La séparation aveugle de sources aveugle (BSS) est une technique d’estimation des différents signaux observés au travers de leurs mélanges à l’aide de plusieurs capteurs, lorsque le mélange et les signaux sont inconnus. Bien qu’il ait été démontré mathématiquement que pour des mélanges linéaires, sous des conditions faibles, des sources mutuellement indépendantes peuvent être estimées, il n’existe dans de résultats théoriques généraux dans le cas de mélanges non-linéaires. La littérature sur ce sujet est limitée à des résultats concernant des mélanges non linéaires spécifiques.Dans la présente étude, le problème est abordé en utilisant une nouvelle approche utilisant l’information temporelle des signaux. L’idée originale conduisant à ce résultat, est d’étudier le problème de mélanges linéaires, mais variant dans le temps, déduit du problème non linéaire initial par dérivation. Il est démontré que les contre-exemples déjà présentés, démontrant l’inefficacité de l’analyse par composants indépendants (ACI) pour les mélanges non-linéaires, perdent leur validité, considérant l’indépendance au sens des processus stochastiques, au lieu de l’indépendance au sens des variables aléatoires. Sur la base de cette approche, de bons résultats théoriques et des développements algorithmiques sont fournis. Bien que ces réalisations ne soient pas considérées comme une preuve mathématique de la séparabilité des mélanges non-linéaires, il est démontré que, compte tenu de quelques hypothèses satisfaites dans la plupart des applications pratiques, elles sont séparables.De plus, les BSS non-linéaires pour deux ensembles utiles de signaux sources sont également traités, lorsque les sources sont (1) spatialement parcimonieuses, ou (2) des processus Gaussiens. Des méthodes BSS particulières sont proposées pour ces deux cas, dont chacun a été largement étudié dans la littérature qui correspond à des propriétés réalistes pour de nombreuses applications pratiques.Dans le cas de processus Gaussiens, il est démontré que toutes les applications non-linéaires ne peuvent pas préserver la gaussianité de l’entrée, cependant, si on restreint l’étude aux fonctions polynomiales, la seule fonction préservant le caractère gaussiens des processus (signaux) est la fonction linéaire. Cette idée est utilisée pour proposer un algorithme de linéarisation qui, en cascade par une méthode BSS linéaire classique, sépare les mélanges polynomiaux de processus Gaussiens.En ce qui concerne les sources parcimonieuses, on montre qu’elles constituent des variétés distinctes dans l’espaces des observations et peuvent être séparées une fois que les variétés sont apprises. À cette fin, plusieurs problèmes d’apprentissage multiple ont été généralement étudiés, dont les résultats ne se limitent pas au cadre proposé du SRS et peuvent être utilisés dans d’autres domaines nécessitant un problème similaire. / Blind Source Separation (BSS) is a technique for estimating individual source components from their mixtures at multiple sensors, where the mixing model is unknown. Although it has been mathematically shown that for linear mixtures, under mild conditions, mutually independent sources can be reconstructed up to accepted ambiguities, there is not such theoretical basis for general nonlinear models. This is why there are relatively few results in the literature in this regard in the recent decades, which are focused on specific structured nonlinearities.In the present study, the problem is tackled using a novel approach utilizing temporal information of the signals. The original idea followed in this purpose is to study a linear time-varying source separation problem deduced from the initial nonlinear problem by derivations. It is shown that already-proposed counter-examples showing inefficiency of Independent Component Analysis (ICA) for nonlinear mixtures, loose their validity, considering independence in the sense of stochastic processes instead of simple random variables. Based on this approach, both nice theoretical results and algorithmic developments are provided. Even though these achievements are not claimed to be a mathematical proof for the separability of nonlinear mixtures, it is shown that given a few assumptions, which are satisfied in most practical applications, they are separable.Moreover, nonlinear BSS for two useful sets of source signals is also addressed: (1) spatially sparse sources and (2) Gaussian processes. Distinct BSS methods are proposed for these two cases, each of which has been widely studied in the literature and has been shown to be quite beneficial in modeling many practical applications.Concerning Gaussian processes, it is demonstrated that not all nonlinear mappings can preserve Gaussianity of the input. For example being restricted to polynomial functions, the only Gaussianity-preserving function is linear. This idea is utilized for proposing a linearizing algorithm which, cascaded by a conventional linear BSS method, separates polynomial mixturesof Gaussian processes.Concerning spatially sparse sources, it is shown that spatially sparsesources make manifolds in the observations space, and can be separated once the manifolds are clustered and learned. For this purpose, multiple manifold learning problem has been generally studied, whose results are not limited to the proposed BSS framework and can be employed in other topics requiring a similar issue.

