Depuis le début du vingtième siècle, l'usage des matériaux sous la forme de plaques et de poutres s'est considérablement développé jusqu'à nos jours que ce soit dans l'industrie automobile, la construction, et plus récemment en aéronautique. Pourtant une des difficultés dans l’étude du comportement de ces structures réside essentiellement dans leur caractère hétérogène. L'utilisation de méthodes numériques classiques pour estimer les constantes élastiques globales des structures multicouches et hétérogènes est coûteuse en temps de calcul C'est pourquoi de nombreuses méthodes simplifiées ont vu le jour, notamment quand la taille de l'hétérogénéité est petite devant les dimensions caractéristiques de la structure. Dans ce cas cette dernière peut être perçue comme un milieu continu homogène et des méthodes d'homogénéisation peuvent donc très utilisées. En revanche, il existe des structures hétérogènes pour lesquelles la taille de l'hétérogénéité est du même ordre que l'épaisseur. Dans ce cas l'utilisation des méthodes d'homogénéisation n'est plus appropriée. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques nouvelles méthodes pour l'estimation des propriétés effectives des plaques hétérogènes. Nous proposons dans la première partie un modèle de plaque basé sur la théorie de déformation en cisaillement de premier ordre pour les matériaux fonctionnellement gradués où les coefficients de correction de cisaillement sont identifiés. Dans la deuxième partie, nous proposons une nouvelle méthode numérique pour calculer des propriétés élastiques effectives des plaques hétérogènes périodiques. La méthode est basée sur un nouvel opérateur de Green pour les milieux périodiques avec des conditions aux limites de bord libre, un procédé itératif et la Transformée de Fourier Rapide. Une étude de l’effet d’échelle des plaques hétérogènes est également effectuée. Le résultat obtenu montre que cet effet est faible / From the beginning of the twentieth century, the use of materials in the form of plates and beams has grown until today, especially in the automobile industry, construction, and more recently in aeronautics. However one of the difficulties of studying the mechanical behavior of these structures consists of its heterogeneous nature. Using conventional numerical methods for estimating the global elastic constants of heterogeneous and multi-layered structures is costly in time of computation. That is why many simplified methods have been presented, particularly when the size of the heterogeneity is much smaller than the characteristic dimensions of the structure. In this case, the latter may be perceived as a continuous homogeneous medium and homogenization methods can be therefore widely used. On the other hand, there are heterogeneous structures for which the size of the heterogeneity is the same order as the thickness. In this case, the use of homogenization methods is not appropriate anymore. In the context of this thesis, we study some new methods for estimating the effective properties of heterogeneous plates. We propose in the first part a plate model based on the first-order shear deformation theory for functionally graded materials where shear correction coefficients are identified. In the second part, we propose a new numerical method for computing the effective elastic properties of periodic heterogeneous plates. The method is based on a new Green’s operator for periodic media with traction-free boundary conditions, an iterative method and the Fast Fourier Transform. A study of scale effect is also performed. The obtained result shows that this effect is small

Les approches bayésiennes sont largement utilisées dans le domaine du traitement du signal. Elles utilisent des informations a priori sur les paramètres inconnus à estimer ainsi que des informations sur les observations, pour construire des estimateurs. L'estimateur optimal au sens du coût quadratique est l'un des estimateurs les plus couramment employés. Toutefois, comme la loi a posteriori exacte a très souvent une forme complexe, il faut généralement recourir à des outils d'approximation bayésiens pour l'approcher. Dans ce travail, nous nous intéressons particulièrement à deux types de méthodes: les algorithmes d'échantillonnage Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) et les approches basées sur des approximations bayésiennes variationnelles (VBA).La thèse est composée de deux parties. La première partie concerne les algorithmes d'échantillonnage. Dans un premier temps, une attention particulière est consacrée à l'amélioration des méthodes MCMC basées sur la discrétisation de la diffusion de Langevin. Nous proposons une nouvelle méthode pour régler la composante directionnelle de tels algorithmes en utilisant une stratégie de Majoration-Minimisation ayant des propriétés de convergence garanties. Les résultats expérimentaux obtenus lors de la restauration d'un signal parcimonieux confirment la rapidité de cette nouvelle