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Análise de modelos de linhas de transmissão com parâmetros variantes com a frequência. / Transmission lines models with frequency dependent parameters.

Timaná Eraso, Luis Carlos 20 March 2019 (has links)
Neste trabalho são descritos e avaliados diferentes modelos de linhas aéreas de transmissão, considerando a variação dos parâmetros da linha com a frequência. Em geral os modelos apresentados são baseados no uso da matriz de admitâncias nodais, com algumas análises complementares empregando o método das características. São testados casos de circuito-aberto, curto-circuito, linha em carga e manobras com chaves. Os resultados de cálculo são comparados com as respostas simuladas nos programas ATP e PSCAD. Também são apresentadas as formulações para o cálculo de parâmetros da linha de transmissão, considerando o efeito pelicular e a resistividade do solo São avaliadas as respostas no domínio do tempo para diferentes modelos equivalentes de linha de transmissão, obtidos do modelo polo-resíduo com passividade da matriz de admitâncias nodais, sendo empregados: i) transformação do modelo racional para uma representação em espaço de estados, ii) construção de uma rede elétrica equivalente com resistências, indutores e capacitores e iii) representação por meio de um equivalente de Norton. Também é analisado o equivalente de Norton obtido dos modelos polo-resíduo com passividade de uma linha equivalente dobrada nas condições em curto-circuito e circuito-aberto. Foi analisada a solução de redes elétricas no domínio da frequência usando uma formulação nodal e sem a necessidade de ajustes intermediários da matriz de admitâncias nodais. As respostas de tensão e corrente são antitransformadas para o domínio do tempo por meio de diferentes formulações baseadas na transformada inversa de Fourier, levando em conta os métodos que mitigam erros de truncamento e discretização. As seguintes formulações foram avaliadas: i) transformada modificada de Fourier, ii) transformada inversa rápida de Fourier e iii) transformada inversa de Fourier com integração semianalítica. É também apresentado um modelo para linhas de transmissão em paralelo, baseado no domínio modal usando uma matriz de transformação constante, juntamente com a aplicação do método de ajuste Vector Fitting com o objetivo de modelar com precisão o efeito de acoplamento mútuo entre linhas. / In this work different overhead transmission lines models are described and evaluated, considering the frequency dependence of parameters. In general, the models are based on the nodal admittance matrix, with some complementary analysis using the method of characteristics. Cases of open-circuit, short-circuit, line connected to a load and switching maneuvers are tested. The calculation results are compared with the simulated responses obtained with the ATP and PSCAD. The formulations for the transmission line parameters are also presented, taking into account the skin effect and the ground return. The time-domain responses for different transmission line models are evaluated. These models are obtained from the passive pole-residue model of the nodal admittance matrix. The equivalent models are: i) state-space representation, ii) electrical network composed of resistors, inductors and capacitors, iii) the Norton\'s equivalent. In addition, an evaluation is performed for the Norton\'s equivalent obtained from the pole-residue models for the open-circuit and short-circuit conditions of a folded line equivalent. On the other hand, the network is solved completely in frequency-domain using a nodal formulation, without the fitting of the nodal admittance matrix. The voltage and current responses are transformed back to the time-domain by different formulations based on the inverse Fourier transform, taking into account methods to minimize errors by truncation and discretization. The formulations investigated are: i) modified Fourier transform, ii) fast Fourier transform, iii) inverse Fourier transform with semianalytic integration. The model for parallel transmission lines is also evaluated, based on modal domain using a constant transformation matrix and the application of the vector fitting method, with emphasis on accurate representation of mutual coupling effects.
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Multiuser communications over frequency selective wired channels and applications to the powerline access network