Au début du XXème siècle, Poincaré puis Birkhoff ont été amenés, lors de leur recherche sur le problème restreint des trois corps, à étudier les courbes invariantes par une transformation d’une surface préservant l’aire. Cinquante ans plus tard, les théorèmes KAM démontrent la persistance de courbes invariantes après perturbation en topologie de classe k plus grande ou égale à trois. On peut alors se demander ce que devient ce résultat en topologie de classe moins élevée. Par ailleurs, l’étude des dynamiques C1-génériques connaît de nombreux développements, grâce notamment au Connecting Lemma. Par exemple, Bonatti et Crovisier on démontré qu’un difféomorphisme C1-générique d’une telle surface possède un ensemble dense de points dont l’orbite sort de tout compact. Ces deux résultats permettent de penser qu’un difféomorphisme C1-générique d’une surface n’admet pas de courbes fermées simples invariantes. C’est ce que nous démontrons dans ce travail. On obtient assez facilement, en utilisant le Connecting Lemma ainsi que les propriétés topologiques de l’anneau, qu’un difféomorphisme C1-générique de l’anneau possède des points périodiques sur toute courbe fermée simple invariante. Cela se généralise à une surface quelconque en utilisant une famille dénombrable d’anneau constituant une base de voisinages d’une courbe fermée simple quelconque. La construction d’une telle famille d’anneaux est le principal résultat du premier chapitre. Il s’agit alors de supprimer les points périodiques sur les courbes invariantes. Dans un premier temps, nous nous inspirerons d’un argument qu’Herman utilise dans le cadre de courbes invariantes par les twists de l’anneau pour montrer que tous les points périodiques ne peuvent être hyperboliques. Ensuite, nous définissons une propriété, la propriété G, qui si elle est vérifiée par un difféomorphisme symplectique et l’un de ses points périodiques elliptiques, empêche que ce point périodique appartienne à une courbe invariante. En montrant que cette propriété est vérifiée par un difféomorphisme C1-générique et tous ses points périodiques elliptiques, nous obtenons le résultat souhaité. Dans le quatrième chapitre, nous nous employons à définir de façon rigoureuse la notion de fonction génératrice qui est l’outil classique pour perturber des difféomorphismes symplectiques / Poincaré and Birkhoff were led, during their research on the restricted problem of three bodies, to study invariant curves under an area preserving map of a surface. Fifty years later, theorems KAM show the persistance of invariant curves in topology Ck with k greater or equal to three. What becomes this result in topology class lower. Moreover, the study of C1-generic dynamics knows many developments particulary through the Connecting Lemma. For example, Bonatti and Crovisier showed a C1-generic symplectic diffeomorphism of a compact surface is transitive. What they have adapted with M.-C. Arnaud to a non compact surface : a C1-generic symplectic diffeomorphism of a non compact surface has a dense set of points whose orbit leaves every compacts. These two results suggest a such application has not an invariant simple closed curve. The proof of this result is the aim of this work. We obtain, using the Connecting Lemma, a C1-generic symplectic diffeomorphism has periodic points on all the invariant curves. Then, deleting the periodic points from the invariant curves is the challenge. At first, we use an argument that Herman used in the context of curves invariant by a twist of annulus, to show that all periodic points cannot be hyperbolic. Then, we define a property, the property G, which, if it is verified by a symplectic diffeomorphism and one of its periodic elliptic points, prevents this periodic point belongs to an invariant curve. By showing that property is verified by a C1-generic symplectic diffeomorphism, we obtain the desired result. In the fourth chapter, we explain how to pertube a symplectic diffeomorphism with generating functions

Cette thèse a pour objet l'analyse statistique de formes, dans le contexte de l'imagerie médicale.Dans le champ de l'imagerie médicale, l'analyse de formes est utilisée pour décrire la variabilité morphologique de divers organes et tissus. Nous nous focalisons dans cette thèse sur la construction d'un modèle génératif et discriminatif, compact et non-linéaire, adapté à la représentation de formes.Ce modèle est évalué dans le contexte de l'étude d'une population de patients atteints de la maladie d'Alzheimer et d'une population de sujets contrôles sains. Notre intérêt principal ici est l'utilisationdu modèle discriminatif pour découvrir les différences morphologiques les plus discriminatives entre une classe de formes donnée et des formes n'appartenant pas à cette classe. L'innovation théorique apportée par notre modèle réside en deux points principaux : premièrement, nous proposons un outil pour extraire la différence discriminative dans le cadre Support Vector Data Description (SVDD) ; deuxièmement, toutes les reconstructions générées sont anatomiquementcorrectes. Ce dernier point est dû au caractère non-linéaire et compact du modèle, lié à l'hypothèse que les données (les formes) se trouvent sur une variété non-linéaire de dimension faible. Une application de notre modèle à des données médicales réelles montre des résultats cohérents avec les connaissances médicales. / This thesis addresses statistical shape analysis, in the context of medical imaging. In the field of medical