approche par rapport à l'échantillonneur usuel de Langevin. Dans un second temps, une nouvelle méthode d'échantillonnage basée sur une stratégie d'augmentation des données est proposée pour améliorer la vitesse de convergence et les propriétés de mélange des algorithmes d'échantillonnage standards. L'application de notre méthode à différents exemples en traitement d'images montre sa capacité à surmonter les difficultés liées à la présence de corrélations hétérogènes entre les coefficients du signal.Dans la seconde partie de la thèse, nous proposons de recourir aux techniques VBA pour la restauration de signaux dégradés par un bruit non-gaussien. Afin de contourner les difficultés liées à la forme compliquée de la loi a posteriori, une stratégie de majoration est employée pour approximer la vraisemblance des données ainsi que la densité de la loi a priori. Grâce à sa flexibilité, notre méthode peut être appliquée à une large classe de modèles et permet d'estimer le signal d'intérêt conjointement au paramètre de régularisation associé à la loi a priori. L'application de cette approche sur des exemples de déconvolution d'images en présence d'un bruit mixte Poisson-gaussien, confirme ses bonnes performances par rapport à des méthodes supervisées de l'état de l'art. / Bayesian approaches are widely used in signal processing applications. In order to derive plausible estimates of original parameters from their distorted observations, they rely on the posterior distribution that incorporates prior knowledge about the unknown parameters as well as informations about the observations. The posterior mean estimator is one of the most commonly used inference rule. However, as the exact posterior distribution is very often intractable, one has to resort to some Bayesian approximation tools to approximate it. In this work, we are mainly interested in two particular Bayesian methods, namely Markov Chain Monte Carlo (MCMC) sampling algorithms and Variational Bayes approximations (VBA).This thesis is made of two parts. The first one is dedicated to sampling algorithms. First, a special attention is devoted to the improvement of MCMC methods based on the discretization of the Langevin diffusion. We propose a novel method for tuning the directional component of such algorithms using a Majorization-Minimization strategy with guaranteed convergence properties.Experimental results on the restoration of a sparse signal confirm the performance of this new approach compared with the standard Langevin sampler. Second, a new sampling algorithm based on a Data Augmentation strategy, is proposed to improve the convergence speed and the mixing properties of standard MCMC sampling algorithms. Our methodological contributions are validated on various applications in image processing showing the great potentiality of the proposed method to manage problems with heterogeneous correlations between the signal coefficients.In the second part, we propose to resort to VBA techniques to build a fast estimation algorithm for restoring signals corrupted with non-Gaussian noise. In order to circumvent the difficulties raised by the intricate form of the true posterior distribution, a majorization technique is employed to approximate either the data fidelity term or the prior density. Thanks to its flexibility, the proposed approach can be applied to a broad range of data fidelity terms allowing us to estimate the target signal jointly with the associated regularization parameter. Illustration of this approach through examples of image deconvolution in the presence of mixed Poisson-Gaussian noise, show the good performance of the proposed algorithm compared with state of the art supervised methods.

Cette thèse est décomposée en deux parties. La première est consacrée à l'étude de la restauration d'image et la seconde partie est consacrée à l'étude d'un modèle de Frenkel-Kontorova par des méthodes issues du calcul variationnel et des équations aux dérivées partielles. Au chapitre 1, nous présentons les questions essentielles que nous traiterons dans cette thèse, puis on fait des rappels sur les définitions et quelques propriétés d'espace des fonctions à variations bornées BV , l'espace d'Orlicz et le modèle de Frenkel-Kontorova. Au chapitre 2, nous montrons que les problèmes de minimisation non convexe (restauration d'image) contenant des termes de régularisation sous-linéaires sont mal posés. Au chapitre 3, nous étudions un modèle de restauration avec un terme de régularisation à croissance non standard, proposé par Blomgren et al. : le module du gradient est élevé a une puissance qui dépend elle même du gradient. On montre qu'elle est semi-continue inférieurement pour la topologie faible d'un certain espace d'Orlicz-Sobolev qui lui est associé, ce qui permet un résultat d'existence de la solution. Au chapitre 4, nous étudions un modèle de Frenkel-Kontorova, dont on montre l'existence d'au moins une solution de type travelling wave, u.

