuen Materialklasse ist Samariumhexaborid (SmB\(_6\)). In dieser Arbeit nutzen wir einen spinrotationsinvarianten Hilfsteilchenansatz um die Emergenz neuer Ordnungszustände wechselwirkender Elektronen zu untersuchen. Im Besonderen interessiert uns das Zusammenspiel von Spin- und Ladungsdichtewellen in den Hochtemperatur Kupraten und Kondo-systemen, sowie die Interaktion von Magnetismus und Topologie. Dazu verwenden wir eine hoch parametrische Molekular-Feld-Analyse der bosonischen Hilfsteilchen, die anschließend durch eine Stabilitätsanalyse des Sattelpunkts ergänzt wird. Sowohl die Molekular-Feld-Approximation, als auch der Fluktuations-Formalismus erfordern ein numerisches Softwaretool, das in der Lage ist sowohl Sattelpunkt-Gleichungen als auch Loopintegral präzise zu lösen. Wir präsentieren eine pädagogisch aufgearbeitete, von Grund auf entwickelte Herleitung des Formalismus, die auf eine Software-Implementierung zugeschnitten ist. Der Hilfsteilchenansatz erlaubt überdies eine rigorose Beschreibung inkommensurabel magnetischer Ordnungen und reproduziert etablierten numerischen und analytische Ergebnisse in guter Übereinstimmung. Für unsere Analyse verwenden wir sowohl das zweidimensionale Einband-Hubbard- als auch das periodische Anderson-Modell als minimalen Hamitonian für die Hochtemperatur-Kuprate bzw. Kondo-Systeme. Im Falle der Kuprate finden wir eine Phase, die durch eine kombinierte Ladungs- und Spinordnung im elektronendotierten Parameterbereich gekennzeichnet ist und überdies gut mit experimentellen Beobachtungen im Kupratmaterial Nd\(_{2x}\)Ce\(_x\)CuO\(_4\) übereinstimmt. Des Weitern wird das Auftreten des Kondo-Regimes im periodischen Anderson-Modell untersucht und das magnetische Phasendiagramm des Zwei-Band-Hamiltonians eines topologischen Kondo-Isolators kartiert. Der antiferromagnetische Grundzustand kann durch eine topologische Invariante charakterisiert werden und zeigt für eine nicht-triviale Phase eindimensionale topologisch geschützte Kantenmoden.

Despite its history of more than one hundred years, the phenomenon of superconductivity has not lost any of its allure. During that time the concept and perception of the superconducting state - both from an experimental and theoretical point of view - has evolved in way that has triggered increasing interest. What was initially believed to simply be the disappearance of electrical resistivity, turned out to be a universal and inevitable result of quantum statistics, characterized by many more aspects apart from its zero resistivity. The insights of BCS-theory eventually helped to uncover its deep connection to particle physics and consequently led to the formulation of the Anderson-Higgs-mechanism. The very core of this theory is the concept of gauge symmetry (breaking). Within the framework of condensed-matter theory, gauge invariance is only one of several symmetry groups which are crucial for the description and classification of superconducting states. \\ In this thesis, we employ time-reversal, inversion, point group and spin symmetries to investigate and derive possible Hamiltonians featuring spin-orbit interaction in two and three spatial dimensions. In particular, this thesis aims at a generalization of existing numerical concepts to open up the path to spin-orbit coupled (non)centrosymmetric superconductors in multi-orbital models. This is done in a two-fold way: On the one hand, we formulate - based on the Kohn-Luttinger effect - the perturbative renormalization group in the weak-coupling limit. On the other hand, we define the spinful flow equations of the effective action in the framework of functional renormalization, which is valid for finite interaction strength as well. Both perturbative and functional renormalization groups produce a low-energy effective (spinful) theory that eventually gives rise to a particular superconducting state, which is investigated on the level of the irreducible two-particle vertex. The symbiotic relationship between both perturbative and functional renormalization can be traced back to the fact that, while the perturbative renormalization at infinitesimal coupling is only capable of dealing with the Cooper instability, the