imaging, shape analysis is used to describe the morphological variability of various organs and tissues. Our focus in this thesis is on the construction of a generative and discriminative, compact and non-linear model, suitable to the representation of shapes. This model is evaluated in the context of the study of a population of Alzheimer's disease patients and a population of healthy controls. Our principal interest here is using the discriminative model to discover morphological differences that are the most characteristic and discriminate best between a given shape class and forms not belonging in that class. The theoretical innovation of our work lies in two principal points first, we propose a tool to extract discriminative difference in the context of the Support Vector Data description (SVDD) framework ; second, all generated reconstructions are anatomicallycorrect. This latter point is due to the non-linear and compact character of the model, related to the hypothesis that the data (the shapes) lie on a low-dimensional, non-linear manifold. The application of our model on real medical data shows results coherent with well-known findings in related research.

Les travaux de cette thèse sont regroupés en trois grandes parties traitant respectivement-des ondes stationnaires des systèmes de Schr"odinger-Maxwell-Proca et de Klein-Gordon-Maxwell-Proca sur une variété riemannienne fermée (compacte sans bord dans toute la thèse),-de systèmes elliptiques de Kirchhoff sur une variété riemannienne fermée,-de phénomènes d'explosion propres aux petites dimensions. / This thesis, divided into three main parts, deals with-standing waves for Schrödinger-Maxwell-Proca and Klein-Gordon-Maxwell-Proca systems on a closed Riemannian manifold (compact without boundary during all the thesis),-elliptic Kirchhoff systems on a closed manifold,-low-dimensional blow-up phenomena.

L’apprentissage statistique cherche à modéliser un lien fonctionnel entre deux variables X et Y à partir d’un échantillon aléatoire de réalisations de (X,Y ). Lorsque la variable Y prend un nombre binaire de valeurs, l’apprentissage s’appelle la classification (ou discrimination en français) et apprendre le lien fonctionnel s’apparente à apprendre la frontière d’une variété dans l’espace de la variable X. Dans cette thèse, nous nous plaçons dans le contexte de l’apprentissage actif, i.e. nous supposons que l’échantillon d’apprentissage n’est plus aléatoire et que nous pouvons, par l’intermédiaire d’un oracle, générer les points sur lesquels l’apprentissage de la variété va s’effectuer. Dans le cas où la variable Y est continue (régression), des travaux précédents montrent que le critère de la faible discrépance pour générer les premiers points d’apprentissage est adéquat. Nous montrons, de manière surprenante, que ces résultats ne peuvent pas être transférés à la classification. Dans ce manuscrit, nous proposons alors le critère de la dispersion pour la classification. Ce critère étant difficile à mettre en pratique, nous proposons un nouvel algorithme pour générer un plan d’expérience à faible dispersion dans le carré unité. Après une première approximation de la variété, des approximations successives peuvent être réalisées afin d’affiner la connaissance de celle-ci. Deux méthodes d’échantillonnage sont alors envisageables : le « selective sampling » qui choisit les points à présenter à un oracle parmi un ensemble fini de candidats et l’« adaptative sampling » qui permet de choisir n’importe quels points de l’espace de la variable X. Le deuxième échantillonnage peut être vu comme un passage à la limite du premier. Néanmoins, en pratique, il n’est pas raisonnable d’utiliser cette méthode. Nous proposons alors un nouvel algorithme basé sur le critère de dispersion, menant de front exploitation et exploration, pour approximer une variété. / Statistical learning aims to modelize a functional link between two variables X and Y thanks to a random sample of realizations of the couple (X,Y ). When the variable Y takes a binary number of values, learning is named classification and learn the functional link is equivalent to learn the boundary of a manifold in the feature space of the variable X. In this PhD thesis, we are placed in the context of active learning, i.e. we suppose that learning sample is not random and that we can, thanks to an oracle, generate points for learning the manifold. In the case where the variable Y is continue (regression), previous works show that criterion of low discrepacy to generate learning points is adequat. We show that, surprisingly, this result cannot be transfered to classification talks. In this PhD thesis, we propose the criterion of dispersion for classification problems. This criterion being difficult to realize, we propose a new algorithm to generate low dispersion samples in the unit cube. After a first approximation of the manifold, successive approximations can be realized in order to refine its knowledge. Two methods of sampling are possible : the « selective sampling » which selects points to present to the oracle in a finite set of candidate points, and the « adaptative sampling » which allows to select any point in the feature space of the variable X. The second sampling can be viewed as the infinite limit of the first. Nevertheless, in practice, it is not reasonable to use this method. Then, we propose a new algorithm, based on dispersion criterion, leading both exploration and exploitation to approximate a manifold.