Il y a presque trente ans, un des probl??mes les plus difficiles de la physique moderne voyait le jour: la supraconductivit?? ?? haute temp??rature critique dans les cuprates. Depuis, l'hypoth??se nomm??e mod??le Hubbard est rapidement devenu un des candidats les plus prometteurs ?? en d??tenir la solution. Dans ce contexte, ce m??moire pr??sente des travaux de calculs num??riques sur les phases de la mati??re pr??dites par le mod??le de Hubbard. Le projet poursuit notamment deux objectifs. En premier lieu, on consid??re un couplage interplan dans le mod??le, ce qui le rend plus r??aliste que sa version 2D habituelle. Et en deuxi??me lieu, on laisse les phases antiferromagn??tique et supraconductrice coexister avec en plus une autre phase supraconductrice de type pi-triplet. Plus de d??tails sur le contexte et ces deux objectifs sont pr??sent??s au chapitre 1 et le mod??le de Hubbard est d??taill?? au chapitre 2. Pour obtenir des solutions num??riques au mod??le, les m??thodes utilis??es sont la th??orie de champ moyen dynamique sur amas (CDMFT) et l'approximation de l'amas variationnel (VCA). Ces m??thodes ainsi que le formalisme n??cessaire pour les aborder sont pr??sent??s au chapitre trois. Notons qu'on utilise ces m??thodes pour amas avec des m??thodes de diagonalisation exacte qui ne feront pas partie de la discussion. Enfin, le dernier chapitre pr??sente tous les r??sultats obtenus avec ce projet, qui m??nent ?? deux conclusions principales. Premi??rement, le couplage tridimensionnel tel qu'ajout?? n'a pas fait ressortir de tendance nette dans les r??sultats. Cela indique une de deux choses: soit les effets interplans sont n??gligeables dans le mod??le de Hubbard, soit il faudra les inclure d'une fa??on plus compl??te dans le futur. Deuxi??mement, on observe que la phase pi-triplet appara??t lorsqu'il y a coexistence entre l'antiferromagn??tisme et la supraconductivit?? dans le mod??le mais que ces deux derni??res phases se nuisent fortement l'une ?? l'autre, confirmant qu'il y a comp??tition de phases.

Cette thèse est consacrée dans un premier temps à l'élaboration d'un modèle variationnel dedébruitage d'ordre deux, faisant intervenir l'espace BV 2 des fonctions à hessien borné. Nous nous inspirons ici directement du célèbre modèle de Rudin, Osher et Fatemi (ROF), remplaçant la minimisation de la variation totale de la fonction par la minimisation de la variation totale seconde, c'est à dire la variation totale de ses dérivées. Le but est ici d'obtenir un modèle aussi performant que le modèle ROF, permettant de plus de résoudre le problème de l'effet staircasing que celui-ci engendre. Le modèle que nous étudions ici semble efficace, entraînant toutefois l'apparition d'un léger effet de flou. C'est afin de réduire cet effet que nous introduisons finalement un modèle mixte, permettant d'obtenir des solutions à la fois non constantes par morceaux et sans effet de flou au niveau des détails. Dans une seconde partie, nous nous intéressons au problème d'extraction de texture. Un modèle reconnu comme étant l'un des plus performants est le modèle T V -L1, qui consiste simplement à remplacer dans le modèle ROF la norme L2 du terme d'attache aux données par la norme L1. Nous proposons ici une méthode originale permettant de résoudre ce problème utilisant des méthodes de Lagrangien augmenté. Pour les mêmes raisons que dans le cas du débruitage, nous introduisons également le modèle T V 2-L1, consistant encore une fois à remplacer la variation totale par la variation totale seconde. Un modèle d'extraction de texture mixte est enfin très brièvement introduit. Ce manuscrit est ponctué d'un vaste chapitre dédié aux tests numériques.

La théorie de Poisson-Boltzmann décrit l’électrostatique de solutions ioniques. Le calcul de l’énergie libre électrostatique présente cependant plusieurs limites.L’énergie libre de Poisson-Boltzmann est concave. Quand le modèle est complété par d’autres degrés de libertés, l’estimation de l’énergie libre devient une recherche de point-de-col, opération numérique complexe. À l’aide de la transformée de Legendre, nous écrivons une fonctionnelle équivalente, convexe et définie localement. Un algorithme classique de minimisation est utilisé, et, comparé à d’autres procédés numériques, il présente une meilleure convergence.La théorie de Poisson-Boltzmann est une approximation de champ moyen. À l’aide de la théorie de champ variationnel, nous ajoutons les fluctuations et les corrélations du champ électrostatique. Les équations sont résolues numériquement. Nous montrons que la constante de couplage possède une limite théorique, au delà de laquelle les équations n’ont pas de solution.Les plaquettes sanguines ont un rôle essentiel dans l’hémostase. Nous étudions le flux de plaquettes dans un micro-canal greffé de protéines liantes. Nous développons deux modèles. L’un considère le roulement des plaquettes, l’autre est centré sur l’échange de cellules entre le volume et la surface. Ces modèles sont en accord avec les résultats expérimentaux mais pas en complète adéquation. Nous en concluons que le comportement de roulement et le mécanisme d’échange devraient être considérés simultanément pour décrire ce système. / Poisson-Boltzmann theory gives a good description of the electrostatics of ionic solutions. The estimation of the electrostatic free energy presents limits of different kinds.The Poisson-Boltzmann free energy is concave. When it is supplemented with other degrees of freedom, finding the free energy translates into a saddle-point search. Using the Legendre transform, we write an equivalent, convex and locally defined functional. A classical minimum search is used and, compared to other numerical schemes, it gives a better convergence.The Poisson-Boltzmann theory is a mean-field approximation. Using the variational field theory, we include the fluctuations and correlations of the electrostatics. The equations are solved numerically. We show that a theoretical limit exists for the coupling constant, beyond which the equations have no solution.Platelets are essential to the stop of blood loss. The flow of platelets in a microfluidic chamber coated with binding proteins is studied. We develop two models. One focuses on the rolling speed, the other on the exchange between the volume and the grafted surface. Both models can match the experiments partially but not thoroughly. We conclude that both behaviors should probably be considered at once to describe the system fully.

