Le texte est reparti comme suit : Dans le premier chapitre, nous rappelons le lemme de Schwarz-Pick, le théorème d'uniformisation, le théorème d'Ascoli et de Weierstrass et de Hurwitz, le domaine d'homolorphie, variété taut. Dans le deuxiéme chapitre, nous énoncerons la définition et des propriétés sur l'hyperbolicité au sens de Kobayashi sur une variété complexe, ainsi que les théorèmes de prolongements du type grand théorème de Picard dû à Kwak et Kiernan, et nous établissons que si la courbure sectionelle d'une variété hermitienne est bornée par une constante négative alors la variété est hyperbolique au sens de Kobayashi. Enfin, nous traiterons la description de la métrique et la relation avec le volume. Dans le troisième chapitre, nous étudions le concept d'hyperbolicité au sens de Brody sur une variété complexe et ses applications. Dans le quatrième chapitre je discute la propriété de Landeau-Shottky et la fonction de Bloch.

Étant donnée une structure presque-complexe J sur une variété réelle de dimension paire, nous nous posons la question si J est localement calibrable, c'est à dire s'il existe localement une forme symplectique compatible avec J dans le sens que ω(∙, J ) définit une métrique riemannienne J-invariante. Dans ce contexte, A. Tomassini a donné des exemples explicites de structures presque-complexes en dimension 4 et 6 qui ne peuvent être calibrées localement par aucune forme symplectique. Ceux en dimension 4 vont s'avérer incorrects. Aussi, G. Tian et T. Rivière ont montré, avec un argument incomplet, qu'une structure presque-complexe en dimension 4 est toujours localement calibrable. J. Armstrong a affirmé la même chose sans donner de preuve. Nous allons examiner ces constats et donner une preuve complète du fait que toute structure presque-complexe en dimension 4 est localement calibrable. Aussi, nous montrons qu'une structure presque-complexe sur une variété strictement approximativement kählérienne, en particulier S6 avec sa structure presque-complexe canonique, ne peut être calibrée localement par aucune forme symplectique. Finalement, nous rappelerons le théorème d'Armstrong qui affirme que ce ne sont pas toutes les structures presque-complexes en dimension supérieure ou égale à 12 qui peuvent être calibrées localement par une forme symplectique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Structures presque-complexes, Variétés presque-kählériennes, Variétés approximativement kählériennes.

En 1976, S.T. Yau a observé que la métrique de Kähler-Einstein pouvait être employée pour régler des questions importantes dans la géométrie algébrique. Une des affirmations importantes était l'inégalité entre les nombres de Chern des variétés algébriques. Pour une surface algébrique, S.T.Yau a prouvé 3c₂(M) ≥ c₁²(M), une inégalité prouvée indépendamment par Miyaoka employant des techniques algébriques. De plus, S.T. Yau a montré que l'égalité tenait seulement si la courbure sectionnelle holomorphe de M est constante. Nous allons examiner au chapitre un la preuve de ST. Yau de l'inégalité ci-dessus en utilisant une approche géométrique différentielle et au chapitre deux la preuve de Y. Miyaoka de l'inégalité à l'aide des outils de la géométrie algébrique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Surfaces algébriques de type générale, Variétés Kähler-Einstein, Inégalité de Miyaoka-Yau.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une $(1,1)$-forme réelle fermée $\alpha$ (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension $n$, nous construisons une suite (indexée par $k$) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent $k\alpha$. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de $\alpha^n$ au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente que si cette dernière intégrale est strictement positive.