Sartenaer, Thierry 14 September 2004 (has links)
The low-voltage power distribution network is considered today as a serious candidate to provide residential customers with a high-speed access to communication services such as Internet. Outdoor Power-Line Communications (PLC) systems represent an alternative to the other classical 'last-mile solutions' such as ADSL, cable modems, or wireless access systems. We developed an accurate powerline channel simulation tool based on the Multiconductor Transmission Line theory. This tool is able to predict the end-to-end channel responses on the basis of the multiconductor cable structure and the network topology. Then the issue of optimal resource allocation in a multiuser environment was addressed in the light of the Multiuser Information Theory. Simultaneously active users are in competition for the limited resources that are the power (constrained by electro-magnetic compatibility restrictions) and the bandwidth (in the range of 1 to 10 MHz for outdoor PLC). The concept of multiuser balanced capacity was introduced to characterize the optimal resource allocation providing the maximum data rates with fairness constraints among the subscribers. The optimal PLC system was shown to require the shaping of the signal spectrum in the transmitters, and successive decoding in the receiver. A generic multiple access scheme based on Filter Banks (FB) was proposed, which offers the required spectral shaping with limited degrees of freedom. Classical multiple-access techniques (TDMA, CDMA, OFDMA) can be obtained by selecting the appropriate FB. The Minimum-Mean-Square-Error Decision-Feedback Joint Detector was shown to approach the performance of the optimal successive decoding receiver. Finally, the robustness of the proposed system against channel estimation and timing synchronization errors was addressed. The problem of multiuser timing synchronization was introduced, and practical multiuser timing error detectors were proposed.
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Application of knowledge-based fuzzy inference system on high voltage transmission line maintenance

Mohd Noor, Mohd Junaizee January 2004 (has links)
A majority of utilities conduct maintenance of transmission line components based on the results of routine visual inspection. The inspection is normally done by inspectors who detect defects by visually checking transmission line components either from the air (in helicopters), from the ground (by using high-powered binoculars) or from the top of the structure (by climbing the structure). The main problems with visual inspection of transmission lines are that the determination of the defects varies depending on the inspectors' knowledge and experience and that the defects are often reported qualitatively using vague and linguistic terms such as "medium crack", "heavy rust", "small deflection". As a result of these drawbacks, there is a large variance and inconsistency in defect reporting (which, in time, makes it difficult for the utility to monitor the condition of the components) leading to ineffective or wrong maintenance decisions. The use of inspection guides has not been able to fully address these uncertainties. This thesis reports on the application of a visual inspection methodology that is aimed at addressing the above-mentioned problems. A knowledge-based Fuzzy Inference System (FIS) is designed using Matlab's Fuzzy Logic Toolbox as part of the methodology and its application is demonstrated on utility visual inspection practice of porcelain cap and pin insulators. The FIS consists of expert-specified input membership functions (representing various insulator defect levels), output membership functions (indicating the overall conditions of the insulator) and IF-THEN rules. Consistency in the inspection results is achieved because the condition of the insulator is inferred using the same knowledge-base in the FIS rather than by individual inspectors. The output of the FIS is also used in a mathematical model that is developed to suggest appropriate component replacement date. It is hoped that the methodology that is introduced in this research will help utilities achieve better maintenance management of transmission line assets.
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Efficient radio frequency power amplifiers for wireless communications

Cui, Xian. January 2007 (has links)
Thesis (Ph. D.)--Ohio State University, 2007. / Full text release at OhioLINK's ETD Center delayed at author's request
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Proposta de um algoritmo eficiente para a localização de faltas por relé diferencial numérico para proteção de linhas de transmissão com compensação série controlada por tiristores (TCSC) / Propuesta de un algoritmo eficiente para la localización de fallas por réle diferencial numérico para protección de lineas de transmisión con compensacion serie controlada por tiristores (TCSC)