functional renormalization can investigate a plethora of instabilities both in the particle-particle and particle-hole channels. \\ Time-reversal and inversion are the two key symmetries, which are being used to discriminate between two scenarios. If both time-reversal and inversion symmetry are present, the Fermi surface will be two-fold degenerate and characterized by a pseudospin degree of freedom. In contrast, if inversion symmetry is broken, the Fermi surface will be spin-split and labeled by helicity. In both cases, we construct the symmetry allowed states in the particle-particle as well as the particle-hole channel. The methods presented are formally unified and implemented in a modern object-oriented reusable and extendable C++ code. This methodological implementation is employed to one member of both families of pseudospin and helicity characterized systems. For the pseudospin case, we choose the intriguing matter of strontium ruthenate, which has been heavily investigated for already twenty-four years, but still keeps puzzling researchers. Finally, as the helicity based application, we consider the oxide heterostructure LaAlO$_{3}$/SrTiO$_{3}$, which became famous for its highly mobile two- dimensional electron gas and is suspected to host topological superconductivity. / Trotz seiner über hundertjährigen Geschichte seit seiner Entdeckung hat das Phänomen der Supraleitung nichts von seiner ursprünglichen Faszination eingebüßt. Vielmehr hat sich in der Zwischenzeit der Begriff und das Verständnis des supraleitenden Zustandes in einer Weise weiterentwickelt, die das Interesse daran eher hat zunehmen lassen. Was anfänglich ausschließlich für ein Verschwinden des elektrischen Widerstands gehalten wurde, ist tatsächlich ein universelles und unvermeidliches Resultat der Quantenstatistik und besitzt viel mehr bemerkenswerte Eigenschaften als nur den widerstandslosen elektrischen Transport. Die Erkenntnisse der BCS-Theorie haben schließlich dazu geführt die tiefe Verbindung zur Teilchenphysik zu offenbaren und trugen entscheidend zur Formulierung des Anderson-Higgs-Mechanismus bei. Der wichtigste Baustein dieser Theorie ist das Konzept der (Brechung der) Eichsymmetrie. Im Rahmen der Festkörperphysik ist die Eichsymmetrie nur eine von mehreren Symmetrien, die eine essentielle Rolle für die Beschreibung und Einordnung von Phänomenen der Supraleitung spielen. \\ In dieser Arbeit wenden wir Zeitumkehr-, (räumliche) Inversions-, Punktgruppen- und Spin-Symmetrien an, um mögliche Hamilton-Operatoren in zwei und drei räumlichen Dimensionen, welche Spin-Bahn-Kopplung enthalten, herzuleiten und zu untersuchen. Diese Arbeit zielt auf eine Verallgemeinerung von existierenden numerischen Konzepten ab und erschließt den Weg die supraleitenden Eigenschaften von Modellen mit starker Spin-Bahn-Kopplung und mit oder ohne Inversionszentrum zu untersuchen. Dies geschieht mit Hilfe zweier methodischer Ansätze. Erstens formulieren wir aufbauend auf dem Kohn-Luttinger Effekt die störungstheoretische Renormierungsgruppe im Limes schwacher Kopplung. Zweitens verwenden wir die spinaufgelösten Flussgleichungen der effektiven Wirkung im Rahmen der funktionalen Renormierungsgruppe, die auch für endliche Wechselwirkungsstärke gültig sind. Die symbiotische Ergänzung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen ist darauf zurückzuführen, dass es mit der perturbativen Methode zwar möglich ist die Cooper Instabilität bei infinitesimaler Wechselwirkung numerisch exakt zu berechnen, aber nur die funktionale Renormierungsgruppe auch Teilchen-Loch Kondensate zugänglich macht. \\ Zeitumkehr- und Inversionssymmetrie sind die beiden Schlüsselsymmetrien, die verwendet werden, um zwei Szenarien zu unterscheiden. Falls sowohl Zeitumkehr- als auch Inversionssymmetrie gültig sind, sind die Fermiflächen zweifach entartet und durch einen Pseudospin-Freiheitsgrad charakterisiert. Im Gegensatz dazu führt der Verlust der Inversionssymmetrie zur Spinaufspaltung der Fermiflächen, die dann durch die sogenannte Helizität gekennzeichnet sind. In beiden Fällen leiten wir alle symmetrie-erlaubten Zustände her, welche die entsprechenden Teilchen-Teilchen und Teilchen-Loch Kondensate