Au cours des dernières décennies, l’étude de la dynamique autour des points de Lagrange des systèmes Terre-Lune (EMLi) et Terre-Soleil (SELi) a ouvert de nouvelles possibilités pour les orbites et les transferts spatiaux. Souvent modélisés comme des Problèmes à Trois Corps (CR3BP) distincts, ces deux systèmes ont également été combinés pour produire des trajectoiresà faible coût dans le système Terre-Lune-Soleil étendu. Cette approximation (PACR3BP) a permis de mettre en évidence un réseau à faible énergie de trajectoires (LEN) qui relie la Terre, la Lune, EML1,2 et SEL1,2. Cependant, pour chaque trajectoire calculée, le PACR3BP nécessite une connexion arbitraire entre les CR3BPs, ce qui complique son utilisation systématique. Cette thèse vise à mettre en place une modélisation à quatre corps non autonome pour l’étude du LEN basé sur un système Hamiltonien périodique cohérent, le Problème Quasi-Bicirculaire (QBCP). Tout d’abord, la Méthode de Paramétrisation est appliquée afin d’obtenir une représentation semi-analytique des variétés invariantes autour de chaque point de Lagrange. Une recherche systématique de connexions EML1,2-SEL1,2 peut alors être effectuée dans l’espace des paramètres : les conditions initiales sur la variété centrale-instable de EML1,2 sont propagées et les trajectoires résultantes sont projetées sur la variété centrale de SEL1,2 . Un transfert est détecté lorsque la distance de projection est proche de zéro. Les familles de transfert obtenues sont corrigées dans un modèle newtonien haute-fidélité du système solaire. La structure globale des connections est largement préservée et valide l’utilisation du QBCP comme modèle de base du LEN. / In recent decades, the dynamics about the libration points of the Sun-Earth (SELi) and Earth-Moon (EMLi ) systems have been increasingly studied and used, both in terms of transfer trajectory computation and nominal orbit design. Often seen as two distinct Circular Restricted Three Body Problems (CR3BP), both systems have also been combined to produce efficient transfers in the Sun-Earth-Moon system. This patched CR3BP approximation (PACR3BP) allowed to uncover a low-energy network (LEN) of trajectories that interconnect the Earth, the Moon, EML1,2 and SEL1,2 . However, for every computed trajectory, the PACR3BP requires an arbitrary connection between the CR3BPs, which limits its use in a systematic tool. This thesis introduces a single non-autonomous four-body framework for the study of the LEN based on a coherent periodically-forced Hamiltonian system, the Quasi-Bicircular Problem (QBCP). First, the Parameterization Method is applied in order to obtain high-order, periodic, semi-analytical parameterizations of the invariant manifolds about each libration point. A systematic search for EML1,2 -SEL1,2 connections can then be performed in the parameterization space: initial conditions on the center-unstable manifold at EML1,2 are propagated and projected on the center manifold at SEL1,2. A transfer is found each time that the distance of projection is close to zero. These trajectories are refined as solutions of a Boundary Value Problem, which uncover families of natural transfers, later transitioned into a higher-fidelity model. The global structure of the connecting orbits is largely preserved, which validates the QBCP as a relevant model for the LEN.