Taquire, Nelson Romero [UNESP] 21 March 2016 (has links)
Submitted by NELSON GIOVANNY ROMERO TAQUIRE (romero.taquire.nelson@gmail.com) on 2016-05-20T21:35:24Z No. of bitstreams: 1 NelsonGiovannyRomeroTaquire2016.pdf: 3534022 bytes, checksum: 59ecb7956af007830fd18b15c10562c2 (MD5) / Approved for entry into archive by Felipe Augusto Arakaki (arakaki@reitoria.unesp.br) on 2016-05-24T13:42:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 taquire_ngr_me_ilha.pdf: 3534022 bytes, checksum: 59ecb7956af007830fd18b15c10562c2 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-05-24T13:42:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 taquire_ngr_me_ilha.pdf: 3534022 bytes, checksum: 59ecb7956af007830fd18b15c10562c2 (MD5) Previous issue date: 2016-03-21 / Fundação de Ensino, Pesquisa e Extensão de Ilha Solteira (FEPISA) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho propõe-se um método para a localização de faltas que, em conjunto com a lógica de um relé diferencial numérico, deve ser usado para proteção de linhas de transmissão com compensação série controlada por tiristores (TCSC). Este método visa solucionar o problema de localização de faltas melhorando a precisão dos algoritmos que utilizam medições de sinais de tensão e corrente numa terminação da linha de transmissão. O cálculo da distância entre a terminação da linha de transmissão e o ponto de incidência da falta é realizado utilizando dois procedimentos: um para faltas produzida no trecho entre a terminação local da linha de transmissão e o TCSC; e o outro para faltas no trecho entre o TCSC e a terminação remota. A detecção do trecho de incidência da falta é obtido usando as medições de escorregamento angular dos sinais de corrente em ambos os extremos da linha de transmissão e a medição da resistência de falta no extremo local, que é variável durante o intervalo de início até um ciclo depois da ocorrência da falta. A aplicação da lógica difusa na comparação destas medições permite detectar com precisão o trecho com falta. O método proposto foi testado usando um sistema teste da literatura onde múltiplos casos de faltas em diferentes pontos da linha de transmissão foram simulados. Os resultados mostram a capacidade do algoritmo em localizar precisamente a posição de ocorrência da falta. / This paper proposes a methodology for locating faults in transmission lines with thyristor-controlled series compensation (TCSC) that are protected by numerical differential relays. The proposed methodology aims to overcome problems of fault location improving the accuracy of algorithms that use voltage and current measurement signals from a transmission line termination. The calculation of the distance between the transmission line termination and the fault incidence point employs two procedures: one for faults in the transmission line section limited by the local termination and TCSC; and other for faults in the section limited by the TCSC and remote termination. The detection of the fault incidence section is achieved using measurements of angular deviation for both transmission line terminations and the measurement of fault resistance in the local termination, which varies during the interval from the beginning to one cycle after the fault occurrence. The use of fuzzy logic for comparing these measurements permits the accurate detection of the fault incidence section. The proposed method is tested using a test system from literature system where multiple fault cases in different positions of the transmission line are simulated. The results show the algorithm capability to locate accurately the position of fault occurrence.
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Ondas planas e modais em sistemas distribuídos elétricos e mecânicos

Tolfo, Daniela de Rosso January 2017 (has links)
Neste trabalho, são caracterizadas as soluções do tipo ondas planas e modais de modelos matemáticos referentes à teoria de linhas de transmissão, com e sem perdas, e à teoria de vigas, modelo de Timoshenko e modelo não local de Eringen. Os modelos são formulados matricialmente, e as ondas em questão são determinadas em termos da base gerada pela resposta matricial fundamental de sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e quarta ordem. A resposta matricial fundamental é utilizada numa forma fechada que envolve o acoplamento de um número finito de matrizes e uma função escalar geradora e suas derivadas. A função escalar geradora é bem comportada para mudanças em torno de frequências críticas e sua robustez é exibida através da técnica de Liouville. As ondas modais são decompostas em termos de uma parte que viaja para frente e uma parte que viaja para trás. Essa decomposição é utilizada para fornecer matrizes de reflexão e transmissão em descontinuidades e condições de contorno. No contexto das linhas de transmissão são consideradas uma junção de linhas com impedâncias características diferentes ou uma carga em uma extremidade da linha. Na teoria de Timoshenko são consideradas uma fissura ou condições de contorno em uma das extremidades. Exemplos numéricos com descontinuidade são considerados na viga. Na teoria de linhas de transmissão exemplos com multicondutores são considerados e observações são realizadas sobre a decomposição das ondas modais. No modelo não local de Eringen, para vigas bi-apoiadas é discutida a existência do segundo espectro de frequências. / Plane type solutions and modal waves of mathematical models, which refer to transmission lines theory, both lossless and lossy, and to beam theory, using both Timoshenko and nonlocal Eringen models, are being characterized in this work. The models are formulated in matrix form, and the waves are determined in terms of matrix basis generated by fundamental matrix response of systems of ordinary differential equations of first, second and fourth order. The fundamental matrix response is used in the closed-form, which involve the coupling between a number finite of matrices of a generating scalar function and its derivatives. The generating scalar function is well behaved for changes around critical frequencies and its robustness is exhibited through the Liouville technique. Modal waves are decomposed in forward and backward parts. This decomposition is used for providing reflection and transmission matrices when dealing with discontinuities and boundary conditions. In the context of transmission lines junction of lines with different characteristic impedances or a load at one end of the line are being considered. In Timoshenko’s theory the crack problem or boundary conditions at one end are also being considered. Numerical examples with discontinuities are considered in the context of beams. Numerical examples with discontinuities and boundary value problems were approached using modal wave decomposition. In transmission line theory examples with multiconductors are considered and observations are made about decomposition of the modal waves. In the nonlocal of Eringen model, for bi-supported beams, the existence of the second frequency spectrum is discussed.
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Análise dinâmica da ruptura de cabos em torres autoportantes e estaiadas de linhas de transmissão / Dynamic analysis of broken conductor in lattice self-supported and guyed towers of overhead transmission lines