beschreiben. Die vorstellten und verallgemeinerten Methoden sind im Rahmen dieser Arbeit formal miteinander verbunden und in einem modernen objektorientierten C++ Quellcode implementiert worden. \\ Als erste vorläufige Anwendungen für diese methodische Implementierung betrachten wir zwei Systeme, die jeweils einer der beiden Familien zugeordnet werden können. Zum einen berechnen wir in der Pseudospin-Formulierung der perturbativen und funktionalen Renormierungsgruppen die Instabilitäten eines Dreiorbital-Modells für Strontiumruthenat, das seit seiner erstmaligen Synthese trotz intensiver Forschung immer noch Rätsel aufgibt. Zum anderen betrachten wir das zweidimensionale Elektronengas, das sich an der Schnittstelle zwischen LaAlO$_{3}$ und SrTiO$_{3}$ bildet und welches durch seine hohe Ladungsträgermobilität bekannt geworden ist.

This Thesis explores hybrid structures on the basis of quantum spin Hall insulators, and in particular the interplay of their edge states and superconducting and magnetic order. Quantum spin Hall insulators are one example of topological condensed matter systems, where the topology of the bulk bands is the key for the understanding of their physical properties. A remarkable consequence is the appearance of states at the boundary of the system, a phenomenon coined bulk-boundary correspondence. In the case of the two-dimensional quantum spin Hall insulator, this is manifested by so-called helical edge states of counter-propagating electrons with opposite spins. They hold great promise, \emph{e.g.}, for applications in spintronics -- a paradigm for the transmission and manipulation of information based on spin instead of charge -- and as a basis for quantum computers. The beginning of the Thesis consists of an introduction to one-dimensional topological superconductors, which illustrates basic concepts and ideas. In particular, this includes the topological distinction of phases and the accompanying appearance of Majorana modes at their ends. Owing to their topological origin, Majorana modes potentially are essential building-blocks for topological quantum computation, since they can be exploited for protected operations on quantum bits. The helical edge states of quantum spin Hall insulators in conjunction with $s$-wave superconductivity and magnetism are a suitable candidate for the realization of a one-dimensional topological superconductor. Consequently, this Thesis investigates the conditions in which Majorana modes can appear. Typically, this happens between regions subjected to either only superconductivity, or to both superconductivity and magnetism. If more than one superconductor is present, the phase difference is of paramount importance, and can even be used to manipulate and move Majorana modes. Furthermore, the Thesis addresses the effects of the helical edge states on the anomalous correlation functions characterizing proximity-induced superconductivity. It is found that helicity and magnetism profoundly enrich their physical structure and lead to unconventional, exotic pairing amplitudes. Strikingly, the nonlocal correlation functions can be connected to the Majorana bound states within the system. Finally, a possible thermoelectric device on the basis of hybrid systems at the quantum spin Hall edge is discussed. It utilizes the peculiar properties of the proximity-induced superconductivity in order to create spin-polarized Cooper pairs from a temperature bias. Cooper pairs with finite net spin are the cornerstone of superconducting spintronics and offer tremendous potential for efficient information technologies. / Diese Dissertation behandelt Strukturen auf der Grundlage von Quanten-Spin-Hall-Isolatoren, in denen deren Randzustände mit supraleitender und magnetischer Ordnung in Verbindung gebracht werden. Quanten-Spin-Hall-Isolatoren sind Beispiele für Systeme in der Festkörperphysik, deren physikalische Eigenschaften auf die topologische Struktur der Energiebänder zurückzuführen sind. Eine bemerkenswerte Konsequenz daraus ist die Entstehung von besonderen Randzuständen an der Oberfläche. Im Fall der zweidimensionalen Quanten-Spin-Hall-Isolatoren sind diese eindimensional und bestehen aus