L’objectif de ce travail est d’établir des modèles de comportement mécaniques pour les matériaux en grandes déformations. Au lieu des approches classiques en 3D dans lesquelles la notion d'objectivité est ambigüe et pour lesquelles différentes dérivées objectives sont utilisées arbitrairement, le formalisme quadridimensionnel dérivé des théories de la Relativité est appliqué. En 4D, les deux aspects de la notion d’objectivité, l’indépendance du référentiel (ou covariance) et l’invariance à la superposition de mouvement de corps rigide, peuvent désormais être distinguées. En outre, l’utilisation du formalisme 4D assure la covariance des modèles. Pour les modèles incrémentaux, la dérivée de Lie est choisie permettant une variation totale par rapport au temps, tout en étant à la fois covariante et invariante à la superposition des mouvements de corps rigide. Dans ce formalisme 4D, nous proposons également un cadre thermodynamique en 4D pour développer des modèles de comportement en 4D tels que l’hyperélasticité, l’élasticité anisotrope, l’hypoélasticité et l’élastoplasticité. Ensuite, les projections en 3D sont obtenus à partir des modèles en 4D et étudiés en les testant sur des simulations numériques par éléments finis avec le logiciel Zset / The objective of this work is to establish mechanical constitutive models for materials undergoing large deformations. Instead of the classical 3D approaches in which the notion of objectivity is ambiguous and different objective transports may be arbitrarily used, the four-dimensional formalism derived from the theories of Relativity is applied. Within a 4D formalism, the two aspects of notion of objectivity: frame-indifference (or covariance) and invariance to the superposition of rigid body motions can now be distinguished. Besides, the use of this 4D formalism ensures the covariance of the models. For rate-form models, the Lie derivative is chosen as a total time derivative, which is also covariant and invariant to the superposition of rigid body motions. Within the 4D formalism, we also propose a framework using the 4D thermodynamic to develop 4D constitutive models for hyperelasticity, anisotropic elasticity, hypoelasticity and elastoplasticity. Then, 3D models are derived from 4D models and studied by applying them in numerical simulations with finite element methods using the software Zset

Dans un contexte de foisonnement des circuits courts de proximité, les enjeux de qualité invitent à déplacer la focale géographique, de produits spécifiques caractérisés par leur origine vers des produits ordinaires caractérisés par leur provenance. Se pose alors la question des modalités d’attachement de ces produits ordinaires aux milieux géographiques. À la fois aliments du quotidien et éléments de matériel végétal communs, les pommes et les pommes de terre permettent d’aborder les enjeux de reconnexion entre agriculture et alimentation autour de la notion de système agri-alimentaire territorial. Sur trois espaces de moyenne montagne – en France (Ardèche, Bauges) et en Italie (Ligurie) – cette thèse propose une analyse des trajectoires de dix collectifs passant par des phases de controverses qui les conduisent à se tourner vers des dispositifs de qualification plus souples que les indications géographiques. Conservant des logiques d’enracinement inspirées d’une rhétorique du terroir, ils ne versent pas pour autant dans le modèle des circuits courts de proximité, et maintiennent pour la plupart la question variétale au cœur de leurs préoccupations. La thèse montre que cette dernière ne peut être traitée à l’échelle des territoires qu’à condition d’envisager la production alimentaire de manière intégrée, c’est-à-dire en impliquant une diversité d’acteurs, capables de concevoir dans un même mouvement différentes étapes de qualification, de la gestion du matériel végétal à la consommation des aliments. L’émergence et la viabilisation de tels systèmes agri-alimentaires territoriaux ouvrent des débats politiques, et posent la question des modalités de l’action publique pour favoriser de tels dispositifs, dont on observe qu’ils tiennent principalement à des figures individuelles et à des lieux de médiation. / In a context of proliferation of short supply chains, issues of quality invite a shift in geographical focus, moving from specific products characterized by their origin to ordinary products characterized by their provenance. This shift raises the question of the modalities of attachment that these common products have to geographical areas. Everyday foods and common plant materials such as apples and potatoes allow for particular discussion around the issues concerning the reconnection of agriculture and food, specifically around the concept of territorial agri-food systems. Looking at three medium mountain areas - in France (Ardèche, Bauges) and Italy (Liguria) - this thesis proposes an analysis of the trajectories of ten different food collectives through the varying phases of controversy that are driving them towards qualification devices which are more flexible than purely geographical indications. Maintaining the logic of 'rooting', inspired by a territorial rhetoric, the collectives do not fall into the short supply chains model, and maintain, for the most part, the varietal question at the heart of their concerns. This thesis shows that this varietal question can only be treated at the territorial level if we consider the production of food as integrated. That is to say, involving a variety of stakeholders, capable of designing various stages of qualification in the same movement, from plant material management to food consumption. The emergence and realizable qualities of these territorial agri-food systems incite political debate, and raise the question of the public action modalities to promote these devices, which we notice are mainly due to individuals and places of mediation.