Bentes, Jennefer Lavor January 2013 (has links)
Dentre as possíveis causas na falha da transmissão de energia elétrica, o colapso de torres de linhas de transmissão (LTs) é uma problemática amplamente investigada nas últimas décadas, devido principalmente aos inúmeros acidentes registrados nas LTs em todo o mundo. Neste trabalho, o enfoque é dado à análise dinâmica associada à solicitação proveniente da ruptura de cabos, que quando atuante é capaz de desencadear um fenômeno conhecido como efeito cascata. Para a melhor compreensão da resposta das torres metálicas autoportantes e estaiadas submetidas a esse carregamento dinâmico e buscando contribuir para a determinação de critérios de projeto que visem o estabelecimento adequado de rigidez longitudinal às torres de LTs, foram desenvolvidos modelos numéricos no software ANSYS Mechanical/LS-DYNA, considerando a discretização do modelo estrutural no espaço a partir da utilização do Método de Elementos Finitos e a solução do problema dinâmico ao longo do tempo considerando o método de integração direta implícito das equações de movimento, através do método de Newmark. Inicialmente foram desenvolvidas análises estáticas, conforme considerado nos projetos atualmente. Em seguida, foram desenvolvidos dois tipos de análises dinâmicas: uma simplificada com a aplicação da solicitação através de uma função de carregamento ao longo do tempo, e outra simulada através do desligamento de um elemento finito do condutor. Posteriormente, foram realizadas interpretações e comparações desses resultados. O amortecimento estrutural foi considerado segundo a formulação proposta por Rayleigh e a formação da catenária dos cabos segundo as equações teóricas dadas por Irvine e Caughey. Visando não restringir as respostas a apenas um tipo de trecho simulado, foram desenvolvidos nove modelos numéricos com a variação do tipo de torre analisada, a quantidade de torres por trecho, o nível de amortecimento e o tipo de análise. As respostas dinâmicas são apresentadas em termos da solicitação normal nas barras das estruturas, dos cabos condutores e estais, e dos deslocamentos no topo das torres. / Amidst the main causes of electric energy transmission failure, the collapse of transmission towers is a current research topic in the last decades, due mainly to a huge number of accidents occurring in transmission lines worldwide. In this work, a dynamic analysis was performed associated to the loading due to a broken conductor, which gives rise to a phenomenon known as cascade effect. To better understanding the response of lattice selfsupported and guyed towers under this dynamic load, and in an attempt of determination of criteria for establishment of the longitudinal robustness of transmission line towers, numerical models were developed in the software ANSYS Mechanical/LS-DYNA, considering the discretization of the structural model in space using the finite element method; and the solution of the dynamic problem in the time using the direct integration of the equation of motion, through the Newmark’s method. First, static analyses were performed, accordingly to the considerations of design projects carried out nowadays. Afterwards, two kinds of dynamic analyses were executed: a simplified one, with the applications of the loading using a function in the time and another, which was simulated as a deactivation of a conductor’s finite element. After that, these were submitted to interpretation and comparison among their results. The structural damping was considered in accordance with Rayleigh’s formulation and the catenary of the cables following the equations found by Irvine and Caughey (1974). In order to not restrict the response to one kind of simulation, nine numerical models were developed with the variation of: the kind of tower; the number of towers by line section; the damping level and the type of analysis implemented. The dynamic responses are show in terms of: forces in towers bars; conductors and stays; and the displacements in tower tops.
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Modelagem de um relé de distância em um simulador digital em tempo real.