L'approximation adiabatique en mécanique quantique stipule que si un système quantique évolue assez lentement, alors il demeurera dans le même état propre. Récemment, une faille dans l'application de l'approximation adiabatique a été découverte. Les limites du théorème seront expliquées lors de sa dérivation. Ce mémoire à pour but d'optimiser la probabilité de se maintenir dans le même état propre connaissant le système initial, final et le temps d'évolution total. Cette contrainte sur le temps empêche le système d'être assez lent pour être adiabatique. Pour solutionner ce problème, une méthode variationnelle est utilisée. Cette méthode suppose connaître l'évolution optimale et y ajoute une petite variation. Par après, nous insérons cette variation dans l'équation de la probabilité d'être adiabatique et développons en série. Puisque la série est développée autour d'un optimum, le terme d'ordre un doit nécessairement être nul. Ceci devrait nous donner un critère sur l'évolution la plus adiabatique possible et permettre de la déterminer. Les systèmes quantiques dépendants du temps sont très complexes. Ainsi, nous commencerons par les systèmes ayant des énergies propres indépendantes du temps. Puis, les systèmes sans contrainte et avec des fonctions d'onde initiale et finale libres seront étudiés. / The adiabatic approximation in quantum mechanics states that if the Hamiltonian of a physical system evolves slowly enough, then it will remain in the instantaneous eigenstate related to the initial eigenstate. Recently, two researchers found an inconsistency in the application of the approximation. A discussion about the limit of this idea will be presented. Our goal is to optimize the probability to be in the instantaneous eigenstate related to the initial eigenstate knowing the initial and final system, with the total time of the experiment fixed to $T$. This last condition prevents us from being slow enough to use the adiabatic approximation. To solve this problem, we turn to the calculus of variation. We suppose the ideal evolution is known and we add a small variation to it. We take the result, put it in the probability to be adiabatic and expand in powers of the variation. The first order term must be zero. This enables us to derive a criterion which will give us conditions on the ideal Hamiltonian. Those conditions should define the ideal Hamiltonian. Time dependent quantum systems are very complicated. To simplify the problem, we will start by considering systems with time independent energies. Afterward, the general case will be treated.

La présente thèse est consacrée à l’étude de la probabilité du chemin d’un mouvement aléatoire sur la base d’une extension de la mécanique Hamiltonienne/Lagrangienne à la dynamique stochastique. La probabilité d’un chemin est d’abord étudiée par simulation numérique dans le cas du mouvement stochastique Gaussien des systèmes non dissipatifs. Ce modèle dynamique idéal implique que, outre les forces aléatoires Gaussiennes, le système est seulement soumis à des forces conservatrices. Ce modèle peut être appliqué à un mouvement aléatoire réel de régime pseudo-périodique en présence d’une force de frottement lorsque l’énergie dissipée est négligeable par rapport à la variation de l’énergie potentielle. Nous constatons que la probabilité de chemin décroît exponentiellement lorsque le son action augmente, c’est à dire, P(A) ~ eˉγA, où γ est une constante caractérisant la sensibilité de la dépendance de l’action à la probabilité de chemin, l’action est calculée par la formule A = ∫T0 Ldt, intégrale temporelle du Lagrangien. L = K–V sur une période de temps fixe T, K est l’énergie cinétique et V est l’énergie potentielle. Ce résultat est une confirmation de l’existence d’un analogue classique du facteur de Feynman eiA/ħ pour le formalisme intégral de chemin de la mécanique quantique des systèmes Hamiltoniens. Le résultat ci-dessus est ensuite étendu au mouvement aléatoire réel avec dissipation. A cet effet, le principe de moindre action doit être généralisé au mouvement amorti de systèmes mécaniques ayant une fonction unique de Lagrange bien définie qui doit avoir la simple connexion habituelle au Hamiltonien. Cela a été fait avec l’aide du Lagrangien suivant L = K − V − Ed, où Ed est l’énergie dissipée. Par le calcul variationnel et la simulation numérique, nous avons prouvé que l’action A = ∫T0 Ldt est stationnaire pour les chemins optimaux déterminés par l’équation newtonienne. Plus précisément, la stationnarité est un minimum pour les mouvements de régime pseudo-périodique, un maximum pour