En médecine, les analyses de population à grande échelle ont pour but d’obtenir des informations statistiques pour mieux comprendre des maladies, identifier leurs facteurs de risque, développer des traitements préventifs et curatifs et améliorer la qualité de vie des patients.Dans cette thèse, nous présentons d’abord le contexte médical de la maladie d’Alzheimer, rappelons certains concepts d’apprentissage statistique et difficultés rencontrées lors de l’application en imagerie médicale. Dans la deuxième partie,nous nous intéressons aux analyses transversales, c-a-d ayant un seul point temporel.Nous présentons une méthode efficace basée sur les séparateurs à vaste marge (SVM)permettant de classifier des lésions dans la matière blanche. Ensuite, nous étudions les techniques d’apprentissage de variétés pour l’analyse de formes et d’images, et présentons deux extensions des Laplacian eigenmaps améliorant la représentation de patients en faible dimension grâce à la combinaison de données d’imagerie et cliniques. Dans la troisième partie, nous nous intéressons aux analyses longitudinales, c-a-d entre plusieurs points temporels. Nous quantifions les déformations des hippocampus de patients via le modèle des larges déformations par difféomorphismes pour classifier les évolutions de la maladie. Nous introduisons de nouvelles stratégies et des régularisations spatiales pour la classification et l’identification de marqueurs biologiques. / In medicine, large scale population analysis aim to obtain statistical information in order to understand better diseases, identify their risk factors, develop preventive and curative treatments and improve the quality of life of the patients.In this thesis, we first introduce the medical context of Alzheimer’s disease, recall some concepts of statistical learning and the challenges that typically occurwhen applied in medical imaging. The second part focus on cross-sectional studies,i.e. at a single time point. We present an efficient method to classify white matter lesions based on support vector machines. Then we discuss the use of manifoldlearning techniques for image and shape analysis. Finally, we present extensions ofLaplacian eigenmaps to improve the low-dimension representations of patients usingthe combination of imaging and clinical data. The third part focus on longitudinalstudies, i.e. between several time points. We quantify the hippocampus deformations of patients via the large deformation diffeomorphic metric mapping frameworkto build disease progression classifiers. We introduce novel strategies and spatialregularizations for the classification and identification of biomarkers.

Soit R un anneau de valuation discrète de corps de fractions K. Soit X_K un K- schéma propre géométriquement normal. On montre que X_K possède des modèles X sur R, propres, plats, normaux et tels que tout faisceau inversible sur X_K se prolonge en un faisceau inversible sur X. On peut alors reconstruire le modèle de Néron de la variété de Picard de X_K, à partir du foncteur de Picard de X/R.Lorsque R est hensélien à corps résiduel algébriquement clos, on en tire des informations sur le prolongement de l’équivalence algébrique de X_K à X. En particulier, on peut décrire le symbole de Néron entre 0-cycles de degré zéro et diviseurs algébriquement équivalents à zéro sur X_K, en termes de multiplicités d’intersection sur le modèle X. Ceci nous permet de reformuler la conjecture de dualité de Grothendieck pour les modèles de Néron des variétés abéliennes, en termes d’équivalence algébrique relative. / Let R be a discrete valuation ring with fraction field K. Let X_K be proper geometrically normal scheme over K. One shows that X_K admits models X over R which are proper, flat, normal an such that any invertible sheaf on X_K can be extended to an invertible sheaf on X. Then, one can recover the Néron model of the Picard variety of X_K from the Picard functor of X/R.When R is henselian with algebraically closed residue field, one obtains some consequences about the extension of algebraic equivalence from X_K to X. In particular, one can describe the Néron symbol between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero on X_K, in terms of intersection multiplicities on the model X. This allows us to reformulate Grothendieck’s duality conjecture for Néron models of abelian varieties, in terms of relative algebraic equivalence.