COSTA, Cecília Alves Buriti da. 04 May 2018 (has links)
Submitted by Emanuel Varela Cardoso (emanuel.varela@ufcg.edu.br) on 2018-05-04T18:35:38Z No. of bitstreams: 1 CECÍLIA ALVES BURITI DA COSTA – DISSERTAÇÃO (PPGEE) 2016.pdf: 2848486 bytes, checksum: eb2cfb57825ecee909a3560f654a3038 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-04T18:35:38Z (GMT). No. of bitstreams: 1 CECÍLIA ALVES BURITI DA COSTA – DISSERTAÇÃO (PPGEE) 2016.pdf: 2848486 bytes, checksum: eb2cfb57825ecee909a3560f654a3038 (MD5) Previous issue date: 2016-08-25 / Capes / Este trabalho apresenta o processo de modelagem de um relé de distância em um simulador digital em tempo real. O modelo inclui: i) as principais funcionalidades da arquitetura de um relé digital, incluindo filtro anti-aliasing e estimação fasorial; ii) as características de operação do tipo mho e quadrilateral, ambas com duas zonas de atuação; iii) a etapa de diagnóstico de falta, que informa as principais características do distúrbio. Para o diagnóstico da falta, foram avaliados métodos de detecção, classificação e localização por meio de simulação em massa de diferentes cenários de falta em uma linha de transmissão. Dos resultados obtidos, os melhores métodos de cada etapa foram escolhidos para compor o relé. Ao final, a atuação e o diagnóstico do relé modelado foram comparados com os resultados fornecidos pelo relé de distância disponível no próprio simulador e por um relé digital real. / This work presents the modeling process of a distance relay in a real-time digital simulator. The model contains: i) the main features of a digital relay architecture, including anti-aliasing filter and phasor estimation; ii) mho and quadrilateral operating characteristics, with two protection zones; iii) fault diagnosis, which informs the main features of the disturbance. For the fault diagnosis, detection, classification and location methods were evaluated using batch mode simulation of different fault scenarios in a transmission line. From the obtained results, the best methods were selected to be part of the modeled relay. At the end, the operation and diagnosis of the modeled relay were compared with the results presented by the distance relay model provided by the simulator manufacturer and by a digital relay.
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Localiza??o de faltas em linhas de transmiss?o de m?ltiplos terminais a partir de registros oscilogr?ficos sincronizados via transformada wavelet

Cruz, Melinda Cesianara Silva da 06 August 2010 (has links)
Made available in DSpace on 2014-12-17T14:55:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 MelindaCSC_DISSERT.pdf: 967257 bytes, checksum: 22530a2989a1b62dc6a9df7bffa70ed3 (MD5) Previous issue date: 2010-08-06 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / The electric energy is essential to the development of modern society and its increasing demand in recent years, effect from population and economic growth, becomes the companies more interested in the quality and continuity of supply, factors regulated by ANEEL (Ag?ncia Nacional de Energia El?trica). These factors must be attended when a permanent fault occurs in the system, where the defect location that caused the power interruption should be identified quickly, which is not a simple assignment because the current systems complexity. An example of this occurs in multiple terminals transmission lines, which interconnect existing circuits to feed the demand. These transmission lines have been adopted as a feasible solution to suply loads of magnitudes that do not justify economically the construction of new substations. This paper presents a fault location algorithm for multiple terminals transmission lines - two and three terminals. The location method is based on the use of voltage and current fundamental phasors, as well as the representation of the line through its series impedance. The wavelet transform is an effective mathematical tool in signals analysis with discontinuities and, therefore, is used to synchronize voltage and current data. The Fourier transform is another tool used in this work for extract voltage and current fundamental phasors. Tests to validate the location algorithm applicability used data from faulty signals simulated in ATP (Alternative Transients Program) as well as real data obtained from oscillographic recorders installed on CHESF s lines. / A energia el?trica ? indispens?vel para o desenvolvimento da sociedade moderna e sua crescente demanda nos ?ltimos anos, fruto dos crescimentos populacional e econ?mico, fez com que as concession?rias se tornassem mais comprometidas com a qualidade e a continuidade do fornecimento, fatores que s?o regulamentados pela ANEEL (Ag?ncia Nacional de Energia El?trica). Para que esses fatores sejam atendidos quando ocorre uma falta permanente no sistema, faz-se necess?ria, primeiramente, uma r?pida localiza??o do defeito causador da interrup??o da energia, o que n?o ? uma tarefa t?o simples devido ? complexidade dos sistemas atuais. Um exemplo disso ocorre nas linhas de transmiss?o com m?ltiplos terminais, que interligam circuitos existentes com objetivo de atender ? demanda. Nestas linhas, deriva??es para atender a cargas de porte que n?o justificam economicamente a constru??o de novas subesta??es s?o adotadas como medidas vi?veis para aliviar outros circuitos. Este trabalho prop?e um algoritmo de localiza??o de faltas que ? aplicado em linhas de transmiss?o com m?ltiplos terminais dois e tr?s terminais. O m?todo de localiza??o baseia-se no uso de fasores fundamentais de tens?o e corrente, bem como na representa??o da linha atrav?s de sua imped?ncia s?rie. A Transformada Wavelet ? uma ferramenta matem?tica eficaz na an?lise de descontinuidades de sinais e, por este motivo, ? utilizada na sincroniza??o dos dados de tens?o e corrente oriundos de faltas. A transformada de Fourier ? outra ferramenta utilizada neste trabalho para extra??o dos fasores fundamentais de tens?o e corrente. Para testar e validar a aplicabilidade do algoritmo de localiza??o, utilizaram-se dados de sinais faltosos simulados no ATP (Alternative Transients Program) e tamb?m dados reais obtidos de registradores oscilogr?ficos instalados em linhas da CHESF.
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Ondas planas e modais em sistemas distribuídos elétricos e mecânicos

