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In the paper \cite{FHS12}, the authors announce the discovery of an invariant for Grothendieck toposes which they call the isotropy group of a topos. Roughly speaking, the isotropy group of a topos carries algebraic data in a way reminiscent of how the subobject classifier carries spatial data. Much as we like to compute invariants of spaces in algebraic topology, we would like to have tools to calculate invariants of toposes in category theory. More precisely, we wish to be in possession of theorems which tell us how to go about computing (higher) isotropy groups of various toposes. As it turns out, computation of isotropy groups in toposes can often be reduced to questions at the level of small categories and it is therefore interesting to try and see how isotropy behaves with respect to standard constructions on categories. We aim to provide a summary of progress made towards this goal, including results on various commutation properties of higher isotropy quotients with colimits and the way isotropy quotients interact with categories collaged together via certain nice kinds of profunctors. The latter should be thought of as an analogy for the Seifert-van Kampen theorem, which allows computation of fundamental groups of spaces in terms of fundamental groups of smaller subspaces.

Este trabalho propõe o estudo dos espaços coerentes do ponto de vista da teoria dos topos, ou seja, consiste em uma análise, em termos de topos, das principais categorias de espaços coerentes. Os espaços coerentes constituem um tipo de domínio que apresenta algumas particularidades que o distinguem dos demais, por exemplo, considera admissíveis no conjunto de funções somente aquelas que, além de contínuas no sentido de Scott - preservam supremos de conjuntos dirigidos, também são estáveis e lineares. Um topos e uma categoria Cartesiana fechada com classificador de subobjetos. Isso faz com que todo topos se comporte como Set (conjuntos como objetos e funções como morfismos), ou seja, uma categoria na qual as interpretações de suas construções básicas seguem a Teoria dos Conjuntos. Entre as categorias de Espaços Coerentes, tem-se a categoria STAB, cujos objetos são os espaços coerentes e os morfismos são funções estáveis entre esses espaços, que é uma categoria cartesiana fechada. Isto significa que STAB é uma categoria especial no sentido computacional: além de possuir o produto binário para todos os seus objetos, STAB apresenta objeto exponencial e morfismo de avaliação, garantindo significado para processos computacionais. A subcategoria LIN da categoria STAB, cujos morfismos são as funções lineares, não é uma categoria cartesiana fechada. Entretanto, LIN é uma categoria monoidal simétrica que e fechada. Este, condição e suficiente para que em LIN também se tenha a garantia de se obter significado para processos computacionais. Apresenta-se então, uma interpretação computacional da estrutura destas categorias e uma análise das mesmas do ponto de vista de topos, isto é, da existência ou não de classificador de subobjetos. / This work proposes the study of coherent spaces from the point of view of the Topos Theory, that is, it consists of an analysis of the main categories of coherent spaces in terms of topos. The coherent spaces make up a kind of domain which presents some peculiarities that separate it from the rest, for example, in the complex whole of the functions it only considers permissible, those which, apart from being continuous in the sense of Scott - preserving supremo of directed sets, it is also stable and linear. A topos is a Cartesian closed with subobject classifier. This makes topos behaves like Set (sets as objects and functions as morphisms), that is, a category in which the interpretations of its basic constructions follow the Theory of Sets. Among the categories of Coherent Spaces, there is the STAB category, a closed Cartesian category, the objects of which are the coherent spaces, having morphisms as stable functions among these spaces. This means that STAB is a special category in the computational sense: apart from having a binary product for all its objects, STAB presents an exponential object and a morphism of evaluation, ensuring meaning for computational processes. The subcategory LIN of the STAB category, the morphisms of which are linear functions, is not a closed Cartesian category. However, LIN is a symmetrical monoidal category which is closed. This condition is sufficient to also have in LIN the guarantee of obtaining meaning for computational processes. Thus, a computational interpretation of the structure of these categories will be presented, as well as an analysis of them from the point of view of the Topos Theory, that is, if subobject classifier exists or not.