les mouvements d’amortissement apériodique et une inflexion dans le cas intermédiaire. Sur cette base, nous avons étudié la probabilité du chemin du mouvement stochastique Gaussien des systèmes dissipatifs. On constate que la probabilité du chemin dépend toujours de façon exponentielle de l’action Lagrangien pour les mouvements de régime pseudo-périodique, mais dépend toujours de façon exponentielle de l’action cinétique A = ∫T0 Kdt pour régime apériodique. / The present thesis is devoted to the study of path probability of random motion on the basis of an extension of Hamiltonian/Lagrangian mechanics to stochastic dynamics. The path probability is first investigated by numerical simulation for Gaussian stochastic motion of non dissipative systems. This ideal dynamical model implies that, apart from the Gaussian random forces, the system is only subject to conservative forces. This model can be applied to underdamped real random motion in the presence of friction force when the dissipated energy is negligible with respect to the variation of the potential energy. We find that the path probability decreases exponentially with increasing action, i.e., P(A) ~ eˉγA, where γ is a constant characterizing the sensitivity of the action dependence of the path probability, the action is given by A = ∫T0 Ldt, a time integral of the Lagrangian L = K–V over a fixed time period T, K is the kinetic energy and V is the potential energy. This result is a confirmation of the existence of a classical analogue of the Feynman factor eiA/ħ for the path integral formalism of quantum mechanics of Hamiltonian systems. The above result is then extended to real random motion with dissipation. For this purpose, the least action principle has to be generalized to damped motion of mechanical systems with a unique well defined Lagrangian function which must have the usual simple connection to Hamiltonian. This has been done with the help of the following Lagrangian L = K – V – Ed, where Ed is the dissipated energy. By variational calculus and numerical simulation, we proved that the action A = ∫T0 Ldt is stationary for the optimal paths determined by Newtonian equation. More precisely, the stationarity is a minimum for underdamped motion, a maximum for overdamped motion and an inflexion for the intermediate case. On this basis, we studied the path probability of Gaussian stochastic motion of dissipative systems. It is found that the path probability still depends exponentially on Lagrangian action for the underdamped motion, but depends exponentially on kinetic action A = ∫T0 Kdt for the overdamped motion.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.

Depuis le début du vingtième siècle, l'usage des matériaux sous la forme de plaques et de poutres s'est considérablement développé jusqu'à nos jours que ce soit dans l'industrie automobile, la construction, et plus récemment en aéronautique. Pourtant une des difficultés dans l'étude du comportement de ces structures réside essentiellement dans leur caractère hétérogène. L'utilisation de méthodes numériques classiques pour estimer les constantes élastiques globales des structures multicouches et hétérogènes est coûteuse en temps de calcul C'est pourquoi de nombreuses méthodes simplifiées ont vu le jour, notamment quand la taille de l'hétérogénéité est petite devant les dimensions caractéristiques de la structure. Dans ce cas cette dernière peut être perçue comme un milieu continu homogène et des méthodes d'homogénéisation peuvent donc très utilisées. En revanche, il existe des structures hétérogènes pour lesquelles la taille de l'hétérogénéité est du même ordre que l'épaisseur. Dans ce cas l'utilisation des méthodes d'homogénéisation n'est plus appropriée. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques nouvelles méthodes pour l'estimation des propriétés effectives des plaques hétérogènes. Nous proposons dans la première partie un modèle de plaque basé sur la théorie de déformation en cisaillement de premier ordre pour les matériaux fonctionnellement gradués où les coefficients de correction de cisaillement sont identifiés. Dans la deuxième partie, nous proposons une nouvelle méthode numérique pour calculer des propriétés élastiques effectives des plaques hétérogènes périodiques. La méthode est basée sur un nouvel opérateur de Green pour les milieux périodiques avec des conditions aux limites de bord libre, un procédé itératif et la Transformée de Fourier Rapide. Une étude de l'effet d'échelle des plaques hétérogènes est également effectuée. Le résultat obtenu montre que cet effet est faible