leitenden, metallischen Zuständen von gegenläufigen Elektronen mit entgegengesetztem Spin -- sogenannte helikale Randzustände. Sie bergen großes Potenzial für Anwendungen in der Spintronik, bei der Informationen nicht durch die Ladung, sondern den Spin von Elektronen übertragen werden, und als Plattform für Quantencomputer. Am Beginn der Dissertation werden eindimensionale topologische Supraleiter allgemeiner besprochen. Ausgehend von der Kitaev-Kette und einem kontinuierlichen Modell werden grundlegende Konzepte anschaulich eingeführt, insbesondere im Hinblick auf die topologische Unterscheidung von trivialer und nicht-trivialer Phase und dem Auftreten von Majorana-Zuständen an deren Enden. Letztere sind die entscheidenden Bausteine auf dem Weg zu geschützten Operationen für Quanten-Bits. Da Randzustände von Quanten-Spin-Hall-Isolatoren im Zusammenspiel mit $s$-Wellen-Supraleitung und Magnetismus eine Möglichkeit für die Realisierung eines solchen eindimensionalen topologischen Supraleiters ist, wird in der Folge untersucht, unter welchen Bedingungen Majorana-Zustände auftreten können. Es wird gezeigt, dass dies zwischen Gebieten geschieht, in denen die Randzustände entweder nur von Supraleitung oder von Supraleitung und Magnetismus beeinflusst werden. In Systemen mit mehr als einer supraleitenden Region spielt die Phasendifferenz dabei eine übergeordnete Rolle und kann sogar dazu benutzt werden, Majorana-Zustände zu manipulieren. Weiterhin behandelt die Dissertation die Auswirkungen der helikalen Randzustände auf anomale Korrelationsfunktionen, die von der Supraleitung induziert werden. Es zeigt sich, dass Helizität und Magnetismus deren Eigenschaften bereichern können und unkonventionelle, exotische Paarungs-Mechanismen auftreten. Zusätzlich wird ein Zusammenhang zu Majorana-Zuständen demonstriert. Abschließend wird eine mögliche thermoelektrische Anwendung eines hybriden Systems besprochen, die die besonderen supraleitenden Eigenschaften ausnutzt, um eine Temperaturdifferenz zur Erzeugung von Cooper-Paaren mit Spin-Polarisierung zu verwenden. Diese stellen im Rahmen der supraleitenden Spintronik vielversprechende Einheiten zur verlustarmen Übertragung von Informationen dar.

The last years have witnessed an exciting scientific quest for intriguing topological phenomena in time-dependent quantum systems. A key to many manifestations of topology in dynamical systems relies on the effective dimensional extension by time-periodic drives. An archetypal example is provided by the Thouless pump in one spatial dimension, where a robust and quantized charge transport can be described in terms of an integer quantum Hall effect upon interpreting time as an extra dimension. Generalizing this fundamental concept to multifrequency driving, a variety of higher-dimensional topological models can be engineered in dynamical synthetic dimensions, where the underlying topological classification leads to quantized pumping effects in the associated lower-dimensional time-dependent systems. In this Thesis, we explore how correlations profoundly impact the topological features of dynamical synthetic quantum materials. More precisely, we demonstrate that the interplay of interaction and dynamical synthetic dimension gives rise to striking topological phenomena that go beyond noninteracting implementations. As a starting point, we exploit the Floquet counterpart of an integer quantum Hall scenario, namely a two-level system driven by two incommensurate frequencies. In this model, the topologically quantized response translates into a process in which photons of different frequencies are exchanged between the external modes, referred to as topological frequency conversion. We extend this prototypical setup to an interacting version, focusing on the minimal case of two correlated spins equally exposed to the external drives. We show that the topological invariant determining the frequency conversion can be changed by odd integers, something explicitly forbidden in the noninteracting limit of two identical spins. This correlated topological feature may, in turn, result in an enhancement of the quantized response. Robust response signals, such as those predicted for the