Tolfo, Daniela de Rosso January 2017 (has links)
Neste trabalho, são caracterizadas as soluções do tipo ondas planas e modais de modelos matemáticos referentes à teoria de linhas de transmissão, com e sem perdas, e à teoria de vigas, modelo de Timoshenko e modelo não local de Eringen. Os modelos são formulados matricialmente, e as ondas em questão são determinadas em termos da base gerada pela resposta matricial fundamental de sistemas de equações diferenciais ordinárias de primeira, segunda e quarta ordem. A resposta matricial fundamental é utilizada numa forma fechada que envolve o acoplamento de um número finito de matrizes e uma função escalar geradora e suas derivadas. A função escalar geradora é bem comportada para mudanças em torno de frequências críticas e sua robustez é exibida através da técnica de Liouville. As ondas modais são decompostas em termos de uma parte que viaja para frente e uma parte que viaja para trás. Essa decomposição é utilizada para fornecer matrizes de reflexão e transmissão em descontinuidades e condições de contorno. No contexto das linhas de transmissão são consideradas uma junção de linhas com impedâncias características diferentes ou uma carga em uma extremidade da linha. Na teoria de Timoshenko são consideradas uma fissura ou condições de contorno em uma das extremidades. Exemplos numéricos com descontinuidade são considerados na viga. Na teoria de linhas de transmissão exemplos com multicondutores são considerados e observações são realizadas sobre a decomposição das ondas modais. No modelo não local de Eringen, para vigas bi-apoiadas é discutida a existência do segundo espectro de frequências. / Plane type solutions and modal waves of mathematical models, which refer to transmission lines theory, both lossless and lossy, and to beam theory, using both Timoshenko and nonlocal Eringen models, are being characterized in this work. The models are formulated in matrix form, and the waves are determined in terms of matrix basis generated by fundamental matrix response of systems of ordinary differential equations of first, second and fourth order. The fundamental matrix response is used in the closed-form, which involve the coupling between a number finite of matrices of a generating scalar function and its derivatives. The generating scalar function is well behaved for changes around critical frequencies and its robustness is exhibited through the Liouville technique. Modal waves are decomposed in forward and backward parts. This decomposition is used for providing reflection and transmission matrices when dealing with discontinuities and boundary conditions. In the context of transmission lines junction of lines with different characteristic impedances or a load at one end of the line are being considered. In Timoshenko’s theory the crack problem or boundary conditions at one end are also being considered. Numerical examples with discontinuities are considered in the context of beams. Numerical examples with discontinuities and boundary value problems were approached using modal wave decomposition. In transmission line theory examples with multiconductors are considered and observations are made about decomposition of the modal waves. In the nonlocal of Eringen model, for bi-supported beams, the existence of the second frequency spectrum is discussed.

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