Este trabalho propõe o estudo dos espaços coerentes do ponto de vista da teoria dos topos, ou seja, consiste em uma análise, em termos de topos, das principais categorias de espaços coerentes. Os espaços coerentes constituem um tipo de domínio que apresenta algumas particularidades que o distinguem dos demais, por exemplo, considera admissíveis no conjunto de funções somente aquelas que, além de contínuas no sentido de Scott - preservam supremos de conjuntos dirigidos, também são estáveis e lineares. Um topos e uma categoria Cartesiana fechada com classificador de subobjetos. Isso faz com que todo topos se comporte como Set (conjuntos como objetos e funções como morfismos), ou seja, uma categoria na qual as interpretações de suas construções básicas seguem a Teoria dos Conjuntos. Entre as categorias de Espaços Coerentes, tem-se a categoria STAB, cujos objetos são os espaços coerentes e os morfismos são funções estáveis entre esses espaços, que é uma categoria cartesiana fechada. Isto significa que STAB é uma categoria especial no sentido computacional: além de possuir o produto binário para todos os seus objetos, STAB apresenta objeto exponencial e morfismo de avaliação, garantindo significado para processos computacionais. A subcategoria LIN da categoria STAB, cujos morfismos são as funções lineares, não é uma categoria cartesiana fechada. Entretanto, LIN é uma categoria monoidal simétrica que e fechada. Este, condição e suficiente para que em LIN também se tenha a garantia de se obter significado para processos computacionais. Apresenta-se então, uma interpretação computacional da estrutura destas categorias e uma análise das mesmas do ponto de vista de topos, isto é, da existência ou não de classificador de subobjetos. / This work proposes the study of coherent spaces from the point of view of the Topos Theory, that is, it consists of an analysis of the main categories of coherent spaces in terms of topos. The coherent spaces make up a kind of domain which presents some peculiarities that separate it from the rest, for example, in the complex whole of the functions it only considers permissible, those which, apart from being continuous in the sense of Scott - preserving supremo of directed sets, it is also stable and linear. A topos is a Cartesian closed with subobject classifier. This makes topos behaves like Set (sets as objects and functions as morphisms), that is, a category in which the interpretations of its basic constructions follow the Theory of Sets. Among the categories of Coherent Spaces, there is the STAB category, a closed Cartesian category, the objects of which are the coherent spaces, having morphisms as stable functions among these spaces. This means that STAB is a special category in the computational sense: apart from having a binary product for all its objects, STAB presents an exponential object and a morphism of evaluation, ensuring meaning for computational processes. The subcategory LIN of the STAB category, the morphisms of which are linear functions, is not a closed Cartesian category. However, LIN is a symmetrical monoidal category which is closed. This condition is sufficient to also have in LIN the guarantee of obtaining meaning for computational processes. Thus, a computational interpretation of the structure of these categories will be presented, as well as an analysis of them from the point of view of the Topos Theory, that is, if subobject classifier exists or not.

Este trabalho propõe o estudo dos espaços coerentes do ponto de vista da teoria dos topos, ou seja, consiste em uma análise, em termos de topos, das principais categorias de espaços coerentes. Os espaços coerentes constituem um tipo de domínio que apresenta algumas particularidades que o distinguem dos demais, por exemplo, considera admissíveis no conjunto de funções somente aquelas que, além de contínuas no sentido de Scott - preservam supremos de conjuntos dirigidos, também são estáveis e lineares. Um topos e uma categoria Cartesiana fechada com classificador de subobjetos. Isso faz com que todo topos se comporte como Set (conjuntos como objetos e funções como morfismos), ou seja, uma categoria na qual as interpretações de suas construções básicas seguem a Teoria dos Conjuntos. Entre as categorias de Espaços Coerentes, tem-se a categoria STAB, cujos objetos são os espaços coerentes e os morfismos são funções estáveis entre esses espaços, que é uma categoria cartesiana fechada. Isto significa que STAB é uma categoria especial no sentido computacional: além de possuir o produto binário para todos os seus objetos, STAB apresenta objeto exponencial e morfismo de avaliação, garantindo significado para processos computacionais. A subcategoria LIN da categoria STAB, cujos morfismos são as funções lineares, não é uma categoria cartesiana fechada. Entretanto, LIN é uma categoria monoidal simétrica que e fechada. Este, condição e suficiente para que em LIN também se tenha a garantia de se obter significado para processos computacionais. Apresenta-se então, uma interpretação computacional da estrutura destas categorias e uma análise das mesmas do ponto de vista de topos, isto é, da existência ou não de classificador de subobjetos. / This work proposes the study of coherent spaces from the point of view of the Topos Theory, that is, it consists of an analysis of the main categories of coherent spaces in terms of topos. The coherent spaces make up a kind of domain which presents some peculiarities that separate it from the rest, for example, in the complex whole of the functions it only considers permissible, those which, apart from being continuous in the sense of Scott - preserving supremo of directed sets, it is also stable and linear. A topos is a Cartesian closed with subobject classifier. This makes topos behaves like Set (sets as objects and functions as morphisms), that is, a category in which the interpretations of its basic constructions follow the Theory of Sets. Among the categories of Coherent Spaces, there is the STAB category, a closed Cartesian category, the objects of which are the coherent spaces, having morphisms as stable functions among these spaces. This means that STAB is a special category in the computational sense: apart from having a binary product for all its objects, STAB presents an exponential object and a morphism of evaluation, ensuring meaning for computational processes. The subcategory LIN of the STAB category, the morphisms of which are linear functions, is not a closed Cartesian category. However, LIN is a symmetrical monoidal category which is closed. This condition is sufficient to also have in LIN the guarantee of obtaining meaning for computational processes. Thus, a computational interpretation of the structure of these categories will be presented, as well as an analysis of them from the point of view of the Topos Theory, that is, if subobject classifier exists or not.