topological frequency converter, are of fundamental interest for potential technological applications of topological quantum matter. Based on an open quantum system implementation of the frequency converter, we propose a novel mechanism of topological quantization coined ''topological burning glass effect''. Remarkably, this mechanism amplifies the local response of the driven two-level system by an integer that is proportional to the number of environmental degrees of freedom to which the system is strongly coupled. Specifically, our findings are illustrated by the extension of the frequency converter to a central spin model. There, the local energy transfer mediated exclusively by the central spin is significantly enhanced by the collective motion of the surrounding spins. In this sense, the central spin adopts the topological nature of the total system in its non-unitary dynamics, taking into account the correlations with the environment. / In den letzten Jahren hat sich eine spannende Suche nach faszinierenden topologischen Phänomenen in zeitabhängigen Quantensystemen entwickelt. Ein Schlüssel zu zahlreichen Ausprägungen der Topologie in dynamischen Systemen beruht auf der effektiven Dimensionserweiterung durch zeitlich-periodische Antriebe. Ein Beispiel ist die Thouless-Pumpe in einer räumlichen Dimension, in der ein robuster und quantisierter Ladungstransport mittels eines Quanten-Hall-Effekts beschrieben werden kann, sofern Zeit als zusätzliche Dimension interpretiert wird. Durch Verallgemeinerung dieses Grundkonzepts auf Multifrequenzantriebe kann eine Vielzahl höherdimensionaler topologischer Modelle in zeitlich synthetischen Dimensionen konstruiert werden, bei denen die zugrunde liegende topologische Klassifikation zu quantisierten Pumpeffekten in den zugehörigen niederdimensionalen zeitabhängigen Systemen führt. In dieser Dissertation wird untersucht, wie Korrelationen die topologischen Eigenschaften von zeitlich synthetischen Quantenmaterialen maßgeblich beeinflussen. Konkret wird gezeigt, dass das Zusammenspiel von Wechselwirkung und zeitlicher synthetischer Dimension zu erstaunlichen topologischen Phänomenen führt, die über nicht-wechselwirkende Realisierungen hinausgehen. Als Ausgangspunkt wird das Floquet-Gegenstück eines Quanten-Hall-Szenarios genutzt, ein Zwei-Niveau-System, das von zwei inkommensurablen Frequenzen getrieben wird. In diesem Modell spiegelt sich die topologisch quantisierte Antwort in einen Prozess wider, bei dem Photonen verschiedener Frequenzen zwischen den externen Moden ausgetauscht werden, auch bekannt als topologische Frequenzumwandlung. Wir erweitern dieses prototypische Setup auf eine interagierende Version, indem wir uns auf den Minimalfall zweier korrelierter Spins konzentrieren, die gleichermaßen den externen Antrieben ausgesetzt sind. Wir zeigen, dass die topologische Invariante, die die Frequenzumwandlung bestimmt, durch ungerade ganze Zahlen verändert werden kann. Ein Zustand, der im nicht-wechselwirkenden Fall ausdrücklich verboten ist. Dieses korrelierte topologische Verhalten kann wiederum zu einer Verstärkung der quantisierten Antwort führen. Robuste Antwortsignale, wie sie für den topologischen Frequenzumwandler vorhergesagt werden, sind von grundlegendem Interesse für potentielle technologische Anwendungen der topologischen Quantenmaterie. Basierend auf einer offenen Quantensystem-Realisierung des Frequenzumwandlers schlagen wir einen neuartigen Mechanismus der topologischen Quantisierung vor, den wir als ''topologischen Brennglaseffekt'' bezeichnen. Dieser Mechanismus verstärkt die lokale Antwort des getriebenen Zwei-Niveau-Systems um eine ganze Zahl, die proportional zur Anzahl der Freiheitsgrade der Umgebung ist, an die das System koppelt. Konkret werden unsere Erkenntnisse durch die Erweiterung des Frequenzumwandlers auf ein Zentralspinmodell veranschaulicht. Der lokale Energietransfer, der ausschließlich durch den zentralen Spin vermittelt wird, wird durch die kollektive Bewegung der umgebenden Spins maßgeblich verstärkt. In diesem Sinne erbt der Zentralspin die topologische Natur des Gesamtsystems in seiner nicht-unitären Dynamik, die die Korrelationen mit der Umgebung berücksichtigt.

In dieser Arbeit berichte ich von meinen Untersuchungen der Fermiflächen der topologischer Semimetalle PtGa, CoSi, CaAuAs und CaCdGe. Dazu habe ich die Quantenoszillationen der einkristallinen Proben mittels Drehmomentmagnetometrie gemessen und vergleiche die Resultate mit denen von Dichtefunktionaltheorie-Rechnungen. Aus diesem Vergleich lassen sich die Bandstruktur und Fermiflächen verlässlich bestimmen und damit deren Topologie verifizieren. PtGa und CoSi kristallisieren in der Raumgruppe P213 (198) und sind damit chiral und nicht zentrosymmetrisch. Sie besitzen eine außergewöhnliche Bandstruktur-Topologie mit hochgradig entarteten Bandberührungspunkten und Bandberührungsflächen, welche empfindlich von der Spin-Bahn-Kopplung abhängt. PtGa unterliegt einer sehr starken Spin-Bahn-Kopplung, welche den experimentellen Nachweis der topologischen Ladung der Bandberührungspunkte ermöglichte. In CoSi ist die Spin-Bahn-Kopplung schwach, sodass ihre experimentelle Signifikanz bisher umstritten ist. In meinen Messungen zeigen beide Materialien eine deutliche Spinaufspaltung der Quantenoszillationsfrequenzen, welche die Auswirkung Spin-Bahn-Kopplung auch für CoSi nachweist. Die Übereinstimmungen der Resultate der Messungen mit denen der Bandstruktur-Rechnungen bestätigen zudem Bandstrukturen und ihre Topologie. CaAuAs und CaCdGe weisen gemäß Bandstruktur-Rechnungen ohne Berücksichtigung der Spin-Bahn-Kopplung Bandberührungslinien auf, welche durch die Spin-Bahn-Kopplung aufgespalten werden. Bei CaAuAs stimmen die Quantenoszillationsfrequenzen sehr gut mit den berechneten Frequenzen unter Beachtung der Spin-Bahn-Kopplung überein. Dies spricht gegen die Existenz von Bandberührungslinien und für ihre Aufspaltung zu Dirac-Punkten. CaCdGe weichen die berechneten und die gemessenen Ergebnisse zum Teil stark von einander ab, sodass Bandstruktur nicht klar bestimmt ist und weitere Untersuchungen notwendig sind.

The concept of topology in condensed matter physics has led to the discovery of rich and exotic physics in recent years. Especially when strong correlations are included, phenomenons such as fractionalization and anyonic particle statistics can arise. In this thesis, we study several systems hosting topological phases of interacting fermions. In the first part, we consider one-dimensional systems of parafermions, which are generalizations of Majorana fermions, in the presence of a Z_N charge symmetry. We classify the symmetry-protected topological (SPT) phases that can occur in these systems using the projective representations of the symmetries and find a finite number of distinct phases depending on the prime factorization of N. The different phases exhibit characteristic degeneracies in their entanglement spectrum (ES). Apart from these SPT phases, we report the occurrence of parafermion condensate phases for certain values of N. When including an additional Z_N symmetry, we find a non-Abelian group structure under the addition of phases. In the second part of the thesis, we focus on two-dimensional lattice models of spinless fermions. First, we demonstrate the detection of a fractional Chern insulator (FCI) phase in the Haldane honeycomb model on an infinite cylinder by means of the density-matrix renormalization group (DMRG). We report the calculation of several quantities characterizing the topological order of the state, i.e., (i)~the Hall conductivity, (ii)~the spectral flow and level counting in the ES, (iii)~the topological entanglement entropy, and (iv)~the charge and topological spin of the quasiparticles. Since we have access to sufficiently large system sizes without band projection with DMRG, we are in addition able to investigate the transition from a metal to the FCI at small interactions which we find to be of first order. In a further study, we consider a time-reversal symmetric model on the honeycomb lattice where a Chern insulator (CI) induced by next-nearest neighbor interactions has been predicted by mean field theory. However, various subsequent studies challenged this picture and it was still unclear whether the CI would survive quantum fluctuations. We therefore map out the phase diagram of the model as a function of the interactions on an infinite cylinder with DMRG and find evidence for the absence of the CI phase. However, we report the detection of two novel charge-ordered phases and corroborate the existence of the remaining phases that had been predicted in mean field theory. Furthermore, we characterize the transitions between the various phases by studying the behavior of correlation length and entanglement entropy at the phase boundaries. Finally, we develop an improvement to the DMRG algorithm for fermionic lattice models on cylinders. By using a real space representation in the direction along the cylinder and a real space representation in the perpendicular direction, we are able to use the momentum around the cylinder as conserved quantity to reduce computational costs. We benchmark the method by studying the interacting Hofstadter model and report a considerable speedup in computation time and a severely reduced memory usage.