In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit zwei Ansätzen zur Quantengravitation (QG), die einander konträr gegenüberstehen: - Erstens mit der Loop Quantum Gravity (LQG), einem eher konservativen Ansatz zur QG, dessen Startpunkt eine Hamiltonsche Formulierung der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ist, - zweitens mit der sogenannten Topos-Theorie, angewandt auf die Allgemeine Relativitätstheorie, die die mathematischen Konzepte der Quantentheorie (und möglicherweise auch der ART) radikal umformuliert, was eine immense Redefinition von Konzepten wie Raum, Zeit und Raumzeit zur Folge hätte. Der Grund für die Wahl zweier so verschiedener Ansätzen als Gegenstand dieser Arbeit liegt in der Hoffnung begründet, dass sich diese beiden Ansätze auf einen gemeinsamen Ursprung zurückführen lassen können und somit gegenseitig ergänzen können. Im ersten Teil dieser Arbeit führen wir den allgemeinen Formalismus der LQG ein und gehen dabei insbesondere auf den semiklassischen Sektor der Theorie ein; insbesondere untersuchen wir die semiklassischen Eigenschaften des Volumenoperators. Dieser Operator spielt in der Quantendynamik der LQG eine tragende Rolle, da alle bekannten dynamischen Operatoren auf den Volumenoperator zurückgeführt werden können. Aus diesem Grund ist es auerordentlich wichtig zu überprüfen, dass der klassische Limes des Volumenoperators wirklich mit dem klassischen Volumen übereinstimmt. Anschließend beschäftigen wir uns mit sogenannten Spin Foam Modellen (SFM), welche als ein kovarianter oder Pfadintegralzugang zur kanonischen LQG angesehen werden können. Diese Spin Foam Modelle beruhen auf einer Langrange-Formulierung der LQG mittels einer kovarianten sum-over-histories Beschreibung. Die Entwicklung eines Lagrange-Zuganges zur LQG wurde motiviert durch die Tatsache, dass es in der kanonischen Formulierung der LQG überaus schwierig ist, Übergangsamplituden auszurechnen. Allerdings weichen die Spin Foam Modelle, die wir in dieser Arbeit behandeln in einem entscheidenden Punkt von den bisher in der Literatur diskutierten ab, da wir die Holst-Wirkung Holst [1996] und nicht die Palatini-Wirkung als Ausgangspunkt nehmen. Dies ermöglicht es uns, explizit gewisse Zwangsbedingungen zu lösen, was in den gegenwärtig diskutierten SFM problematisch scheint. Im zweiten Teil dieser Arbeit führen wir in die Topos-Theorie ein und rekapitulieren, wie diese Theorie benutzt werden kann, um die Quantentheorie derart umzuformulieren, dass eine konsistente Quanten-Logik definiert werden kann. Darüber hinaus definieren wir auch eine Topos-Beschreibung der Quantentheorie in der sum-over-histories Formulierung. Unser Ansatz entscheidet sich vom gegenwärtigen consistent-histories Ansatz vor allem dadurch, dass das Konzept der konsistenten Menge (eine Menge von Historien, die nicht mit sich selbst interferieren) keine zentrale Rolle spielt, während es in letzterem grundlegend ist. Diese Tatsache bietet einen interessanten Ausgangspunkt, da eine der Hauptschwierigkeiten im consistent-histories Ansatz darin besteht, die richtige konsistente Menge der Propositionen von Historien zu finden: Im allgemeinen gibt es viele solcher Mengen, und die meisten davon sind nicht miteinander kompatibel. Wir zeigen, dass in unserer Topos-Beschreibung der sum-over-histories Quantentheorie jeder Proposition von Historien Wahrheitswerte zugeteilt werden können; daher ist das Konzept einer konsistenten Menge von Propositionen redundant. Dies bedeutet, dass es im Rahmen einer Quantengravitationstheorie möglich sein könnte, jeder Proposition von vierdimensionalen Metriken (welche als allgemein relativistisches Analogon einer Historie angesehen werden können) einen Wahrheitswert zuzuweisen. / One of the main challenges in theoretical physics over the last five decades has been to reconcile quantum mechanics with general relativity into a theory of quantum gravity. However, such a theory has been proved to be hard to attain due to i) conceptual difficulties present in both the component theories (General Relativity (GR) and Quantum Theory); ii) lack of experimental evidence, since the regimes at which quantum gravity is expected to be applicable are far beyond the range of conceivable experiments. Despite these difficulties, various approaches for a theory of Quantum Gravity have been developed. In this thesis we focus on two such approaches: Loop Quantum Gravity and the Topos theoretic approach. The choice fell on these approaches because, although they both reject the Copenhagen interpretation of quantum theory, their underpinning philosophical approach to formulating a quantum theory of gravity are radically different. In particular LQG is a rather conservative scheme, inheriting all the formalism of both GR and Quantum Theory, as it tries to bring to its logical extreme consequences the possibility of combining the two. On the other hand, the Topos approach involves the idea that a radical change of perspective is needed in order to solve the problem of quantum gravity, especially in regard to the fundamental concepts of `space'' and `time''. Given the partial successes of both approaches, the hope is that it might be possible to find a common ground in which each approach can enrich the other.