Topologically ordered phases flamboyance a cornucopia of intriguing phenomena that cannot be perceived in the conventional phases including the most striking property of hosting anyon quasiparticles having fractional charges and fractional statistics. Such phases were discovered with the remarkable experiment of the fractional quantum Hall effect and are drawing a lot of recognition. Realization of these phases on lattice systems and study of the anyon quasiparticles there are important and interesting avenue to research in unraveling new physics, which can not be found in the continuum, and this thesis is an important contribution in that direction. Also such lattice models hosting anyons are particularly important to control the movement of anyons while experimentally implemented with ultra-cold atoms in optical lattices. We construct lattice models by implementing analytical states and parent Hamiltonians on two-dimensional plane hosting non-Abelian anyons, which are proposed candidates for quantum computations. Such lattice models are suitable to create both quasiholes and quasielectrons in the similar way and thereby avoiding the singularity problem for the quasielectrons in continuum. Anyons in these models are found to be well-screened with proper charges and right statistics. Going beyond two dimensions, we unravel the intriguing physics of topologically ordered phases of matter in fractional dimensions such as in the fractal lattices by employing our model constructions of analytical states and parent Hamiltonians there. We find the anyons to be well-screened with right charges and statistics for all dimensions. Our work takes the first step in bridging the gap between two dimensions and one dimension in addressing topological phases which reveal new physics. Our constructions are particularly important in this context since such lattices lack translational symmetry and hence become unsuitable for the fractional Chern insulator implementations. The special features of topologically ordered phases make these difficult to probe and hence the detection of topological quantum phase transitions becomes challenging. The existing probes suffer from shortcomings uo-to a large extent and therefore construction of new type of probes become important and are on high demand. The robustness of anyon properties draw our attention to propose these as detector of topological quantum phase transitions with significant advantages including the facts that these are numerically cheaper probes and are independent of the boundary conditions. We test our probe in three different examples and find that simple properties like anyon charges detect the transitions. / Topologisch geordnete Phasen extravagieren ein Füllhorn faszinierender Phänomene, die in den herkömmlichen Phasen nicht wahrgenommen werden können, einschließlich der auffälligsten Eigenschaft, Quasiteilchen mit fraktionierten Ladungen und fraktion- ierten Statistiken aufzunehmen. Solche Phasen wurden mit dem bemerkenswerten Exper- iment des fraktionierten Quanten-Hall-Effekts entdeckt und finden viel Anerkennung. Die Realisierung dieser Phasen auf Gittersystemen und die Untersuchung der Anyon- Quasiteilchen sind wichtige und interessante Wege zur Erforschung der Entschlüsselung neuer Physik, die im Kontinuum nicht zu finden sind, und diese These ist ein wichtiger Beitrag in diese Richtung. Auch solche Gittermodelle, die Anyons enthalten, sind beson- ders wichtig, um die Bewegung von Anyons zu steuern, während sie experimentell mit ultrakalten Atomen in optischen Gittern implementiert werden. Wir konstruieren Gittermodelle, indem wir analytische Zustände und Eltern-Hamiltonianer auf einer zwei- dimensionalen Ebene implementieren, die nicht-abelsche Anyons enthält, die als Kan- didaten für Quantenberechnungen vorgeschlagen werden. Solche Gittermodelle sind geeignet, sowohl Quasi-Löcher als auch Quasielektronen auf ähnliche Weise zu erzeu- gen und dadurch das Singularitätsproblem für die Quasielektronen im Kontinuum zu vermeiden. Jeder in diesen Modellen wird mit angemessenen Gebühren und richtigen Statistiken gut überprüft. Über zwei Dimensionen hinaus enträtseln wir die faszinierende Physik topologisch geordneter Phasen der Materie in fraktionierten Dimensionen wie in den fraktalen Gittern, indem wir dort unsere Modellkonstruktionen von analytischen Zuständen und Eltern-Hamiltonianern verwenden. Wir finden, dass die Anyons mit den richtigen Gebühren und Statistiken für alle Dimensionen gut überprüft werden. Unsere Arbeit macht den ersten Schritt, um die Lücke zwischen zwei Dimensionen und einer Dimension zu schließen und topologische Phasen anzugehen, die neue Physik enthüllen. Unsere Konstruktionen sind in diesem Zusammenhang besonders wichtig, da solche Gitter keine Translationssymmetrie aufweisen und daher für die fraktionierten Chern- Isolatorimplementierungen ungeeignet werden. Die besonderen Merkmale topologisch geordneter Phasen machen es schwierig, diese zu untersuchen, und daher wird die Detek- tion topologischer Quantenphasenübergänge schwierig. Die vorhandenen Sonden leiden in hohem Maße unter Mängeln, weshalb die Konstruktion neuer Sondenarten wichtig wird und eine hohe Nachfrage besteht. Die Robustheit der Anyon-Eigenschaften lenkt unsere Aufmerksamkeit darauf, diese als Detektor für topologische Quantenphasenübergänge mit signifikanten Vorteilen vorzuschlagen, einschließlich der Tatsache, dass dies numerisch billigere Sonden sind und von den Randbedingungen unabhängig sind. Wir testen unsere Sonde in drei verschiedenen Beispielen und stellen fest, dass einfache Eigenschaften wie Ladungen die Übergänge erfassen.

Topological insulators (TIs) are a new state of quantum matter that has fundamentally challenged our knowledge of insulator and metals. They are insulators in the bulk, but metallic on the edge. A TI is characterized by a so-called topological invariant. This characteristic integer number is associated to every mapping between two topological spaces and can be defined for an electronic system on the lattice. Due to the bulk-edge correspondence a non-trivial value leads to topologically protected edge states. To get insight into the electronic characteristics of these edge/surface states, however, an effective continuum theory is needed. Continuum models are analytical and are also able to model transport. In this thesis we will address the suitability of continuum low-energy theories to describe the topological characteristics of TIs. The models which are topologically well-defined are called topological k.p Hamiltonians. After introducing a necessary background in chapter 1 and 2, we will discuss in the methodological chapter 3 the strategies that have to be taken into account to allow for studying topological surface states. In chapter 4 we will study two different model classes associated to a spherical basis manifold. Both have an integer topological invariant, but one shows a marginal bulk-edge correspondence. In chapter 5 we will study a different continuum theory where the basis manifold corresponds to a hemisphere. We then apply all these ideas to a time-reversal invariant TI -- uniaxially strained Mercury Telluride (HgTe). We determine the spin textures of the topological surface states of strained HgTe using their close relations with the mirror Chern numbers of the system and the orbital composition of the surface states. We show that at the side surfaces with $C_{2v}$ point group symmetry an increase in the strain magnitude triggers a topological phase transition where the winding number of the surface state spin texture is flipped while the four topological invariants characterizing the bulk band structure are unchanged. In the last chapter we will give a summary.